傅里葉變換

概述

??希爾伯特空間是一個(gè)完備的內(nèi)積空間趋艘，其標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系妇押，直觀來(lái)看就是向量空間中基的延伸。其為基于任意正交系上的多項(xiàng)式表示的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式紊册，而這也是泛函分析的核心概念之一干奢。下文中我們將通過(guò)希爾伯特空間的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系推導(dǎo)周期函數(shù)和有限區(qū)間上函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)表示，并進(jìn)一步推出傅里葉積分來(lái)表示無(wú)窮區(qū)間的非周期函數(shù)糯彬，最后引入復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分凭语，引出傅立葉變換。在這一系列推導(dǎo)中撩扒，鑒于篇幅似扔，主動(dòng)略去了一些比較關(guān)鍵的部分吨些，比如 $f(x)$ 可積性及級(jí)數(shù)收斂性的討論，有興趣的讀者可以在了解大致原理后炒辉，進(jìn)行細(xì)致的理論推導(dǎo)以作補(bǔ)充豪墅。為了便于理解希爾伯特空間的概念，引用知乎上面的一段回答：

知乎問(wèn)答

希爾伯特空間

??若無(wú)限維酉空間 $V$ 中每個(gè)基本序列收斂于V中的元素黔寇，則稱 $V$ 是完備的偶器。一個(gè)完備的無(wú)限維酉空間稱為希爾伯特空間又稱為 $H$ 空間。在 $n$ 維空間中矢量被定義為 $(f_1,f_2,\cdots,f_n)$ ,在無(wú)限維空間中矢量被定義為 $t$ 從 $a$ 變換到 $b$ 的函數(shù) $f(t)$ 缝裤。在希爾伯特空間中矢量的加法和乘法定義為函數(shù)的加法與函數(shù)和數(shù)的乘法屏轰。

內(nèi)積

? 對(duì)于 $f,g \in H$ ,則二者的內(nèi)積定義為：
$(f,g) = \int_{a}^f(t)g(t)d t \tag{1}$
度量
- 對(duì)于 $f(t)\in H$ ,其長(zhǎng)度定義為：
  $L_H=\sqrt{\int_{a}^憋飞f^2(t)dt}\tag{2}$
若 $f(t),g(t)\in H$ 則二者之間的距離定義為：
$D_H=\sqrt{\int_{a}^霎苗(f(t)-g(t))^2dt}\tag{3}$
直觀來(lái)看就是兩個(gè)函數(shù)的均方差，就是以均方差來(lái)作為 $H$ 空間的距離的度量榛做。
若 $f(t),g(t)\in H$ ,則二者的夾角定義為：
$\Omega = \arccos{\frac{\int_{a}^叨粘f(t)g(t)dt}{\sqrt{\int_{a}^f^2(t)}\sqrt{\int_{a}^瘤睹g^2(t)dt}}}\tag{4}$
正交函數(shù)系
- 若非零矢量 $f,g\in H$ 的內(nèi)積 $(f,g)=0$ ，則由 $H$ 空間的夾角定義公式可知 $\Omega=\frac{\pi}{2}$ ,此時(shí)稱矢量 $f,g$ 正交答倡。
- 若 $f_i \in H,i=1,\cdots,n$ 且兩兩正交轰传，設(shè)
  $f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}(x)\tag{5}$
  則有
  $L_{f(x)}^2=\sum\limits_{i=1}^{n}L_{f_{i}(x)}^2\tag{6}$
  由 $H$ 空間長(zhǎng)度和正交的定義可推出：
  $L_{f(x)}^{2}=\int_{a}^bf^2(x)dx=\int_{a}^b[\sum\limits_{i=0}^{n}f_i(x)]^2dx=\int_{a}^b[\sum\limits_{i=0}^{n} f_i^2(x)]dx=\sum\limits_{i=0}^{n}[\int_{a}^bf_i^2(x)dx]\tag{7}$
  上述積分都是指勒貝格積分有意義。
- 若函數(shù)系 $\phi_i(x)\in H,i=1,\cdots,n,\cdots$ 中任意兩個(gè)函數(shù)相互正交瘪撇，即
  $\int_{a}^获茬\phi_i(x)\phi_j(x)dx=0（i\neq j）\tag{8}$
  則稱這個(gè)函數(shù)系為正交函數(shù)系，若還滿足
  $\int_{a}^倔既\phi_{k}^2(x)dx=1（k \in 1,\cdots,n,\cdots）\tag{9}$
  則稱此函數(shù)系為標(biāo)準(zhǔn)正交系恕曲。
依標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系的分解

? 若在 $H$ 空間中給定一個(gè)完備的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系 $\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots,\phi_n(x),\cdots$ （即不可能再加一個(gè)不恒為零的函數(shù)與系中的一切函數(shù)正交），則對(duì)于任意函數(shù) $f(x)$ 都可根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系展開成級(jí)數(shù)（平均收斂）：

