面試算法知識梳理(14) - 數(shù)字算法

面試算法代碼知識梳理系列

面試算法知識梳理(1) - 排序算法
面試算法知識梳理(2) - 字符串算法第一部分
面試算法知識梳理(3) - 字符串算法第二部分
面試算法知識梳理(4) - 數(shù)組第一部分
面試算法知識梳理(5) - 數(shù)組第二部分
面試算法知識梳理(6) - 數(shù)組第三部分
面試算法知識梳理(7) - 數(shù)組第四部分
面試算法知識梳理(8) - 二分查找算法及其變型
面試算法知識梳理(9) - 鏈表算法第一部分
面試算法知識梳理(10) - 二叉查找樹
面試算法知識梳理(11) - 二叉樹算法第一部分
面試算法知識梳理(12) - 二叉樹算法第二部分
面試算法知識梳理(13) - 二叉樹算法第三部分

一栖榨、目錄

  • 斐波那契數(shù)列（循環(huán)算法昆汹、矩陣算法）
  • 跳臺階問題
  • 數(shù)值的整數(shù)次方
  • 打印1到最大的n位數(shù)
  • 計(jì)算從1到n中1出現(xiàn)的個(gè)數(shù)
  • 求兩個(gè)數(shù)的二進(jìn)制表示中有多少個(gè)是不同的
  • 給定一個(gè)整數(shù)N，求N!的末尾有多少個(gè)0
  • 給定一個(gè)整數(shù)N婴栽，求N!的二進(jìn)制表示中最低位1的位置
  • 最大公約數(shù)
  • 精確地表達(dá)有限/無限循環(huán)小數(shù)

二满粗、代碼實(shí)現(xiàn)

2.1 斐波那契數(shù)列（循環(huán)算法、矩陣算法）

問題描述

斐波那契數(shù)列 滿足下面的通項(xiàng)公式愚争，要求給出N映皆，輸出第N項(xiàng)的F(N)

F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

解決思路

這里介紹兩種解決辦法轰枝，循環(huán)算法 和 矩陣算法捅彻。循環(huán)算法比較容易理解，就是從F(0)開始鞍陨，根據(jù)通項(xiàng)公式步淹，得到下一個(gè)斐波那契數(shù)列中的數(shù)字即可。

循環(huán)算法代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {
    
    static double fibonacci(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        //f(n-2)
        double fnMinus2 = 0;
        //f(n-1)
        double fnMinus1 = 1;
        double result = 0;
        for (int i=2; i<=n; i++) {
            //根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算湾戳。
            result = fnMinus2 + fnMinus1;
            fnMinus2 = fnMinus1;
            fnMinus1 = result;
        }
        return result;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        double loopResult = fibonacci(10);
        System.out.println("loopResult=" + loopResult);
    }
}

循環(huán)算法運(yùn)行結(jié)果

>> loopResult=55.0

矩陣算法解決思路

對于上面的通項(xiàng)公式贤旷，可以用下面的矩陣乘法的形式來表示


那么，我們的問題就變成了求該特殊矩陣的N-1次方的值砾脑。

矩陣算法代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {
    
    static class Matrix {
        
        double a;
        double b;
        double c;
        double d;
        
        public Matrix(double a, double b, double c, double d) {
            this.a = a;
            this.b = b;
            this.c = c;
            this.d = d;
        }
    }
    
    //矩陣乘法函數(shù)幼驶。
    static Matrix multiMatrix(Matrix a, Matrix b) {
        Matrix result = new Matrix(0, 0, 0, 0);
        result.a = a.a*b.a + a.b*b.c;
        result.b = a.a*b.b + a.b*b.d;
        result.c = a.c*b.a + a.d*b.c;
        result.d = a.c*b.b + a.d*b.d;
        return result;
    }
    
    //核心函數(shù)。
    static double fibonacciMatrix(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        Matrix r = new Matrix(1, 0, 0, 1);
        Matrix tmp = new Matrix(1, 1, 1, 0);
        n--;
        while (n > 0) {
            if ((n&1) > 0) {
                r = multiMatrix(r, tmp);
            }
            tmp = multiMatrix(tmp, tmp);
            n >>= 1;
        }
        return r.a;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        double matrixResult = fibonacciMatrix(10);
        System.out.println("matrixResult=" + matrixResult);
    }
}

矩陣算法運(yùn)行結(jié)果

>> matrixResult=55.0

2.2 跳臺階問題

問題描述

一個(gè)臺階總共有n級韧衣，如果一次可以跳1級盅藻，也可以跳2級，求總共有多少總跳法畅铭。

解決思路

由于有兩種跳臺階方式氏淑，因此跳n級臺階可以轉(zhuǎn)換為下面兩個(gè)問題之和：

  • 第一次跳1級臺階，之后的解法數(shù)為f(n-1)
  • 第一次跳2級臺階硕噩，之后的解法數(shù)為f(n-2)

