作者：Kevin Hartnett凱文·哈特奈特，量子雜志Quanta Magazine高級(jí)作家 2021-2-3

譯者：zzllrr小樂 2021-2-3

四面體是最簡(jiǎn)單的具有平坦側(cè)面的三維形狀变姨。它的基本特性吸引了早至柏拉圖和亞里士多德等人的好奇心。如今熬北，11月份公布的結(jié)論性證明已確定找到了所有可能的特殊四面體旺嬉。這項(xiàng)工作通過(guò)一項(xiàng)前沿創(chuàng)新荆忍，為數(shù)學(xué)家提供了一種尋找某些方程式解的新技術(shù)啃擦，從而回答了有關(guān)古代形狀的問(wèn)題囊蓝。

“這些是理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象，將永遠(yuǎn)伴隨著我們令蛉，現(xiàn)在都被我們理解了聚霜，”加州大學(xué)圣克魯斯分校的馬丁·魏斯曼說(shuō)。

四面體是由一個(gè)三角形底面和三個(gè)三角形側(cè)面珠叔，形成的一個(gè)棱錐體（類似于金字塔蝎宇，但不是，譯者注）祷安。兩個(gè)面沿邊緣相交形成“二面角”姥芥，而四面體有六個(gè)二面角。

新證明確定了設(shè)定四面體的所有不同方式汇鞭，以便六個(gè)二面角都具有有理值凉唐，這意味著每個(gè)角可以恰好寫成分?jǐn)?shù)报嵌。它確定存在確切的59個(gè)孤立示例，再加上兩個(gè)無(wú)限的四面體族滿足此條件熊榛。

數(shù)學(xué)家實(shí)際上是在幾十年前使用計(jì)算機(jī)搜索技術(shù)發(fā)現(xiàn)了這些特殊的四面體，但他們不知道是否還有更多腕巡。更廣泛地說(shuō)玄坦，他們不知道如何證明他們是否全部找到了。

“他們?cè)?990年代發(fā)現(xiàn)了那些绘沉，但直到2020年煎楣，我們才能夠證明它們是唯一的，”加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的Kiran Kedlaya說(shuō)车伞。Kedlaya是該證明的合著者择懂，還有瑞士納沙泰爾大學(xué)的Alexander?Kolpakov，麻省理工學(xué)院的Bjorn Poonen和滑鐵盧大學(xué)的Michael Rubinstein另玖。（Poonen從西蒙斯基金會(huì)（Simons Foundation）獲得資金困曙，該基金會(huì)也資助了此編輯獨(dú)立出版物量子雜志）

塞繆爾·維拉斯科/ Quanta雜志

將四面體按有理二面角進(jìn)行分類的問(wèn)題可能看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是要解決這個(gè)問(wèn)題需要多年的數(shù)學(xué)知識(shí)谦去，再加上一定程度的計(jì)算能力慷丽，甚至十年前還無(wú)法獲得。

“這項(xiàng)工作無(wú)法由某個(gè)人坐著玩著紙筆完成鳄哭。他們開發(fā)了非常復(fù)雜的方法要糊，”史密斯學(xué)院的Marjorie Senechal說(shuō)。

這30頁(yè)的證明中罕有繪圖妆丘。取而代之的是锄俄，其邏輯取決于求解一個(gè)多項(xiàng)式方程（是指方程式具有系數(shù)和變量的冪，例如y= 3x?2?+6）勺拣。當(dāng)然奶赠，證明中所涉及的多項(xiàng)式要復(fù)雜得多。

“底層有很多數(shù)論药有，但從表面看卻是幾何學(xué)车柠，” Kedlaya說(shuō)。

幾何學(xué)和數(shù)論之間的聯(lián)系為數(shù)學(xué)家提供了一個(gè)開放的機(jī)會(huì)塑猖，但是他們必須努力工作才能利用它竹祷。這是因?yàn)橐业綇?fù)雜方程式的特殊解，并證明你已經(jīng)找到了所有這些解羊苟，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是困難的塑陵。對(duì)于大多數(shù)方程，數(shù)學(xué)家都不知道該怎么做蜡励。