$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\phi_i(x)=a_1\phi_1(x)+a_2\phi_2(x)+\cdots+a_n\phi_n(x)+\cdots\tag{10}$
$a_n$ 為 $\phi_n(x)$ 在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系上的投影：

$a_n = (f,\phi_n)=\int_{a}^渤涌f(x)\phi_n(x)dx（n=1,2,\cdots）\tag{11}$
很容易證明
$\int_{a}^佩谣f^2(x)dx=\sum\limits_{i=1}^{\infty}a^2_i\tag{12}$
代表 $H$ 空間中矢量的長(zhǎng)度平方等于該矢量在完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系中的矢量上的投影平方和。

傅立葉級(jí)數(shù)

??希爾伯特空間是有限維歐幾里得空間的推廣实蓬，與歐幾里得空間相同茸俭，希爾伯特空間也是內(nèi)積空間，也有距離和角的概念安皱，并且不同于歐幾里得空間调鬓， $H$ 空間具有完備性：希爾伯特空間內(nèi)的所有的柯西列會(huì)收斂到一點(diǎn)。因此微積分中的大部分概念可無(wú)障礙推廣至希爾伯特空間中酌伊。希爾伯特空間提供了一個(gè)很強(qiáng)大理論工具：對(duì)于 $H$ 空間中的任意函數(shù) $f(x)$ 都可以由 $H$ 空間中完備的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系展開成級(jí)數(shù)腾窝。也就是說(shuō)，可以通過(guò)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系去逼近一個(gè)任意函數(shù)（這些函數(shù)都是基于希爾伯特空間的）。

三角函數(shù)系

??基于上述的討論虹脯，接下來(lái)討論如何通過(guò)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系來(lái)展開任意函數(shù)驴娃。基于標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)的定義归形，直觀來(lái)看托慨，三角函數(shù)系似乎完美的切合，對(duì)于三角函數(shù)系
$1,cos(x),sin(x),\cdots,cos(kx),sin(kx),\cdots\tag{13}$
由于
$\int_{-\pi}^{\pi}1*cos(kx)\mathrmf577rv7x=\frac{2}{k}\int_{0}^{\pi}cos(kx)\mathrmhntljrx kx =\frac{2}{k}sin(kx)|^{\pi}_{0}=0（k=1,2,3,\dots）\tag{14}$
又由奇函數(shù)的性質(zhì)直接得到（15）（16）定積分等式成立：
$\int_{-\pi}^{\pi}1*sin(kx)\mathrmxxb75bbx=0（k=1,2,3,\dots）\tag{15}$

$\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)cos(nx)\mathrmf7tdz77x=0（k暇榴，n=1,2,3,\dots厚棵；k\neq n）\tag{16}$

又：
$\int_{-\pi}^{\pi}cos(kx)cos(nx)\mathrmhrddlfzx\overset{積化和差}{=}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}[cos(k+n)x+cos(k-n)x]\mathrm3r7l7tfx=0（k，n=1,2,3,\dots蔼紧；k\neq n）\tag{17}$
同理得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)sin(nx)\mathrmfzd5rrlx\overset{積化和差}{=}\int_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{2}[cos(k+n)x-cos(k-n)x]\mathrm5v7r775x=0（k婆硬，n=1,2,3,\dots；k\neq n）\tag{18}$
于是得到三角函數(shù)系（13）在 $[-\pi,\pi]$ 是一個(gè)正交函數(shù)系奸例，但是彬犯，細(xì)心的讀者可能發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)系（13）并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系查吊，為此基于（13）構(gòu)造三角函數(shù)系
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}},\cdots,\frac{cos(kx)}{\sqrt{\pi}},\frac{sin(kx)}{\sqrt{\pi}},\cdots\tag{19}$
顯然谐区，三角函數(shù)系（20）是一個(gè)正交函數(shù)系，下面進(jìn)一步證明該函數(shù)系是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系逻卖，則只需證明對(duì)于該函數(shù)系任意函數(shù)有（9）式成立即可：
$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^2\mathrm3p57flrx=\frac{1}{2\pi}x|_{-\pi}^{\pi}=1\tag{20}$

$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{cos(kx)}{\sqrt{\pi}})^2\mathrmtdv3nxpx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{cos^2(kx)}{\pi}\mathrmpnjz5pdx\overset{三角降冪公式}{=}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+cos(2kx)}{2\pi}\mathrmhb5x5fhx=(\frac{1}{2\pi}x+\frac{1}{4k\pi}sin(k\pi))｜_{-\pi}^{\pi}=1\\\tag{21}$

