1. 淺顯易懂了解李群和李代
2. 補(bǔ)充
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首先，假裝（也可能是真的）自己是個(gè)小白锦溪，我們假想對(duì)面坐了一個(gè)大牛師兄蒸健，下面我們開啟問答模式望迎。
▌一、為啥需要李代數(shù)
小白：師兄，我最近在學(xué)習(xí)SLAM戳晌，看到李群泞辐、李代數(shù)這一塊一直看不懂笔横，不知所云啊，師兄能不能用通俗易懂的方式給我講解一下咐吼？
師兄：好啊吹缔，正好這會(huì)有空，講完正好去吃飯
小白：我請(qǐng)師兄吃燒烤锯茄！
師兄：哈哈厢塘，那我必須給你講明白啦茶没！現(xiàn)在開始吧
小白：好，先問下師兄晚碾，我在看高博的書抓半，前面幾章挺順利的，第四章突然跳出來李群和李代數(shù)格嘁，一堆公式推導(dǎo)笛求，看的我頭都大了
師兄：這部分公式是有點(diǎn)多，不過李群李代數(shù)是為了解決SLAM中非常實(shí)際的問題的糕簿。到后面會(huì)用到的
小白：看來逃不過啊探入。。冶伞。
師兄：是的新症，這部分必須要理解的。剛才說到了解決SLAM中實(shí)際問題响禽，我展開說下徒爹。我們知道SLAM的過程就是不斷的估計(jì)相機(jī)的位姿和建立地圖。其中芋类，相機(jī)位姿也就是我們所說的變換矩陣T
師兄：下面舉個(gè)例子說明隆嗅。比如你拿著相機(jī)一邊移動(dòng)一邊拍，假設(shè)某個(gè)時(shí)刻相機(jī)的位姿是T侯繁，它觀察到一個(gè)在世界坐標(biāo)系中的一個(gè)空間點(diǎn)p胖喳，并在相機(jī)上產(chǎn)生了一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)z，那么z = Tp + noise贮竟，noise是觀測(cè)噪聲丽焊。那么觀測(cè)誤差就是e = z - Tp
小白：嗯，我知道咕别，我們的目的就是使得誤差最小咯~
師兄：對(duì)的技健，假設(shè)我們總共有N個(gè)這樣的三維點(diǎn)p和觀測(cè)值z(mì)，那么我們的目標(biāo)就是尋找一個(gè)最佳的位姿T惰拱，使得整體誤差最小化雌贱，也就是：
求解此問題，就是求目標(biāo)函數(shù)J對(duì)于變換矩陣T的導(dǎo)數(shù)偿短。
小白：嗯欣孤，對(duì)矩陣求導(dǎo)？第一次 聽說啊昔逗。降传。
師兄：聽起來確實(shí)有點(diǎn)怪。我們先來看看變換矩陣T勾怒，我們知道T所在的SE(3)空間婆排，對(duì)加法計(jì)算并不封閉款票，也就是說任意兩個(gè)變換矩陣相加后并不是一個(gè)變換矩陣，這主要是因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣對(duì)加法是不封閉造成的泽论，它是有約束的
小白：旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)加法不封閉啥意思艾少？
師兄：嗯，這個(gè)我一會(huì)會(huì)細(xì)講翼悴，這里你先記住好了缚够。到后面你就知道了
小白：好的，那剛才的問題怎么解決呢鹦赎？
師兄：這個(gè)問題問的好谍椅，李代數(shù)就是解決這個(gè)問題的。我們把大寫SE(3)空間的T映射為一種叫做李代數(shù)的東西古话，映射后的李代數(shù)我們叫做小se(3)好了雏吭。它是由向量組成的，我們知道向量是對(duì)加法封閉的陪踩。這樣我們就可以通過對(duì)李代數(shù)求導(dǎo)來間接的對(duì)變換矩陣求導(dǎo)了杖们。
小白：原來如此啊肩狂！不過剛才說了那么多概念摘完，都是什么意思啊傻谁？
