拉格朗日，全名是約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，舉世聞名的數(shù)學(xué)家闭翩、物理學(xué)家、天文學(xué)家迄埃，曾獲得18世紀(jì)“歐洲最大之希望”疗韵、“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”的贊譽(yù)，由此可見他的歷史地位侄非，而在以后的學(xué)習(xí)中蕉汪，我們會十分頻繁地見到這個(gè)人物。雖然我們可能以后才會學(xué)到和他有關(guān)的知識和定理逞怨，但是在高考中者疤，我們?nèi)匀豢梢詮闹蝎@得對我們有幫助的方法。今天叠赦，我們就來介紹一下：如何用拉格朗日乘數(shù)法解決高考壓軸小題驹马。
在數(shù)學(xué)最優(yōu)問題中，拉格朗日乘數(shù)法是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法除秀。拉格朗日乘數(shù)法本來是高數(shù)中的知識糯累，但是對于高考的某一類壓軸小題，如果我們能學(xué)會這個(gè)方法册踩，對于問題的求解就可能更為簡單泳姐，在考場上節(jié)省我們寶貴的時(shí)間。所以在此進(jìn)行簡單的介紹暂吉，希望能夠?qū)Υ蠹矣兴鶐椭?/p>
首先來看一道模擬題：
在我給出高中做法之前大家可以自己嘗試做一做
解：∵實(shí)數(shù)x胖秒，y滿足x2-4xy+4y2+4x2y2=4，
變形為：（x+2y）2+（2xy-2）2=8慕的，
令x+2y=2√2sinθ阎肝，2xy-2=2√2cosθ，θ∈[0肮街，2π）．
則當(dāng)x+2y取得最大值時(shí)风题，θ=π/2，
則x+2y=2√2，2xy-2=0俯邓，
解得x=√2骡楼，y=1/√2．x/y=2．
故答案為：2．
對于很多學(xué)生熔号，看到這類題稽鞭，我們好像有點(diǎn)思路，但是仿佛又無從下手引镊，最后帶著些許的遺憾放棄這道題朦蕴，或者根本不知道這道題是什么類型的，沒有方法弟头。那么對于這類棘手的問題我們?nèi)绾谓鉀Q呢吩抓？
顯然，答案就是拉格朗日乘數(shù)法赴恨。
首先聲明對于這種做法疹娶，最好在小題上使用，加快我們的做題速度伦连，對于大題雨饺，我們最好不用這個(gè)做法，實(shí)在想不到其他做法再進(jìn)行使用惑淳。如果看完文章之后额港，你覺得這個(gè)方法太難了或者沒有什么幫助，也可以不用理會歧焦。
在教你如何做題之前移斩，希望你能對拉格朗日乘數(shù)法的做法有個(gè)整體的感受，首先給出拉格朗日乘數(shù)法的一般做法：
設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=f（x绢馍，y）向瓷，在約束條件
下取得極值，且
為其極值點(diǎn)舰涌，為了尋找這個(gè)附加條件上的極值點(diǎn)风罩。令：
通過這三個(gè)方程組，我們可以解出
則其中的點(diǎn)
可能為其極值點(diǎn)舵稠，對于高中來說超升，大部分題求出來的這個(gè)點(diǎn)就是極值點(diǎn)。好了哺徊，整體上了解了過程后室琢，你可能對偏導(dǎo)數(shù)什么的不太了解，接下來我一點(diǎn)點(diǎn)教你如何利用這個(gè)東西解決高考的題目落追。再來看之前的那道題
顯然x+2y是題目中的目標(biāo)盈滴，將x+2y設(shè)為我們的目標(biāo)函數(shù)z，當(dāng)x+2y取到最大值的時(shí)候，就是z取到了最大值巢钓。而
就是這個(gè)函數(shù)的約束條件病苗，很容易理解，如果沒有這個(gè)條件症汹，我們就可以在xoy平面任意取點(diǎn)硫朦，而有了這個(gè)約束條件，我們就只能在滿足這個(gè)條件的x背镇，y中進(jìn)行取值咬展。令
和一元函數(shù)類似，我們可以把這個(gè)里邊有兩個(gè)變量的叫做二元函數(shù)瞒斩，這樣可以設(shè)出