$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{sin(kx)}{\sqrt{\pi}})^2\mathrm1nnxjbzx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{sin^2(kx)}{\pi}\mathrm5bbp55hx\overset{三角降冪公式}{=}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-cos(2kx)}{2\pi}\mathrm55fjxhdx=(\frac{1}{2\pi}x-\frac{1}{4k\pi}sin(k\pi))｜_{-\pi}^{\pi}=1\tag{22}$

由（20）（21）（22）三式可得宋列，三角函數(shù)系（19）為希爾伯特空間下的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。則任意定義在 $[-\pi,\pi]$ 的函數(shù) $f(x)$ 有：
$f(x)=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+a_0\frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}}+b_0\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}}+\dots+a_k\frac{cos(kx)}{\sqrt{\pi}}+b_k\frac{sin(kx)}{\sqrt{\pi}}+\dots\tag{23}$
整理得：
$f(x)=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+\sum_{i=0}^{\infty}b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}}=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}})\tag{24}$
此時(shí)评也，只需確定系數(shù) $c_0,a_i,b_i（i=1,2,3,\dots）$ 即可得到 $f(x)$ 在在 $[-\pi,\pi]$ 的級(jí)數(shù)展開形式：

$c_0$ :

??對(duì)等式（24）兩邊同時(shí)求積分得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrmx5jvh5hx = \int_{-\pi}^{\pi}c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrmp5bzxrvx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}})\mathrmnvjhtbhx\tag{25}$
結(jié)合（14）（15）（16）得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrmp5xfdxhx = \int_{-\pi}^{\pi}c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm175nvrvx+0=c_0\sqrt{2\pi}\tag{26}$
求得:
$c_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm5jvtvntx\tag{27}$
$a_i$ :

??結(jié)合（21）式炼杖，對(duì)等式（24）兩邊同乘 $cos(jx)$ ,得到：
$f(x)cos(jx)=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}cos(jx)+\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}})（j=1,2,3,\dots）\tag{28}$
同樣對(duì)等式（30）兩邊同時(shí)求積分得到：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(jx)\mathrmjrbn55rx=\color{#F00}{\int_{-\pi}^{\pi}c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}cos(jx)\mathrmlfpnzflx}+\color{#00F}{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm3jhdb7zx}+\color{#F00}{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}b_i\frac{sin(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrmbx5jh55x}\tag{29}$
由（14）（16）式可知，等式（29）中兩個(gè)紅色定積分都為 $0$ 盗迟，對(duì)于藍(lán)色定積分坤邪，由（17）（21）式可知，當(dāng)且僅當(dāng) $i= j$ 的項(xiàng)積分為 $1$ 罚缕，其余項(xiàng)的積分都為 $0$ 艇纺，故：
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(jx)\mathrmjrb5xdlx=\color{#00F}{\sum_{i=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrmpvhrtbhx}=\color{#F00}{\sum_{i=1,i\neq j }^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_i\frac{cos(ix)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrm37v7tzfx}+\color{#0F0}{\int_{-\pi}^{\pi}a_j\frac{cos(jx)cos(jx)}{\sqrt{\pi}}\mathrmnjrb5llx}\tag{30}$
將藍(lán)色部分的積分拆分為紅色和綠色兩部分積分之和（綠色積分為 $i=j$ 時(shí)），顯然由（17）式紅色部分積分仍舊為 $0$ 邮弹，由（21）式綠色部分積分為 $\sqrt{\pi}a_j$ 喂饥，進(jìn)一步得到:
$a_i\overset{i=j}{=}a_j=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)\mathrmr7dpbhbx\tag{31}$
$b_i$ :

??同上可得到：
$b_i=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(ix)\mathrm355fn7rx\tag{32}$

周期與非周期下的傅里葉級(jí)數(shù)

??在上文中，已經(jīng)求出了系數(shù)的表達(dá)式肠鲫，將這些系數(shù)代入（24）式员帮，整理得到：
$\begin{equation} \begin{split} f(x)&=c_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}(a_i\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+b_i\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}})\\ &=（\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrmfnvv5tpx）\frac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{i=1}^{\infty}[(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)\mathrml5bz5rfx)\frac{cos(ix)}{\sqrt{\pi}}+(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(ix)\mathrmzfrfnf5x)\frac{sin(ix)}{\sqrt{\pi}}]\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrmjdzxtb3x+\sum_{i=0}^{\infty}[\color{#00F}{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)\mathrmf57ttp5x} * \color{#F0F}{cos(ix)}+\color{#00F}{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(ix)\mathrmxtd5hpbx} * \color{#F0F}{sin(ix)}] \end{split} \end{equation}\tag{33}$
此時(shí)，令
$\begin{equation} \begin{split} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrmbvv7tn5x\\ a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)\mathrmb75zzhrx\\ b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)\mathrmzfdl5xhx \end{split} \end{equation}\tag{34}$
得到：
$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_icos(nx)+b_isin(nx)]\tag{35}$
式（35）顯然就是傅立葉級(jí)數(shù)导饲。級(jí)數(shù)（35）的收斂性證明捞高，涉及較多泛函分析的內(nèi)容氯材，在此不做展開，有時(shí)間在另開一篇文章說(shuō)明硝岗，有興趣的讀者可以嘗試一下證明氢哮。細(xì)心的讀者可能注意到 $f(x)$ 的定義域是 $[-\pi,\pi]$ ，那么如果對(duì)于任意周期 $T$ 型檀，級(jí)數(shù)還成立嗎冗尤？將定義域拓展到實(shí)數(shù)域后，級(jí)數(shù)（35）還成立嗎胀溺？對(duì)此裂七，下面進(jìn)一步討論。