▌二孝治、 李群怎么理解？
師兄：不急审磁，我一個(gè)個(gè)說谈飒。我先說說李群吧，不态蒂，先說說群吧杭措。按照數(shù)學(xué)上定義：群（group）就是一種集合加上一種運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群有幾個(gè)運(yùn)算性質(zhì)吃媒，好像高博說是“鳳姐咬你”
小白：（瞪大了眼睛）嗯瓤介？
師兄：哦吕喘，諧音諧音赘那。。氯质。就是：封閉性募舟，結(jié)合律，幺元闻察，還有逆拱礁。對(duì)了琢锋，比如旋轉(zhuǎn)矩陣和乘法就構(gòu)成了旋轉(zhuǎn)矩陣群，變換矩陣和乘法也構(gòu)成了變換矩陣群呢灶。對(duì)了吴超，你說，旋轉(zhuǎn)矩陣和加法能構(gòu)成群?jiǎn)幔?/p>
小白：額鸯乃。鲸阻。剛才好像說不行吧？
師兄：嗯缨睡，不行的 鸟悴，他們不滿足封閉性。剛才沒有細(xì)講奖年，下面仔細(xì)解釋原因细诸。我們知道旋轉(zhuǎn)矩陣R本身有一定的約束：
兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R1+R2的結(jié)果就不能滿足上述約束了，但是R1*R2滿足陋守。此外震贵，旋轉(zhuǎn)矩陣還滿足結(jié)合律：(R1R2)R3=R1(R2R3)，還有幺元是單位矩陣I水评，也有逆矩陣滿足R乘以R的逆等于幺元（單位陣）屏歹。還有，我們?cè)赟LAM里最常說的有兩個(gè)之碗，一個(gè)是特殊正交群SO(3)蝙眶，也就是旋轉(zhuǎn)矩陣群，還有特殊歐氏群SE(3)褪那，也就是變換矩陣群幽纷，3代表是三維的
小白：嗯嗯，書上看了博敬，我差不多理解群是個(gè)什么東東了友浸，那李群呢？
師兄：李群的定義是指連續(xù)光滑的群偏窝，比如我們前面說的旋轉(zhuǎn)矩陣群SO(3)收恢，你想象你拿個(gè)杯子就可以在空間中以某個(gè)支點(diǎn)連續(xù)的旋轉(zhuǎn)它，所以SO(3)它就是李群祭往。如果你一般旋轉(zhuǎn)一邊移動(dòng)它伦意，也是連續(xù)的或者說光滑的運(yùn)動(dòng)，所以變換矩陣群SE(3)也是李群
▌三硼补、 李代數(shù)是李群的親戚嗎驮肉？
小白：嗯，師兄已骇，那李代數(shù)呢离钝，它和李群都姓李票编，他們什么關(guān)系？
師兄：（一臉黑線）我個(gè)人的理解是這樣的卵渴，就是我們相機(jī)在三維空間中是連續(xù)的旋轉(zhuǎn)或者變換的嘛慧域，剛才說過，而我們SLAM目的就是優(yōu)化求解相機(jī)的這個(gè)最佳的位姿T（變換矩陣）浪读，優(yōu)化方法一般都采用迭代優(yōu)化的方法吊趾，每次迭代都更新一個(gè)位姿的增量delta，使得目標(biāo)函數(shù)最小瑟啃。這個(gè)delta就是通過誤差函數(shù)對(duì)T微分得到的论泛。也就是說我們需要對(duì)變換矩陣T求微分（導(dǎo)數(shù)），我們先以SO(3)空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣 R為例來說說吧蛹屿，你覺得如何對(duì)R求微分呢屁奏？
小白：矩陣怎么求。错负。求微分甘耿，這個(gè)能微分嗎常熙？以前沒有學(xué)過扒团小颓屑！
師兄：可以的，李群和李代數(shù)都姓李（笑）识颊，你還別說诚镰，他們之間的確存在某種微分關(guān)系。我們先把結(jié)論放這里：李代數(shù)對(duì)應(yīng)李群的正切空間祥款，它描述了李群局部的導(dǎo)數(shù)
小白：也就是說清笨，李代數(shù)對(duì)應(yīng)了李群的導(dǎo)數(shù)？
