傅里葉變換Python實現(xiàn)

傅里葉變換（FT）[1]

傅里葉變換的目的是可將時域（即時間域）上的信號轉變?yōu)轭l域（即頻率域）上的信號殖卑，隨著域的不同，對同一個事物的了解角度也就隨之改變麸折，因此在時域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡單的處理。

傅里葉變換公式：

傅里葉變換公式

（w代表頻率码耐，t代表時間，e^-iwt為復變函數）

其中： $\omega =\frac{2\pi }{T} =2\pi f$ 糖儡，

歐拉公式

$F(f) = \int_{-\propto }^{\propto } f(t)*(cos(-2\pi ft)+isin(-2\pi ft))dt$

傅里葉逆變換：

傅里葉逆變換公式

$f(t) = \int_{-\propto }^{\propto } F(f)*(cos(2\pi ft)+isin(2\pi ft))df$

傅里葉變換認為一個周期函數(信號)包含多個頻率分量伐坏，任意函數（信號）f(t)可通過多個周期函數（基函數）相加而合成怔匣。

從物理角度理解傅里葉變換是以一組特殊的函數（三角函數）為正交基握联，對原函數進行線性變換，物理意義便是原函數在各組基函數的投影每瞒。

傅里葉變換

以下是代碼：

import numpy as np

from numpy import linalg

import matplotlib.pyplot as plt

import math

#時間長度

t_len = 3.14*4

#分割時間

t = np.linspace(0, t_len, 1000)

#傅里葉變換原函數g_t(t)

g_t = []

for i in range(len(t)):

? ? #測試函數

? ? temp = 2*math.sin(t[i])+math.sin(2*t[i]+3)

? ? g_t.append(temp)

#頻率范圍

f_len = 2

#分割頻率

f = np.linspace(0, f_len, 1000)

#傅里葉變換函數實軸函數g_cos(f)金闽，x軸函數

g_cos = []

#傅里葉變換函數虛軸函數g_sin(f)，y軸函數

g_sin = []

#傅里葉變換復數模函數g_f(f)剿骨，偏離中心距離函數

g_f = []

#傅里葉函數虛軸和實軸存在的意義在于區(qū)分振動中不同方向的增益效果

#所謂虛函數只是一種區(qū)分方向的方式代芜，不讓cos()與sin()在積分前混合

#傅里葉變換，時間進行積分

for c_f in range(len(f)):

? ? sinsum = 0

? ? cossum = 0

? ? for c_t in range(len(t)):

? ? ? ? tempsin = g_t[c_t] * math.sin(f[c_f] * t[c_t] * (-2 * math.pi))

? ? ? ? tempcos = g_t[c_t] * math.cos(f[c_f] * t[c_t] * (-2 * math.pi))? ? ?

? ? ? ? sinsum = sinsum + tempsin

? ? ? ? cossum = cossum + tempcos

? ? g_f.append(math.sqrt((cossum/len(t))**2 + (sinsum/len(t))**2))

? ? g_sin.append(sinsum/len(t))

? ? g_cos.append(cossum/len(t))

#逆傅里葉變換還原后函數f_g(t)

f_g = []

#傅里葉變換浓利，頻率進行積分

for c_t in range(len(t)):

? ? sinsum = 0

? ? cossum = 0

? ? for c_f in range(len(f)):

? ? ? ? tempsin = g_sin[c_f] * math.sin(f[c_f] * t[c_t] * (-2 * math.pi))

? ? ? ? tempcos = g_cos[c_f] * math.cos(f[c_f] * t[c_t] * (-2 * math.pi))

? ? ? ? sinsum = sinsum + tempsin

? ? ? ? cossum = cossum + tempcos

? ? f_g.append(2*f_len*t_len*sinsum/len(f) + 2*f_len*t_len*cossum/len(f))

plt.figure("傅里葉變換",figsize=(6, 6))

plt.subplot(2,2,1)

#原函數g_t(t)

plt.scatter(t, g_t, s = 1, color='red')

plt.title("Original Function g_t(t)")

plt.subplot(2,2,2)

#傅里葉變換虛軸函數g_sin(f)

plt.scatter(f, g_sin, s = 1, color='red')

plt.title("Fourier(sin) g_sin(f)")

plt.subplot(2,2,3)

#傅里葉變換復數模函數g_f(f)

plt.scatter(f, g_f, s = 1, color='blue')

plt.title("Fourier(module) g_f(f)")

plt.subplot(2,2,4)

#逆傅里葉變換還原后的函數f_g(t)

plt.scatter(t, f_g, s = 1, color='red')

plt.title("restore f_g(t)")

plt.show()

[1] 傅里葉變換概念及公式推導 https://blog.csdn.net/lzzdflg/article/details/78254381

最后編輯于：2019.03.25 09:52:27

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