周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

??當(dāng) $f(x)$ 是一個(gè)周期為 $2\pi$ 的周期函數(shù)時(shí)仓坞，那么在區(qū)間 $[-\pi,\pi]$ 中背零，作變換：
$x = \frac{2\pi}{2T}t=\frac{\pi}{T}t\tag{36}$
則 $F(t)=f(\frac{\pi}{T}t),t \in [-T,T]$ ，為周期 $2T$ 的周期函數(shù)无埃，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交三角函數(shù)系：
$\frac{1}{\sqrt{2T}},\frac{cos(x)}{\sqrt{T}},\frac{sin(x)}{\sqrt{T}},\cdots,\frac{cos(kx)}{\sqrt{T}},\frac{sin(kx)}{\sqrt{T}},\cdots\tag{37}$
進(jìn)一步得到此時(shí)的傅立葉系數(shù)：
$\begin{equation} \begin{split} a_0&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\mathrmzvrnnhbx\\ a_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)cos(\frac{n\pi}{T}x)\mathrm1vrnjbvx\\ b_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)sin(\frac{n\pi}{T}x)\mathrmhdpbnfvx \end{split} \end{equation}\tag{38}$
則此時(shí)的傅立葉級(jí)數(shù)為：
$\color{#F00}{F(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_icos(\frac{n\pi}{T}t)+b_isin(\frac{n\pi}{T}t)]}\tag{39}$
因此徙瓶，對(duì)于可積的任意周期函數(shù)，都能展開為對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)嫉称，并且由于周期函數(shù)的特性侦镇，當(dāng)定義域拓展到實(shí)數(shù)域時(shí)也是成立的。

非周期函數(shù)的傅立葉積分

??在更多情況下织阅，需要處理非周期函數(shù)虽缕，對(duì)此比較直觀的處理技巧是，將非周期函數(shù)視為周期為 $\infty$ 的周期函數(shù)蒲稳，即 $2T \to +\infty$ 。設(shè) $\xi(x)$ 是定義在 $R$ 上伍派，并且在定義域絕對(duì)可積江耀， $\xi_T{x}$ 是 $\xi(x)$ 在有限區(qū)間 $[-T,T]$ 上的截取，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cxi_%7BT%7D(x)" alt="\xi_{T}(x)" mathimg="1">可視為該有限區(qū)間上的周期函數(shù)诉植，令 $\omega=\frac{2\pi}{2T},$ 則得到 $\xi_{T}(x)$ 的傅立葉級(jí)數(shù)為：
$\xi_{T}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(n\omega x)+b_nsin(n\omega x)]\tag{40}$
其中：
$\begin{equation} \begin{split} a_0&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmzdnxhzrt\\ a_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrmf7dpzdxt\\ b_n&=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)sin(n \omega t)\mathrmjvvt5j5t \end{split} \end{equation}\tag{41}$
得到：
$\begin{equation} \begin{split} \xi_T(x)&=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmj7xjv5ht+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrmb5hvjdjtcos(n\omega x)+\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)sin(n \omega t)\mathrmtn5dpxdtsin(n\omega x)] \\ &=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmtbl5vhpt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)[cos(n\omega t)cos(n\omega x)+sin(n \omega t)sin(n\omega x)]\mathrmhp7zntdt \\ &=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmt77fdxrt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos[n\omega(x-t)]\mathrmdxhh5rtt \end{split} \end{equation}\tag{42}$
于是有：
$\xi(x)=\lim_{T \to \infty}\xi_{T}(x)=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmh7h57zdt+\lim_{T \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos[n\omega(x-t)]\mathrmxhfppzjt\tag{43}$
關(guān)（43）式的兩個(gè)極限祥国，接下來(lái)分別進(jìn)行討論：

對(duì)于第一個(gè)極限：

??由于 $f(t)$ 在 $R$ 上絕對(duì)可積，則：
$｜\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmfxjh5nnt｜\leq\frac{1}{2T}\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\mathrmfznlvh5t=\frac{\alpha}{2T}\tag{44}$
所以晾腔，有：
$\lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}f(t)\mathrmpvrz5lrt=0\tag{45}$
對(duì)于第二個(gè)極限舌稀，先直接給出結(jié)論：

