今天的review來的人不多攻晒，羨慕Polchinski在他的自傳里描述的他在Stanford的生活绒净。過去了這么多年餐抢，他還是可以回憶起好多當(dāng)時(shí)的朋友霍转，一起討論各種物理的朋友荐绝。只要一想起一到周五下午，就擠滿reasonable thinkers的休息室就讓人神往呀避消。想起老郭描述他小時(shí)候?qū)W說書的故事低滩。他認(rèn)為自己說書的藝術(shù)造詣高于相聲，主要是因?yàn)樾r(shí)候熏的結(jié)果沾谓。是說一到周末委造，全市說書的老頭老太太就聚在一起聊，他就是在那種環(huán)境下熏出來的均驶。我也開始懷念之前的組會(huì)昏兆。那兩年在Oleg還有Daneil的熏陶下，成長(zhǎng)了很多妇穴，多了很多自信和在物理中尋求快樂的方法爬虱。昨晚寫今天講稿的note的時(shí)候，也越發(fā)覺得自己可以胡扯得越來越多腾它。物理本身還是讓人開心的呀跑筝，不管是什么領(lǐng)域方向，科普也好瞒滴，technical也罷曲梗，里面都有可以提煉的樂趣赞警。

Ising model具有一個(gè)self duality：交換自旋自由度和kink自由度。這里面有一個(gè)很有意思但是一直被忽略的subtlety虏两。在自旋自由度的描述下愧旦，但neighbour相互作用占主導(dǎo)時(shí)，系統(tǒng)的基態(tài)是二重簡(jiǎn)并的：全部自旋朝上或是朝下定罢，這樣系統(tǒng)本身的Z2對(duì)稱性：翻轉(zhuǎn)所有的自旋笤虫，就破壞了。當(dāng)我們升高溫度也就是給系統(tǒng)注入能量的時(shí)候祖凫，會(huì)引起激發(fā)琼蚯。這個(gè)激發(fā)可以是local的，對(duì)應(yīng)了翻轉(zhuǎn)其中一個(gè)自旋惠况，這種激發(fā)也叫自旋波遭庶。也可以是nonlocal的，對(duì)應(yīng)了翻轉(zhuǎn)某一個(gè)site所有左邊的自旋售滤，這個(gè)就是我們的kink了罚拟。當(dāng)注入的能量越來越多，溫度越來越高完箩，kink的數(shù)量也越來越多赐俗，最后會(huì)占主導(dǎo)，這時(shí)候更方便的描述就是以kink作為基本自由度來重新描述Ising model弊知。做完這個(gè)變換之后阻逮，model在形式上還是一個(gè)Ising model，但是coupling變?yōu)橹暗牡箶?shù)秩彤。因?yàn)閙odel形式上沒變叔扼，他的基態(tài)還是二重簡(jiǎn)并，這兩個(gè)態(tài)通過Z2對(duì)稱性聯(lián)系起來漫雷。但是通過我們之前的分析瓜富，這個(gè)變換后Ising model的基態(tài)是對(duì)應(yīng)于之前model的混亂態(tài)。而系統(tǒng)的混亂態(tài)是唯一的降盹。這就要求變換后的Ising model的兩個(gè)基態(tài)是等價(jià)的与柑，這就說明聯(lián)系兩個(gè)基態(tài)的Z2對(duì)稱必須是gauge symmetry。所以要嚴(yán)格來表述這個(gè)duality蓄坏，我們要引入一個(gè)Z2規(guī)范場(chǎng)价捧。

我們有兩個(gè)Z2對(duì)稱，對(duì)于spin model涡戳，他是global對(duì)稱结蟋，對(duì)于kink model，他是gauge symmetry渔彰。To keep track of them and put them on the same footing, 我們對(duì)于gauge對(duì)稱引入一個(gè)dynamical的規(guī)范場(chǎng)嵌屎，對(duì)于global對(duì)稱引入一個(gè)background的規(guī)范場(chǎng)推正。這兩個(gè)場(chǎng)由Z2 group 的 first cohomology來表述。

我們就可以有一個(gè)很有趣的圖像來描述之前的duality宝惰√蛳。考慮一個(gè)Z2的規(guī)范場(chǎng)理論，因?yàn)槭且粋€(gè)pure gauge theoty掌测，里面的observables都是一些non local的規(guī)范不變量：Wilson line 或者‘t Hooft line。在這個(gè)場(chǎng)論的邊界上产园，存在一些charge分別和兩種line耦合汞斧。考慮和Wilson line 耦合的charge構(gòu)成的理論什燕，我們把Wilson line promote成dynamical的粘勒，也就是說把Wilson line 看成gauge，所以要對(duì)所有Wilson line求和屎即。因?yàn)閃ilson line和’t Hooft line是配對(duì)的庙睡，對(duì)Wilson line求和后，我們就得到一個(gè)和‘t Hooft line 耦合的邊界理論技俐。這個(gè)就是之前看到的duality乘陪。如果我們把兩種line 組合在一起還會(huì)得到Dirac line，帶有自旋1/2雕擂。所以我們可以考慮另外一種可能的邊界理論：一個(gè)費(fèi)米理論啡邑。利用剛才的圖像，我們就馬上得到一個(gè)fermionic 和 bosonic 理論的對(duì)偶井赌。