現(xiàn)在我們做好了第一步破婆，接著又來了另一個(gè)問題，偏導(dǎo)數(shù)是什么胸囱，在高中的時(shí)候祷舀，我們都學(xué)過導(dǎo)數(shù)的定義，也都知道了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則烹笔，在此我就不再贅述了裳扯。一元函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在該點(diǎn)的變化率，它反映了在該點(diǎn)處函數(shù)值隨自變量值變化的快慢程度箕宙，對于二元函數(shù)嚎朽，當(dāng)然也需要研究它的變化率問題。
比如山的高度z是關(guān)于位置x柬帕，y的二元函數(shù)z=f（x哟忍，y），這時(shí)候地面上每一個(gè)x陷寝，y都對應(yīng)著一個(gè)值z锅很，把這個(gè)值都畫出來，我們可以連成一個(gè)曲面凤跑。那么我們?nèi)绾窝芯可降母叨鹊淖兓蕟栴}呢爆安？
當(dāng)我們把y固定下來時(shí)，比如說y=1仔引，這時(shí)函數(shù)就變成了一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)扔仓，這樣我們就能求出這時(shí)z對于x的導(dǎo)數(shù)。這種把y固定在某個(gè)地方咖耘，然后計(jì)算函數(shù)在x方向上的導(dǎo)數(shù)翘簇，我們把它叫為z對x的偏導(dǎo)數(shù)。同樣我們可以把x固定在某個(gè)地方儿倒，計(jì)算函數(shù)在y方向上的導(dǎo)數(shù)版保，稱為z對y的偏導(dǎo)數(shù)。以爬山為例，知道了偏導(dǎo)數(shù)彻犁，也就是知道了在x叫胁，y方向上的變化，顯然在爬山時(shí)汞幢，只要知道了我們朝前和朝左走了多少驼鹅，我們就能知道我們向上爬了多高的山，就能知道z的高度變化率問題急鳄。當(dāng)我們在研究x的方向的變化時(shí)谤民，我們只需要把y固定下來堰酿，把y當(dāng)作一個(gè)常數(shù)疾宏，求出F（x,y,λ）對于x的偏導(dǎo)數(shù)，同理我們可以求出F（x,y,λ）對于y的偏導(dǎo)數(shù)触创。
解這個(gè)方程組坎藐，我們可以得到x=2y
因此，值是2哼绑，雖然我們解出了方程岩馍，但是我們沒有辦法確定這個(gè)點(diǎn)就是極值點(diǎn)，而對于填空題抖韩，這個(gè)值一般就是答案蛀恩。
現(xiàn)在我們可以總結(jié)一下做這類題目的一般方法了:
第一步：確定出我們要求的目標(biāo)函數(shù)，明確附加條件
第二步：構(gòu)建出一個(gè)新函數(shù)
第三步：把其他變量固定茂浮，對于x求導(dǎo)双谆。重復(fù)這個(gè)步驟，直到對于函數(shù)的所有自變量都求了導(dǎo)數(shù)席揽。
第四步：求解這個(gè)方程組
第五步顽馋，求出來的點(diǎn)一般就是極值點(diǎn)，在進(jìn)行對題目的求解幌羞。
現(xiàn)在寸谜，我再給出一道習(xí)題，學(xué)會這個(gè)方法之后你可以嘗試做一下
習(xí)題：欲生產(chǎn)容積為常數(shù)V的無蓋長方體盒子属桦，問如何設(shè)計(jì)才能使盒子的表面積最行艹铡？
好了聂宾，對于這個(gè)類型的題果善，我們只需要這五步，就能做出來亏吝。再次重申一遍：對于這種做法岭埠，最好在小題上使用，加快我們的做題速度，對于大題惜论，我們最好不用這個(gè)做法许赃，實(shí)在想不到其他做法再進(jìn)行使用。如果看完文章之后馆类，你覺得這個(gè)方法太難了或者沒有什么幫助混聊，也可以不用理會。
而為什么可以這樣做乾巧，等到大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)我們就會有更加深入的理解句喜。目前我們只需要知道這種方法，利用這種方法做題沟于，節(jié)省我們的時(shí)間咳胃。或者對于我們做出來的答案進(jìn)行檢驗(yàn)旷太。
