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引言

《數(shù)術(shù)記遺》是我國(guó)最早記載珠算的古籍，為漢代數(shù)學(xué)家徐岳撰寫访雪，由北周（南北朝時(shí)期）數(shù)學(xué)家甄鸞注解^[1]雏胃。書中記錄了14種計(jì)算方法，分別為積算宪祥、太一聂薪、兩儀、三才蝗羊、五行藏澳、八卦、九宮耀找、運(yùn)籌翔悠、了知、成數(shù)、把頭蓄愁、龜算双炕、珠算、計(jì)數(shù)撮抓，除了最末的計(jì)數(shù)屬于心算妇斤，其余13種均有相應(yīng)的計(jì)算工具。

截圖自《數(shù)術(shù)記遺》

但由于書中沒有插畫胀滚，極簡(jiǎn)的文言文又無法將這些工具的模樣詳細(xì)說清趟济，便給后人留下了「哥德巴赫猜想」式的謎題。現(xiàn)今的一些學(xué)者根據(jù)嚴(yán)肅的科學(xué)考證咽笼，提出了多種可能的推想圖顷编，將古代這些有趣的算具再次呈現(xiàn)在世人面前。其中最為主流的剑刑，要數(shù)李培業(yè)^[2]推想圖媳纬，請(qǐng)容我在其基礎(chǔ)上加入一點(diǎn)自己的合理優(yōu)化，讓它們以更親切的形式與大家見面施掏。

讓我們一起領(lǐng)略钮惠，在那沒有計(jì)算機(jī)的年代，來自古人的非凡智慧七芭。

積算

積算素挽，今之常算者也。以竹為之狸驳，長(zhǎng)四寸预明，以放四時(shí)，方三分耙箍，以象三才撰糠。言算法是包括天地，以燭人情辩昆。數(shù)始四時(shí)阅酪，終于大衍，又加循環(huán)汁针，故曰「今之常算是也」术辐。

積算又稱籌算（確切地說是指籌算中最經(jīng)典、最主流的一種）扇丛，是我國(guó)古代在算盤出現(xiàn)以前最為常用的計(jì)算方法术吗。所用工具叫算籌，算籌是一根根小小的棍子帆精，說的是「以竹為之，長(zhǎng)四寸」，其實(shí)從獸骨到金屬卓练，制作算籌的材質(zhì)多種多樣隘蝎，不同時(shí)期算籌的長(zhǎng)度也不盡相同。

籌算用棍子的縱橫組合擺放來表示數(shù)字襟企，分有縱橫兩式嘱么，縱式擺法中以豎棍表示1、橫棍表示5顽悼，橫式擺法中以橫棍表示1曼振、豎棍表示5。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
縱式
橫式

不同數(shù)位上縱橫式交替使用蔚龙，「一縱十橫冰评，百立千僵，千十相望木羹，萬百相當(dāng)甲雅。」（語出《孫子算經(jīng)》）

2	0	1	8
橫式	縱式	橫式	縱式

? 詳細(xì)介紹可見《運(yùn)籌帷幄》一文坑填。

太一

太一算抛人，太一之行，去來九道脐瑰。

刻板橫為九道妖枚，豎以為柱，柱上一珠苍在，數(shù)以下始绝页。故曰「去來九道」也。

太一算的工具是一種古老的算盤忌穿。算盤上刻9道橫線抒寂，從下至上分別表示1~9，縱線代表數(shù)位掠剑，算珠置于9線以上或1線以下表示0屈芜。

太一算表示的2018

兩儀

兩儀算，天氣下通朴译，地稟四時(shí)井佑。

刻板橫為五道，豎以為位眠寿。一位兩珠躬翁，上珠色青，下珠色黃盯拱。其青珠自上而下盒发，至上第一刻主五例嘱，第二刻主六，第三刻主七宁舰，第四刻主八拼卵，第五刻主九；其黃珠自下而上蛮艰，至下第一刻主一腋腮，第二刻主二，第三刻主三壤蚜，第四刻主四即寡，而已。故曰「天氣下通袜刷，地稟四時(shí)」也聪富。