??令 $\lambda=n\omega=\frac{\pi}{T}$ ，有：
$\lim_{T \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)cos[n\omega(x-t)]\mathrmvf555z5t=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrmt7rdzxht]\mathrmrzvjvfp\lambda\tag{46}$

于是灼擂，得到非周期函數(shù) $f(x)$ 的傅立葉積分表示：
$f(x) =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrmhpzz57xt]\mathrmtzjtt5z\lambda\tag{47}$
或?qū)憺椋?br> $f(x)=\int_{0}^{+\infty}[A(\lambda)cos(\lambda x)+B(\lambda)sin(\lambda x)]\mathrmnj5vvf5\lambda\tag{48}$
其中：
$A(\lambda)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos(\lambda t)\mathrmtb755bnt\\ B(\lambda)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin(\lambda t)\mathrmvhr5ldjt \tag{49}$
綜合來(lái)看壁查，周期函數(shù)和有限區(qū)間上的函數(shù)可以用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示；而無(wú)窮區(qū)間的非周期函數(shù)剔应，用傅里葉積分表示睡腿，對(duì)應(yīng)了頻率的連續(xù)分布语御。

傅里葉變換

??傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)在某個(gè)函數(shù)空間中各個(gè)基底的投影和，在上文中我們通過(guò)引入希爾伯特空間席怪，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交三角函數(shù)系進(jìn)而推導(dǎo)出傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉積分应闯。然而，這一切都是基于實(shí)數(shù)域推導(dǎo)挂捻，那么這種思路在復(fù)數(shù)域是否也成立呢碉纺，答案是顯而易見(jiàn)的。下面刻撒，我們通過(guò)歐拉公式（公式證明見(jiàn)文末）來(lái)得到傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式：
$e^{ix}=cos(x)+isin(x)\tag{50}$
??觀察（47）式骨田，由于：
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrmvbn5hpzt=\lim_{\alpha \to \infty}\int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrm9njxjh5t\tag{51}$
因?yàn)?br> $\begin{equation} \begin{split} \int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)e^{i\lambda(x-t)}\mathrm7jjjjvpt&=\int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)\{cos[\lambda(x-t)]+isin[\lambda(x-t)]\}\mathrmhpbzllft\\ &=\int_{-\alpha}^{\alpha}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrmjrpbprjt+i*0（奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的積分為零） \end{split} \end{equation}\tag{52}$
則非周期函數(shù) $f(x)$ 的傅立葉積分（47）可改寫為：
$\begin{equation} \begin{split} f(x)&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos[\lambda(x-t)]\mathrmxrn5l5tt]\mathrm9d5l5jz\lambda\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}\mathrmlbzlxb5t]\mathrmzfbzbrz\lambda\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{i\lambda x}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\mathrmhnnx5p5t\mathrmfnz7d57\lambda\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}\color{#F00}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\mathrm7vvrnhbt}\mathrmzfnxtz5\lambda\\ \end{split} \end{equation}\tag{53}$
上式最后一個(gè)等式即為傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式，而紅色積分部分就是大名鼎鼎的傅立葉變換也叫像函數(shù)疫赎，是一個(gè)復(fù)數(shù)表示振幅和相位：
$F(\lambda)=\color{#F00}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\mathrmlr7dbvft}\tag{54}$
而 $f(x)$ 也稱為傅立葉逆變換也叫本函數(shù)：
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}\color{#F00}{F(\lambda)}\mathrmz7vtfn5\lambda\tag{55}$
??傅里葉變換一詞既指變換操作本身（將函數(shù) $f(x)$ 進(jìn)行傅里葉變換）盛撑，又指該操作所生成的復(fù)數(shù)函數(shù)（ $F(\lambda)$ 是 $f(x)$ 的傅里葉變換）,需要注意的是，一般情況下傅立葉變換是可逆的捧搞。

傅立葉變換的性質(zhì)

??傅立葉級(jí)數(shù)使用不同頻率的三角函數(shù)和來(lái)表示周期函數(shù)和有限區(qū)上的函數(shù)抵卫，而傅立葉積分則是對(duì)頻率作無(wú)窮積分來(lái)表示無(wú)窮區(qū)間上的函數(shù)。本質(zhì)上其實(shí)是從不同的角度刻畫相同的函數(shù)胎撇，所以你經(jīng)辰檎常可以聽到這樣的說(shuō)法，傅立葉變換是一種線性積分變換晚树，常用于信號(hào)時(shí)域到頻域之間的變換姻采，這里說(shuō)的時(shí)域是從時(shí)間的角度描述函數(shù)或信號(hào)，而頻域則是從頻率的角度描述函數(shù)或信號(hào)爵憎。本質(zhì)上傅立葉變換就像化學(xué)分析慨亲，像分析物質(zhì)的基本成分一樣，確定函數(shù)或信號(hào)的基本組成宝鼓。

