導數(shù)壓軸題分析與解——2018年全國卷理數(shù)2

已知函數(shù) $f(x)=e^{x}-a x^{2}$ .
(1) 若 $a=1$ 拉盾，證明:當 $x \geqslant 0$ 時 $, f(x) \geqslant 1$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一個零點桨菜，求 $a$ .

(1)當 $a=1$ 時， $f(x)=e^{x}- x^{2}$ 捉偏， $f'(x)=e^x-2x$ 倒得， $f''(x)=e^x-2$ ，

$x\in[0,\ln2)$ 時夭禽， $f''(x)<0$ 屎暇， $x\in(\ln2,+\infty)$ 時， $f''(x)>0$ 驻粟，

所以 $f'(x)$ 在 $[0,\ln2)$ 單減根悼，在 $(\ln2,+\infty)$ 單增，則 $f'(x)\geqslant f'(\ln2)=2-2\ln2>0$ 蜀撑，

所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 單增挤巡，則 $f(x)\geqslant f(0)=1$ ，證畢.

(2)

法一（直接討論）

設函數(shù) $h(x)=1-a x^{2} e^{-x}$

$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一個零點當且僅當 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一個零點.

(i) 當 $a \leqslant 0$ 時酷麦， $h(x)>0$ 矿卑， $h(x)$ 沒有零點；
(ii) 當 $a>0$ 時沃饶， $h^{\prime}(x)=ax (x-2) e^{-x}$ 母廷，
當 $x \in(0,2)$ 時候轻黑， $h^{\prime}(x)<0$ ，當 $x \in(2,+\infty)$ 時琴昆， $h'(x)>0$ 氓鄙，

所以 $h(x)$ 在 $(0,2)$ 單減，在 $(2,+\infty)$ 單增.

所以 $h_\min(x)=h(2)=1-\dfrac{4a}{e^2}$ （?）.

①若 $h(2)>0$ 业舍， $h(x)$ 無零點抖拦；

②若 $h(2)=0$ ，即 $a=\dfrac{e^2}{4}$ 舷暮， $h(x)$ 只有一個零點态罪；

③若 $h(2)<0$ ，即 $a>\dfrac{e^2}{4}$ 時下面， $h(0)=1>0$ 复颈， $h(4 a)=1-\dfrac{16 a^{3}}{e^{4}}=1-\dfrac{16 a^{3}}{\left(e^{2}\right)^{2}}>1-\dfrac{16 a^{2}}{(2 a)^{4}}=1-\dfrac{1}{a}>0$ ；
由零點定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性沥割， $h(x)$ 在 $(0,2)$ 券膀， $(2,4a)$ 各有一個零點.
綜上， $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一個零點時, $a=\dfrac{e^{2}}{4}$ .

反思：做到(?)式的時候驯遇，估計有些同學就能得到 $a=\dfrac{e^{2}}{4}$ 了芹彬，但要知道，后續(xù)過程是必須的叉庐，特別是那個 $h(4a)$ 還不容易想到舒帮，雖然函數(shù) $h(x)$ 先減后增，但從何減起陡叠、增去何處必須要考慮玩郊，如果函數(shù)有水平漸近線就要出問題.