兩儀算的工具也是古老算盤的一種。算盤和太一一樣畫成棋盤狀水泉，使用青黃兩種顏色的算珠善涨。黃珠自下而上，所置橫線分別表示1~4草则；青珠自上而下钢拧，所置橫線分別表示5~9；兩珠停于上下開外表示0炕横。

兩儀算表示的2018

三才

三才算源内，天地和同，隨物變通份殿。

刻板橫為三道膜钓，上刻為天，中刻為地卿嘲，下刻為人颂斜，豎為算位。有三珠拾枣，青珠屬天沃疮，黃珠屬地，白珠屬人梅肤。又其三珠能行三道：若天珠在天為九司蔬，在地主六，在人主三姨蝴；其地珠在天為八俊啼，在地主五，在人主二左医；人珠在天主七授帕，在地主四同木，在人主一。故曰「天地和同豪墅，隨物變通」泉手。亦況三元黔寇，上元甲子一偶器、七、四缝裤，中元甲子二屏轰、八、五憋飞，下元甲子三霎苗、九、六榛做，「隨物變通」也唁盏。

三才算的工具也是古老算盤的一種。算盤同樣是棋盤狀检眯，從上至下的三道橫線分別名為天線厘擂、地線、人線锰瘸。算珠有三種顏色，青珠稱為天珠，黃珠稱為地珠琉历，白珠稱為人珠恩沽。青珠置于天線為9、置于地線為6管削、置于人線為3倒脓，黃珠置于天線為8、置于地線為5含思、置于人線為2崎弃，白珠置于天線為7、置于地線為4茸俭、置于人線為1吊履，三珠置于上下開外為0。

三才算表示的2018

《周易》將天调鬓、地艇炎、人稱為三才，三才之珠在天地人間游走腾窝，可謂「天地和同缀踪，隨物變通」也居砖。

五行

五行算，以生兼生驴娃，生變無窮奏候。

五行之法，水玄生數(shù)一唇敞，火赤生數(shù)二蔗草，木青生數(shù)三，金白生數(shù)四疆柔，土黃生數(shù)五咒精。今為五行算，色別九枚旷档，以五行色數(shù)相配模叙，為算之位。

五行算是籌算的一種鞋屈，這里的算籌染有五行所對(duì)應(yīng)的黑范咨、紅、青厂庇、白渠啊、黃五種顏色。黑籌表示1宋列、紅籌表示2昭抒、青籌表示3、白籌表示4炼杖、黃籌表示5灭返，5以上就用兩種顏色組合表示，黃黑籌表示6坤邪、黃紅籌表示7熙含、黃青籌表示8、黃白籌表示9艇纺。

五行算表示的2018

寫到這里怎静，我滿腦子都是《千字文》那句霸氣的「天地玄黃，宇宙洪荒黔衡◎酒福」

八卦

八卦算，針刺八方盟劫，位闕從天夜牡。

為算之法，位用一針侣签，鋒所指以定算位塘装。數(shù)一從離起急迂，指正南離為一、西南坤為二蹦肴、正西兌為三僚碎、西北乾為四、正北坎為五阴幌、東北艮為六勺阐、正東震為七、東南巽為八裂七，至第九位闕皆看，即在中央豎而指天，故曰「位闕從天」也背零。

八卦算比較特別，在八卦圖上用針的指向表示數(shù)字无埃，有點(diǎn)像現(xiàn)在的圓盤時(shí)鐘徙瓶。從針尖朝南表示1開始，沿順時(shí)針順序依次表示1~8嫉称，針尖朝上豎在中間表示9侦镇。

八卦算表示的2018

九宮

九宮算，五行參數(shù)织阅，猶如循環(huán)壳繁。

九宮者，即二四為肩荔棉、六八為足闹炉、左三右七、戴九履一润樱、五居中央渣触；五行參數(shù)者，設(shè)位之法依五行壹若，巳注于上是也嗅钻。

我國(guó)古代的天文學(xué)家把星空分為九宮格，在這九個(gè)格子里填上數(shù)字店展，便成了中國(guó)最早出現(xiàn)的幻方养篓。

任意一行、一列赂蕴、或?qū)蔷€之和均為15

定睛一看柳弄，這布陣不正是洛書么！

圖片來自《算法統(tǒng)宗》首篇

九宮在《數(shù)術(shù)記遺》所列的算法中最為特殊睡腿。其他算法都是將數(shù)字置于不同的數(shù)位以表示不同的數(shù)值语御，即固定數(shù)位峻贮，讓數(shù)字在數(shù)位上變動(dòng)，這比較符合常理应闯；而九宮則將幻方九數(shù)定死纤控，將代表不同數(shù)位的珠子擺到數(shù)字上，即固定數(shù)字碉纺，讓數(shù)位在數(shù)字上變動(dòng)船万。這位發(fā)明者真是腦洞清奇。