??接下來(lái)討論一下傅立葉變換的一些基本性質(zhì)刑棵，為了方便描述，約定 $\mathscr{F}$ 為傅立葉變換的作用算子愚铡，即 $\mathscr{F}[f]=F[\lambda]$ 為 $f(x)$ 的傅立葉變換蛉签， $\mathscr{F}^{-1}[F]=f(x)$ 表示 $F(\lambda)$ 的傅立葉逆變換，并且函數(shù) $f(x),g(x)$ 都存在傅立葉變換：

線性性質(zhì)

兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自的傅立葉變換之和：
頻移性質(zhì)

時(shí)移特性
$\mathscr{F}^{-1}[f(x)e^{i\lambda x_0}]=\mathscr{F}[{f}](x+x_0)$
帕塞瓦爾定理

??若 $f(x)$ 平方可積沥寥，則有：
$\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\mathscrvplhrnxx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\lambda)|^2\mathscrjb5jvpj\lambda$
卷積的傅里葉變換

??若 $f(x),g(x)碍舍，x \in R$ 且在定義域內(nèi)絕對(duì)可積，定義卷積函數(shù)：
$f*g = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x-\xi)g(\xi)\mathscrjdzvvrj\xi$

則有：
$\begin{equation} \begin{split} &\mathscr{F}[f*g]=\mathscr{F}[f]\cdot\mathscr{F}[g] \\ &\mathscr{F}^{-1}[F(\lambda)*G(\lambda)] = 2\pi\mathscr{F}^{-1}[F(\lambda)]\cdot\mathscr{F}^{-1}[G(\lambda)] \end{split} \end{equation}$
??傅里葉變換在時(shí)域和頻域之間搭起來(lái)一座橋梁邑雅，一些在時(shí)域很難解決甚至無(wú)法解決的問(wèn)題片橡，在頻域下卻可以輕松得到解決，在信號(hào)淮野、圖像處理還有偏微分方程等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用锻全。

離散傅里葉變換

??離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform狂塘，縮寫為DFT），是傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都呈離散的形式鳄厌，將信號(hào)的時(shí)域采樣變換為其離散時(shí)間傅里葉變換的頻域采樣荞胡。

對(duì)于序列 $x[n],n=0,1,\dots,N-1$

其離散傅里葉變換（DFT）如下：
$\hat{x}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-i\frac{2nk\pi}{N}}x[n]\quad k=0,1,\dots,N-1.$
離散傅里葉變換的逆變換（IDFT）如下：
$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{i\frac{2nk\pi}{N}}\hat{x}[k] \quad n=0,1,\dots,N-1$
離散傅里葉變換的應(yīng)用：

數(shù)據(jù)壓縮

??由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點(diǎn)將語(yǔ)音了嚎、音頻泪漂、圖像、視頻等信號(hào)的高頻部分除去歪泳。高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的細(xì)節(jié)萝勤，濾除高頻信號(hào)可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過(guò)離散傅里葉變換完成的呐伞。將時(shí)域或空域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域敌卓，僅儲(chǔ)存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號(hào)伶氢。

長(zhǎng)整數(shù)與多項(xiàng)式乘法

??目前長(zhǎng)整數(shù)或多項(xiàng)式乘法最快速的算法是基于離散傅里葉變換的趟径。由于整數(shù)（或多項(xiàng)式）乘法是逐位（或逐項(xiàng)）乘累加的形式，因此整數(shù)（或多項(xiàng)式）乘積的數(shù)字（或系數(shù)）可以用乘數(shù)數(shù)字（或乘式系數(shù)）的卷積表示癣防。利用卷積定理蜗巧，只要將數(shù)字（或系數(shù)）序列通過(guò)離散傅里葉變換變到頻域，就可以將逐個(gè)乘累加的卷積變?yōu)閷?duì)位的乘法蕾盯，從而減少計(jì)算量幕屹，再以一次逆變換便可以得到乘法結(jié)果。需要注意整數(shù)乘法還有進(jìn)位的問(wèn)題级遭。

求解偏微分方程

??離散傅里葉變換及其多維形式在偏微分方程的求解中也有應(yīng)用望拖。此時(shí)DFT被看作傅里葉級(jí)數(shù)的近似。傅里葉級(jí)數(shù)將函數(shù)在復(fù)指數(shù) $e^{i\lambda x}$ 上展開挫鸽，這正是微分算子的特征方程：
$\frac7bbxv5r{dx}e^{i\lambda x}=i\lambda e^{i\lambda x}$
??因此说敏，通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)的形式，線性常微分方程被轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程掠兄，而后者是很容易求解的。此時(shí)得到的結(jié)果是偏微分方程解的級(jí)數(shù)表示锌雀，只要通過(guò)DFT逆變換即可得到其一般表示蚂夕，這種方法被稱作譜方法或級(jí)數(shù)解法。