“沒有通用的方法會(huì)永遠(yuǎn)成功令花。你幾乎總是無(wú)法解出方程阻桅。”高級(jí)研究學(xué)院的Peter Sarnak說(shuō)兼都。

但在本例中嫂沉，數(shù)學(xué)家們沒有失敗。通過(guò)發(fā)現(xiàn)一種尋找多項(xiàng)式方程解的新方法扮碧，他們回答了有關(guān)形狀的基本問(wèn)題趟章，并可能使其他方程的解在將來(lái)更容易找到。

測(cè)試四面體

1976年慎王，約翰·康威（John Conway）和安東尼婭·瓊斯（Antonia J. Jones?）在一篇論文中首次正式提出了用有理二面角識(shí)別所有四面體（有理四面體）的問(wèn)題蚓土。

這兩人的動(dòng)機(jī)是希望找到可以被切割并重新組裝成相同體積的立方體的四面體，這種特性被稱為剪刀全等（scissors congruence）赖淤。在探討這個(gè)問(wèn)題時(shí)蜀漆，他們擴(kuò)展了可追溯到1900年的思路，當(dāng)時(shí)大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）提出了23個(gè)問(wèn)題來(lái)指導(dǎo)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)探究咱旱。他的第三個(gè)問(wèn)題問(wèn)确丢，是否有任何一對(duì)相同體積的三維形狀都是剪刀全等的。很快就證明這是不正確的吐限，但是事實(shí)證明所有有理的四面體都與立方體全等的蠕嫁。

Kedlaya說(shuō)：“ 康威和瓊斯詢問(wèn)有理四面體是特殊的情況，這是對(duì)四面體進(jìn)行分類的難題毯盈√甓荆”

這兩人簡(jiǎn)單構(gòu)思出找到這些四面體的方法：求解一個(gè)特定的多項(xiàng)式方程。他們的方程具有六個(gè)變量搂赋，對(duì)應(yīng)于一個(gè)四面體的六個(gè)二面角赘阀，并且它具有105項(xiàng)，反映了四面體的二面角相互關(guān)聯(lián)的復(fù)雜方式脑奠。（為了對(duì)比基公，你可以思考一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角是通過(guò)一個(gè)僅包含3項(xiàng)的簡(jiǎn)單多項(xiàng)式來(lái)關(guān)聯(lián)的：a+b+c= 180度。）

康威和瓊斯確定的多項(xiàng)式方程還具有無(wú)限多個(gè)解宋欺，代表了可能的四面體的無(wú)限構(gòu)型轰豆。為了找到具有全部有理二面角的解，康韋和瓊斯說(shuō)齿诞，數(shù)學(xué)家需要找到方程的一類特殊解酸休，該解恰好與有理四面體相對(duì)應(yīng)。

他們自己不知道如何找到解決方案祷杈，但對(duì)此項(xiàng)工作可以完成充滿信心斑司，并寫道：“我們的技術(shù)似乎可以找到一般的四面體，其二面角都有理”但汞。

40多年后宿刮，四位數(shù)學(xué)家證實(shí)他們倆是正確的互站。

單位根

康威和瓊斯的策略是數(shù)學(xué)家中比較普遍的一種，他們?cè)谘芯慷囗?xiàng)式方程式時(shí)經(jīng)常尋找特殊類型的解僵缺。這些可以是整數(shù)或有理數(shù)解胡桃。或者磕潮，就像這項(xiàng)新工作一樣翠胰，它們可以是帶有優(yōu)雅名稱“單位根”的解。

大多數(shù)的單位根并不落在普通數(shù)軸上揉抵。取而代之的是，它們是在復(fù)數(shù)中找到的嗤疯，像3 + 4i這樣的數(shù)字冤今，它們具有一個(gè)實(shí)部（3）和一個(gè)虛部（4）。單位根是多項(xiàng)式方程的解茂缚，并且具有特殊的代數(shù)性質(zhì)戏罢，可以將它們提高到一定的冪，得到1脚囊。它們還具有優(yōu)美的幾何表示：它們都位于復(fù)平面的單位圓上龟糕。