師兄：可以這么理解刃跛，你可以去看一下十四講中65-66頁那部分的推導(dǎo)抠艾，我們只關(guān)注兩個(gè)結(jié)論就行了
第一個(gè)結(jié)論：
看下面的公式，我們發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)矩陣的微分是一個(gè)反對(duì)稱(也叫斜對(duì)稱)矩陣左乘它本身桨昙，也印證了我前面說的检号，矩陣是可以微分的。對(duì)于某個(gè)時(shí)刻的R(t)（李群空間）蛙酪，存在一個(gè)三維向量φ=（φ1齐苛，φ2，φ3）（李代數(shù)空間）滤否，用來描述R在t時(shí)刻的局部的導(dǎo)數(shù)
▌四脸狸、?反對(duì)稱矩陣是啥最仑？
小白：等一下藐俺，師兄炊甲，反對(duì)稱矩陣是啥？第一次聽說啊
師兄：哦哦欲芹，忘記解釋了卿啡。反對(duì)稱矩陣英文是skew symmetric matrix，有的地方也翻譯為斜對(duì)稱矩陣菱父，其實(shí)是一個(gè)東西
小白：這個(gè)反對(duì)稱矩陣是啥意思颈娜？
師兄：反對(duì)稱矩陣其實(shí)是將三維向量和三維矩陣建立對(duì)應(yīng)關(guān)系。它是這樣定義的：如果一個(gè)3 X 3的矩陣A滿足如下式子
那么A就是反對(duì)稱矩陣浙宜。你看左邊有個(gè)轉(zhuǎn)置官辽，右邊有個(gè)負(fù)號(hào)，叫反對(duì)稱矩陣粟瞬，還是挺形象的
小白：額同仆，好像有點(diǎn)明白，不過這個(gè)有啥用叭蛊贰俗批？
師兄：先別急，先問你一個(gè)問題市怎，你覺得反對(duì)稱矩陣它的元素有什么特點(diǎn)岁忘？
小白：啊。区匠。特點(diǎn)啊干像，我想想（一分鐘過去了。驰弄。）
師兄：根據(jù)它的性質(zhì)蝠筑，先想想對(duì)角線元素。你看揩懒，上式等式左邊矩陣A轉(zhuǎn)置后什乙，對(duì)角線元素aii是不是還在對(duì)角線上？
小白：對(duì)哦已球，師兄好厲害臣镣！
師兄：額...別打岔，等式右邊智亮，所有元素取負(fù)號(hào)忆某，那么對(duì)于對(duì)角線元素aii來說，是不是滿足aii=-aii阔蛉？
小白：是哦弃舒，所以aii=0，也就是說反對(duì)稱矩陣對(duì)角線元素都為0？
師兄：bingo聋呢！確實(shí)是這樣苗踪。那么非對(duì)角線元素還有6個(gè)，它們能不能精簡(jiǎn)呢削锰？
小白：我想想通铲，感覺好像是有重復(fù)的，好像可以用更少的元素來表示
師兄：沒錯(cuò)器贩！我舉個(gè)例子颅夺，等式左邊第2行第1列位置的元素，是矩陣A元素a12轉(zhuǎn)置后到了位置a21蛹稍，等式右邊原來a21變成了 -a21吧黄，所以其實(shí)對(duì)于矩陣A，元素a12 = -a21唆姐，所以用一個(gè)元素及其負(fù)數(shù)就可以表示矩陣中這兩個(gè)元素稚字，同理，其他4個(gè)元素也是這樣厦酬。所以胆描，其實(shí)矩陣A中非對(duì)角線元素只用3個(gè)元素就可以表示。也就是說反對(duì)稱矩陣A只有3個(gè)自由度
小白：嗯呢仗阅，師兄好厲害昌讲！不過。减噪。短绸。知道這些有啥用啊筹裕？
師兄：這個(gè)反對(duì)稱矩陣只有3個(gè)自由度很重要啊醋闭，這樣我們就可以把一個(gè)三維向量和一個(gè)三維矩陣建立對(duì)應(yīng)關(guān)系
小白：師兄，感覺還是很抽象俺洹证逻！
師兄：哦哦，那我舉個(gè)栗子給你看看抗斤。我們假設(shè)有一個(gè)反對(duì)稱矩陣A的定義如下：
小白：等下囚企，我看看是否滿足性質(zhì)：該矩陣的轉(zhuǎn)置等于該矩陣元素取負(fù)數(shù)......
