最近一個(gè)比較有趣的問題是有關(guān)3維引力的：我們能求解這個(gè)引力理論嗎界睁？這里的求解并不是解愛因斯坦方程剩辟，而是說能不能求出partition function芥映，或者說是Eucliean
path integral崇败。正確的做法應(yīng)該是，先把path integral 依據(jù)不同的拓?fù)溥M(jìn)行展開歌焦，然后在每一個(gè)給定的拓?fù)湎聦?duì)可能的metric進(jìn)行積分飞几。這樣的積分當(dāng)然是發(fā)散的，所以這個(gè)path integral一般也是求不出來的独撇。但是對(duì)于2維引力循狰，這個(gè)積分是可以求出來的！從這個(gè)意義上來說券勺，2D gravity （JT gravity）是可以解出來的。

對(duì)于2維引力灿里，因?yàn)闆]有l(wèi)ocal 的自由度关炼，所以對(duì)local metric積分是trivial的，我們需要考慮的貢獻(xiàn)是來自不同的拓?fù)溥€有“boundary graviton”的貢獻(xiàn)匣吊。類似于弦論的散射振幅儒拂，對(duì)拓?fù)涞姆e分可以做genus 展開寸潦。這個(gè)展開正好可以與一個(gè)matrix model integral的genus 展開對(duì)應(yīng)。而 boundary graviton的貢獻(xiàn)是一個(gè)1-loop 貢獻(xiàn)由Schwartzian action 給出社痛。所以可以猜測(cè)JT gravity 等價(jià)于一個(gè)matrix model见转。對(duì)于matrix model，這個(gè)展開是一個(gè)微擾計(jì)算蒜哀，matrix model 本身還有非微擾的貢獻(xiàn)斩箫。如果我們把JT gravity 真正認(rèn)同成這個(gè)matrix model，就需要同樣考慮這些貢獻(xiàn)撵儿，并且提供一個(gè)解釋乘客。JT gravity 的確可以提供這樣的解釋：他們來自于disconnect geometry還有multi-boundaries。也就是說淀歇，在JT gravity里易核，不是只有一個(gè)宇宙，還有考慮其他宇宙的存在浪默，即使他們之間不相連牡直。還有即使對(duì)于其中的一個(gè)宇宙，也要允許有很多的邊界纳决，在每一個(gè)邊界上碰逸，我們還都要有一個(gè)Schwartzian action來自boundary graviton的貢獻(xiàn)。這樣岳链，我們完成了這個(gè)JT gravity/Matrix model的對(duì)應(yīng)同時(shí)在微擾和非微擾的層面花竞。一個(gè)有趣的結(jié)論是，因?yàn)镸atrix model是描述的一個(gè)系綜理論掸哑，所以在這個(gè)對(duì)應(yīng)下约急，JT gravity 不是和某個(gè)量子理論對(duì)應(yīng)，而是和一個(gè)average of quantum mechanics 對(duì)應(yīng)苗分。

我們想把JT gravity/ average of quantum mechanics 推廣到高維厌蔽。比如是不是3維 gravity也是對(duì)應(yīng)了一個(gè)average 而不是一個(gè)具體場(chǎng)論的呢？如果我們限制3D gravity到具有AdS 邊界摔癣，用AdS/CFT的經(jīng)驗(yàn)奴饮，我們是否可以期待 AdS3其實(shí)是對(duì)應(yīng)某種average of CFT 呢？一個(gè)證據(jù)是择浊，如果考慮minimal AdS3 就是不含物質(zhì)場(chǎng)的 AdS3 引力理論戴卜，同樣的進(jìn)行path integral 的計(jì)算，在只考慮saddle point 近似的情況會(huì)發(fā)現(xiàn)琢岩，AdS3是不太可能對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的CFT 理論的投剥。當(dāng)然有可能saddle point的計(jì)算是不可靠的，但是在3維担孔，雖然還是沒有l(wèi)ocal 的自由度江锨，對(duì)于local metric的積分還是trivial的吃警，但是并不存在一個(gè)類似genus 展開那樣自然的辦法去count 不同topology帶來的貢獻(xiàn)。saddle point近似是一種妥協(xié)但是也是標(biāo)準(zhǔn)的處理手段：我們考慮所有的經(jīng)典解還有在經(jīng)典解附近fluctuation （boundary graviton）的貢獻(xiàn)啄育。在AdS3邊界條件下酌心，還有固定邊界的genus 為 1的時(shí)候，經(jīng)典解的集合是知道的（AdS3的一些quotient）挑豌。邊界的genus為1的選取是因?yàn)槲覀円崖窂椒e分理解為一個(gè)partition function安券。boundary graviton還是一個(gè)1-loop 的貢獻(xiàn)等于Virasoro descendant of the identity (vacuum)。這些計(jì)算都是標(biāo)準(zhǔn)的浮毯，只不過極其復(fù)雜完疫。不過一個(gè)結(jié)論就是，算出來的partition function說明能譜有連續(xù)的部分债蓝，并且有負(fù)的部分壳鹤，這不太能對(duì)應(yīng)一個(gè)我們熟悉的CFT。

既然直接進(jìn)行path integral 的計(jì)算沒有好的辦法饰迹，我們或許可以反過來看：如果我們對(duì)一些CFT求平均得到的結(jié)果是否有一個(gè)gravity 的解釋芳誓。最近的研究發(fā)現(xiàn)這是可能的。這里的技術(shù)問題就是怎樣做這個(gè)average 啊鸭。比如我們要取什么樣的概率分布（measure）锹淌？目前的例子可以計(jì)算是因?yàn)檫x取的CFT可以被實(shí)現(xiàn)成一個(gè)coset model，他的moduli自然帶有一個(gè)measure赠制。但是一個(gè)代價(jià)是得到的引力理論并不是Einstein 理論而是一個(gè)Chern-Simons theory. 還是有很多問題需要考慮的赂摆，首先就是如何更合理的定義average for CFT，是不是可以像matrix model那樣得到一個(gè)完整的理論钟些，才能嘗試求解烟号。