為了一般地求解康威-瓊斯多項(xiàng)式（Conway-Jones polynomial），數(shù)學(xué)家必須將復(fù)數(shù)分配給所有六個(gè)變量悔耘，以使105項(xiàng)方程為真讲岁。這些變量實(shí)際上不表示角度測(cè)量值，而是代表與角度余弦相關(guān)的復(fù)數(shù)衬以』貉蓿康威和瓊斯觀察到，有理四面體將對(duì)應(yīng)于多項(xiàng)式的解看峻，其中所有變量都是單位根阶淘。

“你的六個(gè)角在單位圓上變成六個(gè)點(diǎn)，需要那些復(fù)數(shù)來(lái)滿足多項(xiàng)式方程式互妓，” Weissman說(shuō)溪窒。

塞繆爾·維拉斯科/ Quanta雜志

但是，知道這種對(duì)應(yīng)關(guān)系看起來(lái)并沒有那么有用冯勉。尋找一些解是一回事澈蚌，證明你已經(jīng)找到所有這些解，卻是另一回事灼狰，完全不同惜浅，而且挑戰(zhàn)難度更大。

1995年伏嗜，新工作的這兩位作者Poonen和Rubinstein實(shí)際上最終發(fā)現(xiàn)坛悉，具有有理二面角的四面體是哪些伐厌。本質(zhì)上，他們通過(guò)插入六個(gè)有理數(shù)的組合來(lái)猜測(cè)找到它們的方式裸影。

“你可以只嘗試六個(gè)有理數(shù)并將它們插入方程中挣轨，” Poonen說(shuō)⌒桑“這樣做的問(wèn)題是它只能使你找到解卷扮。但并不能使你知道何時(shí)找到全部解【”

尋找每一個(gè)解

在他們的新工作中晤锹，四位數(shù)學(xué)家證明了25年前發(fā)現(xiàn)的有理二面角四面體，Poonen和Rubinstein的清單是完整的彤委，尚無(wú)其他例子待被發(fā)現(xiàn)鞭铆。

他們的合作始于2020年3月，當(dāng)時(shí)Poonen參加了一次演講焦影，其中提到了Kedlaya與另一位合作者所做的一些相關(guān)工作车遂。為了解決不同的分類問(wèn)題，此二人已經(jīng)搜索了不同多項(xiàng)式的單位根斯辰。Poonen立即意識(shí)到了與他先前對(duì)四面體的未完成研究有關(guān)舶担。

“Bjorn超級(jí)感興趣，”Kedlaya說(shuō)彬呻∫绿眨“他說(shuō)，'等等闸氮，這是我在1990年代需要的東西祖搓。'”

Poonen給Kedlaya發(fā)了電子郵件，描述了找到有理四面體的問(wèn)題湖苞。他的簡(jiǎn)短電子郵件以樂觀的心情結(jié)束拯欧。他寫道：“在1990年代[與邁克爾·魯賓斯坦（Michael Rubinstein）在一起]，我對(duì)此已經(jīng)走得很遠(yuǎn)了财骨，我認(rèn)為镐作，通過(guò)大量的人力和計(jì)算機(jī)工作，就有可能完成它隆箩「眉郑”

2020年，基蘭·基德拉（Kiran Kedlaya）捌臊，邁克爾·魯賓斯坦（Michael Rubinstein）杨蛋，比約恩·普昂（Bjorn Poonen）和亞歷山大·科爾帕科夫（Alexander Kolpakov）發(fā)明了一種求解方程的新方法，從中發(fā)現(xiàn)了所有有理二面角的四面體。

收到這封電子郵件后逞力，Kedlaya與Kolpakov取得了聯(lián)系曙寡，后者也使用單位根對(duì)幾何形狀的類型進(jìn)行分類。同時(shí)寇荧，Poonen與他的老搭檔魯賓斯坦（Rubinstein）聯(lián)系举庶。隨著團(tuán)隊(duì)的到位，他們迅速著手工作揩抡。

Kedlaya說(shuō)：“我們定期每周開會(huì)兩次户侥，持續(xù)幾個(gè)月÷袜停”?當(dāng)他們開始搜索康韋-瓊斯多項(xiàng)式的單位根的完整列表時(shí)蕊唐，他們對(duì)應(yīng)該尋找的位置有了非常廣泛的了解。