師兄：你看是不是我們前面推算的一致啊，對(duì)角線元素為0瑞眼，只有3個(gè)自由度龙宏？
小白：是哦，確實(shí)沒錯(cuò)伤疙！師兄繼續(xù)吧银酗！
師兄：我們定義對(duì)應(yīng)的一個(gè)三維向量：
然后我們用一個(gè)上三角符號(hào)來表示這個(gè)向量α和三維矩陣A的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
小白：這個(gè)符號(hào)感覺很神奇啊！
師兄：是的黍特，通過這個(gè)符號(hào)蛙讥，我們把向量和矩陣建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。這個(gè)在后面非常重要衅澈。你再看看前面的第一個(gè)結(jié)論就好理解很多了
小白：嗯嗯键菱。確實(shí)是呢谬墙。師兄繼續(xù)下一個(gè)結(jié)論吧
▌五今布、?指數(shù)映射
師兄：好 ，下面說說第二個(gè)結(jié)論拭抬。通過高博一系列辛苦的 計(jì)算（笑）部默，我們最終得到下面式子，它的前提是R在原點(diǎn)附近的一階泰勒展開造虎，我們看到這個(gè)向量φ=（φ1傅蹂，φ2，φ3）反應(yīng)了R的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)算凿，故稱它在SO(3)上的原點(diǎn) φ0 附近的正切空間上份蝴。這個(gè)φ正是李群大SO(3)對(duì)應(yīng)的李代數(shù)小so(3)
小白：好暈啊......
師兄：你這么理解吧，李代數(shù)小so(3)是三維向量φ的集合氓轰，每個(gè)向量φi的反對(duì)稱矩陣都可以表達(dá)李群(大SO(3))上旋轉(zhuǎn)矩陣R的導(dǎo)數(shù)婚夫，而R和φ是一個(gè)指數(shù)映射關(guān)系。也就是說署鸡，李群空間的任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R都可以用李代數(shù)空間的一個(gè)向量的反對(duì)稱矩陣指數(shù)來近似
小白：好繞的繞口令啊......
師兄：沒事案糙，你只要記得用旋轉(zhuǎn)矩陣表示的話就是李群空間，也是我們熟悉的表示方法靴庆。而用向量的反對(duì)稱矩陣表示的話就是李代數(shù)空間时捌，這兩個(gè)空間建立了聯(lián)系
小白：師兄，那這個(gè)古怪的式子：
如何計(jì)算呢炉抒？
師兄：嗯奢讨，這個(gè)用大一學(xué)的微積分就行
小白：微積分忘的差不多了......
師兄：沒事，其實(shí)就只用到指數(shù)e的泰勒展開
小白：師兄焰薄，書上的推導(dǎo)好麻煩扒菪Α！
師兄：先不管具體推導(dǎo)過程蛤奥，我們先來看看結(jié)論佳镜，你說的那個(gè)指數(shù)形式的古怪的式子通過運(yùn)用泰勒展開，以及反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)凡桥，我們可以得到如下結(jié)果：
其中：三維向量 φ = θa蟀伸，a是一個(gè)長(zhǎng)度為1的方向向量。看到這個(gè)式子有沒有覺得很神奇啊掏？
小白：好像在哪里見過按缆纭！
師兄：嗯迟蜜，這個(gè)式子和羅德里格斯公式長(zhǎng)的一模一樣
小白：忘了什么是羅德里格斯公式了......