這就和之前的斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式相同假残。

實(shí)現(xiàn)代碼

class Untitled {

    static class Matrix {

        double a;
        double b;
        double c;
        double d;

        public Matrix(double a, double b, double c, double d) {
            this.a = a;
            this.b = b;
            this.c = c;
            this.d = d;
        }
    }

    //矩陣乘法函數(shù)。
    static Matrix multiMatrix(Matrix a, Matrix b) {
        Matrix result = new Matrix(0, 0, 0, 0);
        result.a = a.a*b.a + a.b*b.c;
        result.b = a.a*b.b + a.b*b.d;
        result.c = a.c*b.a + a.d*b.c;
        result.d = a.c*b.b + a.d*b.d;
        return result;
    }

    //核心函數(shù)炉擅。
    static double fibonacciMatrix(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        Matrix r = new Matrix(1, 0, 0, 1);
        Matrix tmp = new Matrix(1, 1, 1, 0);
        n--;
        while (n > 0) {
            if ((n&1) > 0) {
                r = multiMatrix(r, tmp);
            }
            tmp = multiMatrix(tmp, tmp);
            n >>= 1;
        }
        return r.a;
    }

    static double stepCounter(int step) {
        if (step <= 2) {
            return step;
        }
        return fibonacciMatrix(step);
    }


    public static void main(String[] args) {
        double count = stepCounter(50);
        System.out.println("counter=" + count);
    }
}

2.3 數(shù)值整數(shù)次方

實(shí)現(xiàn)代碼

class Untitled {

    static double powerOfNum(int num, int power) {
        int tmp = num;
        int r = 1;
        while (power > 0) {
            //如果在該位上為1辉懒，那么就乘上對應(yīng)的n次方。
            if ((power&1) > 0) {
                r = r*tmp;
            }
            tmp = tmp*tmp;
            power >>= 1;
        }
        return r;
    }


    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("powerOfNum=" + powerOfNum(2, 10));
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> powerOfNum=1024.0

2.4 打印 1 到最大的 n 位數(shù)

class Untitled {

    static void printNumberCore(int p[], int depth, int len) {
        //到達(dá)末尾谍失，打印當(dāng)前數(shù)組中的元素眶俩。
        if (depth == len+1) {
            StringBuilder builder = new StringBuilder();
            for (int i=1; i<=len; i++) {
                builder.append(String.valueOf(p[i]));
            }
            System.out.println(builder.toString());
            return;
        }
        //如果是首位，那么從1開始快鱼，否則從0開始颠印。
        int pStart = 0;
        if (depth == 1) {
            pStart = 1;
        }
        for (int i=pStart; i<=9; i++) {
            //替換該位纲岭，并進(jìn)行遞歸。
            p[depth] = i;
            printNumberCore(p, depth+1, len);
        }
    }

    static void printNumber(int n) {
        //首先建立數(shù)組线罕。
        int p[] = new int[n+1];
        //len表示有幾位數(shù)止潮。
        for (int len=1; len<=n; len++) {
            //對應(yīng)于len位數(shù)的全排列。
            printNumberCore(p, 1, len);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        printNumber(3);
    }
}

2.5 計(jì)算從 1 到 n 中 1 出現(xiàn)的個(gè)數(shù)

解決思路

這個(gè)問題钞楼，需要先總結(jié)一下規(guī)律沽翔，我們根據(jù)數(shù)字N的 位數(shù) 來進(jìn)行分析：

一位數(shù)

那么N>=1時(shí)才會(huì)出現(xiàn)1，并且出現(xiàn)1的次數(shù)為1次

兩位數(shù)

在這種情況下窿凤，出現(xiàn)1的次數(shù)等于個(gè)位上出現(xiàn)1的次數(shù)加上十位上出現(xiàn)1的個(gè)數(shù)。

  • 個(gè)位上出現(xiàn)1的次數(shù)不僅和個(gè)位的數(shù)字有關(guān)跨蟹，還和十位的數(shù)字有關(guān)：

    • 如果個(gè)位為0雳殊，那么個(gè)位上出現(xiàn)1的次數(shù)等于十位的數(shù)字。
    • 如果個(gè)位大于0窗轩，那么個(gè)位上出現(xiàn)1的次數(shù)等于十位的數(shù)字加1夯秃。

  • 十位上出現(xiàn)1的次數(shù)不僅和十位的數(shù)字有關(guān)，還和個(gè)位的數(shù)字有關(guān)：

    • 如果十位為1痢艺，那么十位上出現(xiàn)1的次數(shù)等于個(gè)位的數(shù)字加1仓洼。
    • 如果十位大于1，那么十位上出現(xiàn)1的次數(shù)等于10堤舒。