他們知道解必須落在某個(gè)非常大的上限以下烁设。但是上界是如此之大替梨，以至于無(wú)法搜索其下方的所有可能性。

“六個(gè)變量的界限太可怕了署尤。如果沒有根本上的新想法耙替，它們將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出可行的范圍亚侠〔芴澹” Sarnak說(shuō)。

四位數(shù)學(xué)家通過(guò)兩項(xiàng)主要?jiǎng)?chuàng)新使狩獵成為可能硝烂。

首先箕别，他們降低了上界。在他們的新論文中滞谢，他們證明了代表四面體的單個(gè)復(fù)雜多項(xiàng)式方程本身可以用許多更簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式表示串稀。

Kedlaya說(shuō)：“我們把一個(gè)六變量方程變成了由數(shù)百個(gè)簡(jiǎn)單方程構(gòu)成的一個(gè)方程組∈ㄑ睿”

他們證明母截，這些較簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式的單位根都落在一個(gè)新上界之下，而這個(gè)新上界比之前上界（與更復(fù)雜的多項(xiàng)式相關(guān)橄教，龐大且難以搜索）小得多清寇。而且由于較簡(jiǎn)單的方程與復(fù)雜的方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找到一個(gè)方程的單位根將導(dǎo)致另一個(gè)方程的單位根护蝶。不幸的是华烟，即使較小的間隔對(duì)于他們來(lái)說(shuō)也太大了，無(wú)法繼續(xù)搜索持灰。

作者的第二項(xiàng)創(chuàng)新是設(shè)計(jì)一種搜索此較小間隔的巧妙方法盔夜。他們知道解具有一定的對(duì)稱結(jié)構(gòu)-這意味著，如果在區(qū)間的一部分上有解，那么在區(qū)間的另一部分上也必須有解喂链。

這樣一來(lái)返十，他們就可以開發(fā)出新算法，利用這種結(jié)構(gòu)來(lái)更有效地搜索衩藤。他們還在更好的計(jì)算機(jī)（比Conway和Jones提出針對(duì)此問(wèn)題的單位根攻擊時(shí)）上實(shí)施了這些算法吧慢。

“事實(shí)證明，得益于40年的豐富知識(shí)和更好的計(jì)算機(jī)赏表，我們不得不對(duì)康威-瓊斯的戰(zhàn)略進(jìn)行了一點(diǎn)升級(jí)检诗，” Kedlaya說(shuō)瓢剿。

新算法搜索了更窄間隔內(nèi)解的每種可能組合〖淇瘢基于這一詳盡的最終搜索，作者最終證明只有59個(gè)孤立的具有有理二面角的四面體實(shí)例鉴象，以及兩個(gè)無(wú)限的四面體家族-正是Poonen和Rubinstein早在數(shù)十年前就已經(jīng)遇到過(guò)的忙菠。每個(gè)無(wú)限族中的四面體都隨參數(shù)變化牛欢，從而提供了無(wú)盡的方式來(lái)增加某些角度的大小并減小其他角度，同時(shí)保持所有二面角都有理淆游。

結(jié)果對(duì)每個(gè)人都有一些幫助。

對(duì)于有興趣確定多項(xiàng)式方程式單位根的數(shù)學(xué)家犹菱，本文提供了一種尋找它們的有利新方法。特別是腊脱，作者采用將復(fù)雜的Conway-Jones多項(xiàng)式簡(jiǎn)化為許多簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式的方法访得，可能適用于無(wú)法直接解決的其他困難的多項(xiàng)式方程。

Sarnak說(shuō)：“這項(xiàng)工作表明陕凹，可能還有許多其他問(wèn)題看似不可行悍抑，而通過(guò)這些想法是可行的±”

對(duì)于對(duì)完整性感到滿意的數(shù)學(xué)家以及任何其他人传趾，本文提供了一個(gè)新的完美答案：這些就是你夢(mèng)寐以求的全部四面體。

Sarnak說(shuō)：“這是一個(gè)了不起的成就泥技〗迹”