這么看骨田，九宮的算具也是算盤的一種耿导。

數(shù)位用不同顏色的珠子表示，還是五行之色态贤。

可謂眼花繚亂舱呻。

九宮算表示的2018

這讀數(shù)得有多吃力，何苦如此折騰悠汽，著實(shí)令人費(fèi)解……

運(yùn)籌

運(yùn)籌算箱吕，小往大來，運(yùn)于指掌柿冲。

此法位別須算籌一枚茬高，各長(zhǎng)五寸，至一籌上各為五刻假抄，上頭一刻近頭怎栽，一刻之其下四刻迭相去一寸，令去下一頭亦一寸也宿饱。

運(yùn)籌熏瞄，顧名思義，想必也是籌算的一種刑棵“涂蹋籌上刻了5條橫線，兩兩相隔一寸蛉签，最上面一條靠近上端胡陪，最下面一條距離下端一寸。5條刻線從下至上分別表示1~5碍舍，把籌倒過來拿柠座，刻線從下至上數(shù)分別表示6~9。

眾所周知片橡，3寸為10cm妈经，這一寸的間隔，正好能容一指的寬度。把一根根這樣的算籌夾在指間吹泡，用指關(guān)節(jié)表示數(shù)位骤星。

左：運(yùn)籌算表示的359（圖片來自《世界珠算寶典》P751） 右：沒錯(cuò)是我自己的手了，加了濾鏡依然不堪入目……

如果運(yùn)籌帷幄的張良用的是這種算籌爆哑，可想而知帷帳之中是怎樣一幅瘋狂「轉(zhuǎn)筆」的景象……

了知

了知算洞难，首唯秉五，腹背兩兼揭朝。

了算之法队贱，一位為一了字，其了有三曲潭袱。其下股之末柱嫌，內(nèi)主一，外主九屯换；下次第一曲编丘，內(nèi)主二，外主八趟径；其第二曲瘪吏，內(nèi)主三，外主七蜗巧；其第三曲，內(nèi)主四蕾盯，外主六幕屹；當(dāng)了字之首獨(dú)立五。故曰「首唯秉五级遭，腹背兩兼」也望拖。

用一個(gè)「了」字代表一個(gè)數(shù)位，算子放在「了」的不同位置表示不同數(shù)字挫鸽。

了知算表示的2018

這種算法顯然是石子計(jì)數(shù)發(fā)展的產(chǎn)物说敏，這種算具也可以視為一種算盤吧。

成數(shù)

成數(shù)算丢郊，春夏生養(yǎng)盔沫，秋冬收成。

算之法枫匾，為別須五色算一枚架诞。其一算之象頭各以黃色為本，以生數(shù)也干茉；余色為首谴忧，其五行各配土為成數(shù)也。水玄生數(shù)一，成數(shù)六沾谓；火赤生數(shù)二委造，成數(shù)七；木青生數(shù)三均驶，成數(shù)八昏兆；金白生數(shù)四，成數(shù)九辣恋。若以首向東及南亮垫，為生數(shù)；向西及北伟骨，為成數(shù)饮潦。

成數(shù)算是一種籌算，與五行算的工具基本相通携狭，也是使用五行之色相互搭配表示數(shù)字继蜡，在此基礎(chǔ)上還引入了朝向的含義：朝東或朝南放的稱為生數(shù)，表示1~4逛腿；朝西或朝北放的稱為成數(shù)稀并，表示6~9；單色黃籌怎么放都表示5单默。

古時(shí)看方位的習(xí)慣與現(xiàn)在恰好是相反的碘举，為上南下北左東右西，理解起來難免會(huì)有些別扭搁廓。簡(jiǎn)單地說引颈，1~4朝上或朝左放，6~9朝下或朝右放境蜕。