N 位數(shù)

例如色建，如果要計(jì)算百位上1出現(xiàn)的次數(shù)，它要受到三方面的影響：百位上的數(shù)字舌缤，百位以下的數(shù)字箕戳，百位以上的數(shù)字。

  • 如果百位上數(shù)字為0国撵，百位上可能出現(xiàn)1的次數(shù)僅由更高位決定陵吸，等于更高位數(shù)字乘以當(dāng)前位數(shù)。

  • 如果百位上數(shù)字為1介牙，百位上可能出現(xiàn)1的次數(shù)不僅受更高位影響還受低位影響：

    • 受高位影響的部分等于更高位數(shù)字乘以當(dāng)前位數(shù)
    • 受低位影響等于低位數(shù)字加上1壮虫。

  • 如果百位上數(shù)字大于1，則百位上出現(xiàn)1的情況僅由更高位決定环础，等于更高位數(shù)字加上1乘以當(dāng)前位數(shù)囚似。

代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {

    static int countOneNum(int data) {
        int iFac = 1;
        int countNum = 0;
        int lowNum = 0;
        int curNum = data % 10;
        int highNum = data / 10;
        //從個(gè)位數(shù)開始遍歷，每次while循環(huán)向前移動(dòng)一位喳整，計(jì)算每一位出現(xiàn)1的次數(shù)谆构，總和就是問題的解。
        while (curNum > 0 || highNum > 0) {
            if (curNum == 0) {
                countNum += highNum * iFac;
            } else if   (curNum == 1) {
                countNum += highNum * iFac + (lowNum + 1);
            } else {
                countNum += (highNum+1)*iFac;

            }
            lowNum = lowNum + curNum*iFac;
            curNum = highNum % 10;
            highNum = highNum / 10;
            iFac *= 10;
        }
        return countNum;
    }


    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("n=" + 123 + ",result=" + countOneNum(123));
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> n=123,result=57

2.6 求兩個(gè)數(shù)的二進(jìn)制表示中有多少個(gè)是不同的

解決思路

對于一個(gè)二進(jìn)制數(shù)框都，例如1010搬素，將其減1后得到的結(jié)果是1001呵晨，也就是將最后一個(gè)1（倒數(shù)第二位）及其之后的0變成1，1變成0熬尺，再將該結(jié)果與原二進(jìn)制數(shù)相與摸屠，也就是1010 & 1001 = 1000，那么就可以去掉最后一個(gè)1粱哼。

因此季二，如果需要計(jì)算兩個(gè)數(shù)的二進(jìn)制表示中有多少位是不同的，可以 先將這兩個(gè)數(shù)異或揭措，那么不相同的位數(shù)就會(huì)變成1胯舷，之后利用上面的技巧，通過每次去掉最后一個(gè)1绊含，來 統(tǒng)計(jì)該結(jié)果中1的個(gè)數(shù)桑嘶，就可以知道兩個(gè)數(shù)的二進(jìn)制表示中有多少是不同的了。

代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {

    static int getDiffBit(int a, int b) {
        int diff = a^b;
        int count = 0;
        while (diff > 0) {
            count++;
            diff = diff & (diff-1);
        }
        return count;
    }


    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("result=" + getDiffBit(1999, 2299));
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> result=7

2.7 給定一個(gè)整數(shù) N躬充，求 N! 的末尾有多少個(gè) 0

問題描述

N!的含義為1*2*3*...*(N-1)*N逃顶，計(jì)算N!的十進(jìn)制表示中，末尾有多少個(gè)0充甚。

解答思路

N!中能產(chǎn)生末尾是0的質(zhì)數(shù)組合是2*5以政，所以N!末尾的0的個(gè)數(shù)取決了2的個(gè)數(shù)和5的個(gè)數(shù)的最小值，有因?yàn)楸?code>2整除的數(shù)出現(xiàn)的概率大于5伴找，因此5出現(xiàn)的次數(shù)就是N!末尾0的個(gè)數(shù)盈蛮。因此，該問題就轉(zhuǎn)換成為計(jì)算從1~N疆瑰，每個(gè)數(shù)可以貢獻(xiàn)5的個(gè)數(shù)眉反，也就是每個(gè)數(shù)除以5的值。

上面的解法需要從1到N遍歷每一個(gè)數(shù)穆役，當(dāng)然還有更加簡便的方法寸五。以26!為例，貢獻(xiàn)5的數(shù)有5耿币、10梳杏、15、20淹接、25十性，一共貢獻(xiàn)了6個(gè)5，可以理解為5的倍數(shù)5塑悼、10劲适、15、20厢蒜、25貢獻(xiàn)了一個(gè)5霞势，而25的倍數(shù)又貢獻(xiàn)了一個(gè)5烹植，得到下面的公式：

Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …（總存在一個(gè)K，使得5^K > N愕贡，[N/5^K]=0）

代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {
    
    static int lowZeroN(int N) {
        int count = 0;
        while (N > 0) {
            N = N / 5;
            count = count + N;
        }
        return count;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("26!的十進(jìn)制表示中末尾0的個(gè)數(shù)=" + lowZeroN(26));
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> 26!的十進(jìn)制表示中末尾0的個(gè)數(shù)=6

2.8 給定一個(gè)整數(shù) N草雕，求 N! 的二進(jìn)制表示中最低位 1 的位置

解答思路

首先，讓我們換一個(gè)角度考慮固以，其實(shí)這個(gè)問題就是求解二進(jìn)制表示中從最低位開始0的個(gè)數(shù)墩虹，因?yàn)槎M(jìn)制最低位為0代表的是偶數(shù)，能夠被2整除憨琳，所以質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)就是二進(jìn)制表示中最低位1后面的0的個(gè)數(shù)诫钓。

因此，我們的實(shí)現(xiàn)這就和上面2.7中求解質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)是一樣的篙螟。

代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {
    
    static int lowOneN(int N) {
        int count = 0;
        while (N > 0) {
            N = N >> 1;
            count = count + N;
        }
        return count+1;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("3!的二進(jìn)制表示中最低位1的位置=" + lowOneN(3));
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> 3!的二進(jìn)制表示中最低位1的位置=2

2.9 最大公約數(shù)

問題描述

最大公約數(shù) 的定義為 兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)的共有約數(shù)中最大的一個(gè)尖坤。這里采用的是 更相止損法，其操作步驟為：

  • 第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)闲擦；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是场梆，則用2約簡墅冷；若不是則執(zhí)行第二步。
  • 第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)或油，接著把所得的差與較小的數(shù)比較寞忿，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作顶岸，直到所得的減數(shù)和差相等為止腔彰。

則第一步中約掉的若干個(gè)2與第二步中等數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)。

代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {

    static int gcd(int big, int small) {
        int fac = 1;
        int temp;
        while (small > 0) {
            //保證數(shù)字的先后順序辖佣。
            if (small > big) {
                temp = big;
                big = small;
                small = temp;
            }
            if ((big & 1) > 0) {
                //奇奇霹抛。
                if ((small & 1) > 0) {
                    temp = big;
                    big = small;
                    small = temp - small;
                //奇偶。
                } else {
                    small >>= 1;
                }
            } else {
                //偶奇卷谈。
                if ((small & 1) > 0) {
                    big >>= 1;
                //偶偶杯拐。
                } else {
                    small >>= 1;
                    big >>= 1;
                    fac *= 2;
                }
            }
        }
        return big * fac;
    }


    public static void main(String[] args) {
        int result = gcd(319, 377);
        System.out.println("result=" + result);
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> result=29

2.10 精確地表達(dá)有限/無限循環(huán)小數(shù)

問題描述

有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，例如：

有限小數(shù)：0.9 = 9/10
無限循環(huán)小數(shù)：0.333（3）= 1/3

解決思路

在 http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/47783545 這邊文章中世蔗，詳細(xì)地描述了該題的解決思路端逼，核心思想就是將原小數(shù)分為 有限部分 和 無限循環(huán)小數(shù) 部分，對于這兩部分別進(jìn)行處理污淋。

算法核心思想

代碼實(shí)現(xiàn)

class Untitled {

    public static class Fraction {
        //分子顶滩。
        public double numerator;
        //分母。
        public double denominator;
    }

    public static double powerOf(int num, int mi) {
        double temp = 10;
        double result = 1;
        while (mi > 0) {
            if ((mi & 1) > 0) {
                result = result * temp;
            }
            temp = temp * temp;
            mi >>= 1;
        }
        return result;
    }

    //分為有限循環(huán)和無限循環(huán)兩個(gè)部分寸爆，按照公式計(jì)算礁鲁。
    public static Fraction getDescription(int limit, int limitLen, int unLimit, int unLimitLen) {
        //分別計(jì)算對應(yīng)長度的10的n/m次冪盐欺。
        double limitPower = powerOf(10, limitLen);
        double unLimitPower = powerOf(10, unLimitLen);
        Fraction fraction = new Fraction();
        //根據(jù)公式計(jì)算分子和分母即可。
        fraction.numerator = limit * (unLimitPower - 1) + unLimit;
        fraction.denominator = (unLimitPower - 1) * limitPower;
        return fraction;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Fraction f = getDescription(285714, 6, 285714, 6);
        System.out.println("res= " + f.numerator + "/" + f.denominator);
    }
}

運(yùn)行結(jié)果

>> res= 2.85714E11/9.99999E11

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