快速傅里葉變換

??離散傅里葉變換十分強(qiáng)大腋逆，但是計(jì)算復(fù)雜度較高婿牍，對(duì)于一個(gè)大小為 $n$ 的序列，其離散傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)雜度為 $O(n^2)$ 惩歉，對(duì)于一些需要實(shí)時(shí)計(jì)算的場(chǎng)景等脂，不太能滿足需求俏蛮。因此，快速傅里葉變換（FFT）應(yīng)運(yùn)而生上遥，快速傅里葉變換是快速計(jì)算序列的離散傅里葉變換]葉變換)（DFT）或其逆變換的方法搏屑。傅里葉分析將信號(hào)從原始域（通常是時(shí)間或空間）轉(zhuǎn)換到頻域的表示或者逆過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)換。FFT會(huì)通過(guò)把DFT矩陣分解為稀疏因子之積來(lái)快速計(jì)算此類變換粉楚，因此辣恋，它能夠?qū)⒂?jì)算DFT的復(fù)雜度從 $O(n^2)$ 降低到 $n\log_2 n$ 。

??FFT的本質(zhì)就是通過(guò)不斷的把長(zhǎng)序列的DFT分解為幾個(gè)短序列的DFT模软，并利用單位根的周期性和對(duì)稱性來(lái)減少計(jì)算量伟骨。FFT算法有很多種，不過(guò)大致可以分為兩類：

按抽取方法可分為：

時(shí)域抽取法（DIT）

頻域抽取大（DIF）

按基數(shù)可分為：

基2-FFT算法

基4-FFT算法

混合基FFT算法

分裂基FFT算法

Cooley-Tukey算法

??Cooley-Tukey算法是最常見(jiàn)的FFT算法燃异。這一方法以分治法為策略遞歸地將長(zhǎng)度為 $N=N_{1}N_{2}$ 的離散傅里葉變換分解為長(zhǎng)度為 $N_{1}$ 的 $N_{2}$ 個(gè)較短序列的離散傅里葉變換携狭，以及與 $\mathrm {O} (N)$ 個(gè)轉(zhuǎn)因子的復(fù)數(shù)乘法。

??Cooley-Tukey算法最有名的應(yīng)用回俐，是將序列長(zhǎng)為 $N$ 的DFT分割為兩個(gè)長(zhǎng)為 $\frac{N}{2}$ 的子序列的DFT逛腿，因此這一應(yīng)用只適用于序列長(zhǎng)度為2的冪的DFT計(jì)算，即基2-FFT鲫剿。實(shí)際上鳄逾，如同高斯和Cooley與Tukey都指出的那樣，Cooley-Tukey算法也可以用于序列長(zhǎng)度N 為任意因數(shù)分解形式的DFT灵莲，即混合基FFT雕凹，而且還可以應(yīng)用于其他諸如分裂基FFT等變種**。盡管Cooley-Tukey算法的基本思路是采用遞歸的方法進(jìn)行計(jì)算政冻，大多數(shù)傳統(tǒng)的算法實(shí)現(xiàn)都將顯式的遞歸算法改寫為非遞歸的形式枚抵。另外，因?yàn)镃ooley-Tukey算法是將DFT分解為較小長(zhǎng)度的多個(gè)DFT明场，因此它可以同任一種其他的DFT算法聯(lián)合使用汽摹。

基2時(shí)間抽取法

??基2時(shí)間抽取算法是Cooley-Tukey算法的一種分支，當(dāng)序列 $x(n)$ 的點(diǎn)數(shù)為 $N=2^{M}\quad M \in \N$ （若不滿足苦锨，可補(bǔ)零）逼泣，此時(shí)的Cooley-Tukey算法稱之為基2時(shí)間抽取法。由于序列點(diǎn)數(shù)為2的整數(shù)冪舟舒，則可以將序列按序號(hào) $n$ 的奇偶性分為兩組：

偶序列
$x_1=x_{(2r)} \quad r = 0,1,\dots,\frac{N}{2}-1$
奇序列
$x_2=x_{(2r+1)} \quad r = 0,1,\dots,\frac{N}{2}-1$
即一組由偶數(shù)序號(hào)組成拉庶，另外一組由奇數(shù)序號(hào)組成（注意數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為 $\frac{N}{2}$ ）

互質(zhì)因子算法

Winograd算法

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換

傅里葉變換是將函數(shù)分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上秃励；拉普拉斯變換是將函數(shù)分解到頻率幅值都在變化的圓上氏仗。因?yàn)槔绽棺儞Q的基有兩個(gè)變量，因此更靈活夺鲜，適用范圍更廣皆尔。