畫著畫著突然發(fā)現(xiàn)蝙场，恰好畫成了香煙的模樣。

如此粱年，從1到9售滤，每個(gè)數(shù)字便都有了一縱一橫的兩種擺法，與積算中的縱橫兩式不謀而合台诗，擺數(shù)時(shí)縱橫交錯(cuò)使用完箩。

成數(shù)算表示的2018。我特意沒有給0留空拉庶，得益于縱橫式相間使用的規(guī)則嗜憔，連續(xù)的豎籌之間必然有0，懂行的人也便不會(huì)把它讀成218氏仗。

東南為春夏吉捶，曰生數(shù)夺鲜；西北為秋冬，曰成數(shù)呐舔。是可謂「春夏生養(yǎng)币励，秋冬收成」，算法與四季規(guī)律完美吻合珊拼。

把頭

把頭算食呻，以身當(dāng)五，目視四方澎现。

把頭之法仅胞，位別須算二枚，一漫^[3]一齒者剑辫。一面刻為一干旧，其一面為二，一面為三妹蔽，其一面為四也椎眯。漫者為把、為猶^[4]胳岂，即當(dāng)五算编整；至齒者為把頭，一目當(dāng)一算乳丰。故曰「以身當(dāng)五掌测，目視四方」也。

把产园，耙也赏半，可以理解為豬八戒扛的那種農(nóng)具。

把頭算也是籌算淆两，用一橫一豎兩根算籌表示數(shù)字，組合起來其形如耙拂酣。把頭刻線秋冰，故稱齒籌，刻一至四條線表示1~4婶熬；把身光溜溜剑勾，稱漫籌，表示5赵颅。兩者組合即可表示6~9虽另。

可見，把頭算要準(zhǔn)備四種齒籌饺谬。但細(xì)細(xì)琢磨原文描述捂刺，也許只要兩種齒籌，正反面刻線。

把頭算表示的2018

龜算

龜算族展，春夏秋成森缠，遇冬則停。

為算之法仪缸，為別一龜贵涵，龜之四面為十二時(shí)。以龜首指寅為一恰画，指卯為二宾茂，指辰為三，指巳為四拴还，指午為五跨晴，指未為六，指申為七自沧，指酉為八坟奥，指戌為九，指亥拇厢、子爱谁、丑龜頭指不以為數(shù)。故云「遇冬則托①耍」也访敌。

我國(guó)古代以天干地支計(jì)時(shí)歷法，一年四季與十二地支的對(duì)應(yīng)關(guān)系正是寅卯辰春衣盾、巳午未夏寺旺、申酉戌秋、亥子丑冬势决。

十二地支圍成一圈阻塑，中間放個(gè)烏龜（當(dāng)然應(yīng)該不會(huì)是真的烏龜），龜頭所指便表示相應(yīng)的數(shù)字果复，像極了現(xiàn)在的鐘表陈莽。春夏秋三季的地支表示1~9，冬季的地支不做用處虽抄，故曰：「春夏秋成走搁，遇冬則停÷蹩撸」

我特意將十二地支按照鐘表的數(shù)字順序排列私植，儼然一口「龜鐘」……

龜算表示的2018

珠算

珠算，控帶四時(shí)车酣，經(jīng)緯三才曲稼。

刻板為三分索绪，其上下二分以停游珠，中間一分以定算位躯肌。位各五珠者春，上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當(dāng)五清女，其下四珠钱烟，珠各當(dāng)一^[5]。至下四珠所領(lǐng)嫡丙，故云控帶四時(shí)拴袭。其珠游于三方之中，故云「經(jīng)緯三才」也曙博。

《數(shù)術(shù)記遺》是最早提到「珠算」一詞的古籍拥刻，此處的珠算在本質(zhì)上已與現(xiàn)今的十分接近，只是在形式上略有不同父泳。

算珠有兩種顏色般哼，此處用黑白表示。每個(gè)數(shù)位上有黑珠1顆惠窄、白珠4顆蒸眠。黑珠表示5，白珠表示1杆融。算盤分為上中下三塊區(qū)域楞卡，算珠組合置于中間區(qū)域以表示1~9，五珠置于上下區(qū)域表示0脾歇。