師兄：你還記得旋轉(zhuǎn)的表示方法嗎刹孔？有旋轉(zhuǎn)矩陣、旋轉(zhuǎn)向量娜睛、歐拉角髓霞、四元數(shù)，而羅德里格斯公式是表示從旋轉(zhuǎn)向量到旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)換過程的
小白：師兄這么一說畦戒，我想起來了方库，旋轉(zhuǎn)向量也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，旋轉(zhuǎn)軸也是單位方向向量
師兄：其實(shí)旋轉(zhuǎn)向量就是這里的李代數(shù)
小白：罢险纵潦？這怎么會(huì)扯上關(guān)系？
師兄：你可能有點(diǎn)反應(yīng)不過來垃环，不過的確小so(3)的李代數(shù)空間就是由旋轉(zhuǎn)向量組成的的空間邀层，其物體意義就是旋轉(zhuǎn)向量。而前面結(jié)論二中的指數(shù)映射關(guān)系就是羅德里格斯公式遂庄，他們?cè)跀?shù)學(xué)上本質(zhì)是一樣的
小白：真的好神奇傲仍骸！
師兄：嗯涧团，這樣我們可以說旋轉(zhuǎn)矩陣的導(dǎo)數(shù)可以由其對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)向量指定只磷，指導(dǎo)如何在旋轉(zhuǎn)矩陣中進(jìn)行微積分運(yùn)算
小白：這樣就好理解多了！
▌六泌绣、?李群李代數(shù)之間的指數(shù)對(duì)數(shù)映射關(guān)系
師兄：嗯钮追，反過來，用對(duì)數(shù)映射也能把大SO(3)李群空間中元素映射到小so(3)李代數(shù)空間中去阿迈。前面我們都是講的SO(3)上的映射關(guān)系元媚，放到SE(3)上推導(dǎo)類似，也是泰勒展開苗沧，旋轉(zhuǎn)矩陣R映射結(jié)果和SO(3)一樣刊棕，平移部分指數(shù)映射后會(huì)有稍許的不同，它前面多了一個(gè)系數(shù)矩陣待逞，這些都可以自己證明一下
小白：嗯嗯甥角，師兄，是不是只要記住高博大神書上的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖就行啦识樱？
師兄：這個(gè)圖要理解透徹喔嗤无！
小白：對(duì)了震束，師兄，好像還有一個(gè)左擾動(dòng)当犯，右擾動(dòng)什么的垢村，這個(gè)是干什么用的呀？
師兄：這個(gè)是用李代數(shù)解決求導(dǎo)問題時(shí)使用的方法嚎卫。對(duì)了嘉栓，李代數(shù)是對(duì)加法封閉的嗎？
小白：嗯拓诸，李代數(shù)是由向量組成的侵佃，向量對(duì)加法運(yùn)算是封閉的
師兄：嗯，學(xué)的真快恰响！你說的沒錯(cuò)趣钱。李代數(shù)求導(dǎo)分兩種：一種是用李代數(shù)表示位姿涌献，然后根據(jù)李代數(shù)加法來對(duì)李代數(shù)求導(dǎo)胚宦。這種方法書中也推導(dǎo)了，結(jié)果中有復(fù)雜的雅克比公式燕垃，不是很方便枢劝。一般都用第二種，就是對(duì)李群進(jìn)行左乘或者右乘微小的擾動(dòng)卜壕，然后對(duì)該擾動(dòng)求導(dǎo)您旁。書上高博也推導(dǎo)了，你看結(jié)果還是挺簡(jiǎn)潔的
小白：那我們就用擾動(dòng)模型好啦~
師兄：確實(shí)實(shí)際SLAM問題中轴捎，擾動(dòng)模型比較實(shí)用方便鹤盒。擾動(dòng)模型的推導(dǎo)一定要自己推一遍哦！
小白：謝謝師兄耐心解答侦副，走侦锯，請(qǐng)你吃燒烤去。
補(bǔ)充：
李群是指具有連續(xù)（光滑）性質(zhì)的群（流行）秦驯。像整數(shù)群Z那樣離散的群沒有連續(xù)性質(zhì)尺碰，所以不是李群。而SO(n)和SE(n)译隘，它們?cè)趯?shí)數(shù)空間上是連續(xù)的亲桥。我們能夠直觀地想像一個(gè)剛體能夠連續(xù)地在空間上運(yùn)動(dòng)。李群是一個(gè)高維空間裡面的低維群面固耘，或者說是低維流形题篷，在流形的原點(diǎn)附近做一個(gè)切空間（切平面），在這個(gè)切空間上找到的任意點(diǎn)我都可以透過exp映射回去（回去李群中）厅目，同理也能映射回來