關(guān)于快速傅里葉變換只是做了簡(jiǎn)單的介紹和梳理,詳細(xì)內(nèi)容等以后有時(shí)間再更新呐舔。

概念解析

酉空間

設(shè) $V$ 為一個(gè)復(fù)數(shù)域 $F$ 上的線形空間，若在 $V$ 中定義了兩個(gè)變量 $\alpha,\beta$ 的內(nèi)積（數(shù)量積）慷蠕，記作 $(\alpha,\beta)$ 珊拼，且滿足：

$(i)$ $(\alpha,\beta)=\overline{(\beta,\alpha)}$ ，其中 $\overline{(\beta,\alpha)}$ 是 $(\alpha,\beta)$ 的共軛

$(ii)$ $(\alpha,\alpha) \geq0$ 砌们，當(dāng)且僅當(dāng) $\alpha=0$ 時(shí)等號(hào)成立

$(iii)$ $(a_1\alpha_1+a_2\alpha_2,\beta)=a_1(\alpha_1,\beta)+a_2(\alpha_2,\beta)$ ,對(duì)任意 $\alpha_1,\alpha_2,\beta\in V,a_1,a_2\in F$

則稱 $V$ 為酉空間( $U$ 空間)馁筐，又稱為內(nèi)積空間募强，當(dāng) $F$ 為實(shí)數(shù)域時(shí)泣崩，此時(shí)的內(nèi)積是可交換的伊群，有限維的實(shí)酉空間也就是歐幾里德空間。直觀來(lái)說(shuō)影兽，酉空間就是將歐幾里德空間的內(nèi)積運(yùn)算從實(shí)數(shù)域拓展到復(fù)數(shù)域揭斧。

完備性

一個(gè)向量空間具有完備性指空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。峻堰。
柯西列

??柯西列就是空間中元素構(gòu)成的一個(gè)序列讹开，并且這個(gè)序列在無(wú)窮遠(yuǎn)處兩個(gè)元素之間的距離趨于零。準(zhǔn)確的說(shuō)捐名，如果空間中有一個(gè)序列 $\{x_n\}$ ,當(dāng) $n,m \to \infty$ 的時(shí)候旦万， $||x_n-x_m|| \to 0$ （即二者的距離趨零），則 $\{x_n\}$ 就是一個(gè)柯西列镶蹋，也就是說(shuō)完備性保證了取序列極限不會(huì)跑到空間外面去成艘。一個(gè)不完備的例子就是有理數(shù)的集合，例如這個(gè)集合可以用柯西列的極限去逼近 $\sqrt{2}$ 贺归，而這個(gè)極限并不在有理數(shù)這個(gè)集合中淆两，所以有理數(shù)集合是不完備的，而實(shí)數(shù)集合是完備的拂酣。
三角恒等式

維基百科：三角恒等式
內(nèi)積空間

??內(nèi)積空間是線性代數(shù)里的基本概念秋冰，是增添了一個(gè)額外的結(jié)構(gòu)的向量空間。這個(gè)額外的結(jié)構(gòu)叫做內(nèi)積或標(biāo)量積婶熬。內(nèi)積將一對(duì)向量與一個(gè)標(biāo)量連接起來(lái)剑勾，允許我們嚴(yán)格地談?wù)?a target="_blank">向量的“夾角”和“長(zhǎng)度”，并進(jìn)一步談?wù)撓蛄康?a target="_blank">正交性赵颅。內(nèi)積空間由歐幾里得空間抽象而來(lái)（內(nèi)積是點(diǎn)積的抽象）虽另，這是泛函分析討論的課題。
歐拉公式的證明

??歐拉公式（50）的證明方式有兩種性含，第一種是構(gòu)造函數(shù)：

$f(x)=\frac{e^{ix}}{cos(x)+isin(x)}$

利用拉格朗日中值定理證明 $f(x)=1$ 即可洲赵；第二種則是使用麥克勞林級(jí)數(shù)分別展開得到：
$e^{ix}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\dots+i^n\frac{x^n}{n!}+\dots（\forall x \in \R）\\ cos(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\dots（\forall x \in \R）\\ isin(x)=i\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}+\dots+i\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\dots（\forall x \in \R）$
后兩者的麥克勞林級(jí)數(shù)展開相加剛好等于前者的麥克勞林級(jí)數(shù)展開鸳惯。在此只補(bǔ)充拉格朗日中值定理商蕴，具體證明過(guò)程較簡(jiǎn)單叠萍，不做詳細(xì)展開。

拉格朗日中值定理:

??如果函數(shù) $f(x)$ 绪商，在閉區(qū)間 $[a,b]$ 上連續(xù)苛谷，在開區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)可微。則少存在一點(diǎn) $\xi \in (a,b)$ 格郁，使下面的等式成立:
$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$
推論：

??若函數(shù) $f(x)$ 的導(dǎo)數(shù)恒為零腹殿，則 $f(x)$ 為常值函數(shù)，即 $f(x)=C,C\in\R$ 例书。

最后編輯于：2021.01.20 14:55:28

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