珠算表示的2018

結(jié)語

統(tǒng)覽十三種算法蒋腮，可謂眼花繚亂，然從其所依托的工具來看藕各，除了八卦與龜算池摧，其余的無外乎籌算與珠算兩大門類，而八卦和龜算又迷之相似激况，若要給它們起個(gè)門類的話险绘，統(tǒng)稱「指針?biāo)恪挂矡o妨吧。

• 籌算：積算誉碴、五行、運(yùn)籌瓣距、成數(shù)黔帕、把頭。
• 珠算：太一蹈丸、兩儀成黄、三才呐芥、九宮、了知奋岁、珠算思瘟。
• 指針?biāo)悖喊素浴斔恪?/li>

其實(shí)這些所謂的算法闻伶，在《數(shù)術(shù)記遺》中也僅體現(xiàn)了數(shù)字和數(shù)位的表示方法滨攻，至于如何運(yùn)算，仍是依賴于相應(yīng)的心算口訣的蓝翰。但僅是單純地將算具的外形光绕、顏色、擺法與數(shù)字關(guān)聯(lián)起來畜份，古人就賦以了五行八卦诞帐、天干地支、四季星辰等等經(jīng)典的自然哲學(xué)爆雹，看似復(fù)雜停蕉，其實(shí)一通百通，都是「一生二钙态，二生三慧起，三生萬物」的簡(jiǎn)單規(guī)律，深刻體現(xiàn)了我國(guó)古代哲學(xué)與數(shù)學(xué)的高度契合驯绎。

我不禁想到華夏文明之濫觴——河出圖完慧，洛出書。我國(guó)輝煌燦爛的歷史剩失，正源自這兩幅大道至簡(jiǎn)的數(shù)字布陣圖屈尼。人類的終極智慧，往往也是智慧的源頭拴孤。

圖片來自《算法統(tǒng)宗》首篇

參考文獻(xiàn)

• 徐岳. 數(shù)術(shù)記遺[M]. 文物出版社, 1980.
• 百度百科. 數(shù)術(shù)記遺[EB/OL].
• 李培業(yè). 世界珠算通典[M]. 陜西人民出版社, 1996.
• 陳開先. <數(shù)術(shù)記遺>之古算十四法的程序意義解讀[J]. 自然辯證法研究, 2003, 19(4):49-54.
• 兌印師傅. 詳解十二地支與四季之間的關(guān)系[EB/OL].

1. 學(xué)術(shù)界也有觀點(diǎn)認(rèn)為《數(shù)術(shù)記遺》是甄鸞托徐岳之名自撰自注的脾歧，尚存爭(zhēng)議。 ?

2. 百度百科：李培業(yè)（1934~2011）演熟，中國(guó)50年代以來進(jìn)行數(shù)學(xué)史研究的代表人物之一鞭执，對(duì)《數(shù)術(shù)記遺》做了深入研究，提出其中記載的十三種計(jì)算工具的復(fù)原圖（被珠算界命名為「李培業(yè)推想圖」）芒粹，并制造出復(fù)原模型兄纺，在內(nèi)蒙古師范大學(xué)算具展覽館及南通珠算博物館展出。 ?

3. 《世界珠算通典》解釋為「漫化漆，同曼估脆，長(zhǎng)也∽疲」但我更傾向于理解為「光滑」疙赠， 與齒籌刻線相對(duì)付材。 ?

4. 猶字何解，實(shí)在不知圃阳。 ?

5. 我參考了5個(gè)版本的《數(shù)術(shù)記遺》厌衔，此句中均沒有「五」字，即「其上別色之珠當(dāng)其下四珠捍岳，珠各當(dāng)一富寿。」在包括《世界珠算通典》在內(nèi)的諸多文獻(xiàn)中祟同，則理所當(dāng)然地抄錄為「其上別色之珠當(dāng)五作喘，其下四珠，珠各當(dāng)一晕城∨⑻梗」一字之差，句意便有了「上珠等價(jià)于四」和「上珠表示五」的區(qū)別砖顷，前者更貼近原文贰锁，而后者更符合算盤的構(gòu)造。究竟是古籍的筆誤滤蝠，還是今人的誤解豌熄，暫無可考，此處權(quán)且按有「五」解釋物咳。 ?