3音瓷、數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念

3.1基本概念釋義

1.定義：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中姓迅，稱研究對象的全體為總體般甲，通常用一個隨機(jī)變量表示總體。組成總體的每個基本單元叫個體墓造。從總體X中隨機(jī)抽取一部分個體觅闽，稱這部分個體為取自X的容量為n的樣本蛉拙。

樣本具有兩重性孕锄，即當(dāng)再一次具體地抽樣后它是一組確定的數(shù)值吮廉。但在一般敘述中宦芦，樣本也是一組隨機(jī)變量恼除，因?yàn)槌闃邮请S機(jī)的踪旷。一般地，用 $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 表示隨機(jī)樣本豁辉，它們?nèi)〉降闹涤洖?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x_%7B1%7D%2C%20x_%7B2%7D%2C...%20x_%7Bn%7D%20" alt="x_{1}, x_{2},... x_{n} " mathimg="1">稱為樣本觀測值令野。

樣本作為隨機(jī)變量，有一定的概率分布徽级，這個概率分布稱為樣本分布气破。顯然，樣本分布取決于總體的性質(zhì)和樣本的性質(zhì)餐抢。

3.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是采集和處理帶有隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)现使，或者說收集樣本并對之進(jìn)行加工，以此對所研究的問題做出一定的結(jié)論旷痕，這個過程稱為統(tǒng)計(jì)推斷

定義：設(shè) $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 是總體X的一個簡單隨機(jī)樣本， $T(X_{1}, X_{2},...X_{n})$ 為一個n元連續(xù)函數(shù)欺抗，且T中不包含任何關(guān)于總體的未知參數(shù)售碳，則稱 $T(X_{1}, X_{2},...X_{n})$ 是一個統(tǒng)計(jì)量，稱統(tǒng)計(jì)量的分布為抽樣分布绞呈。

3.3常用的統(tǒng)計(jì)量

1.樣本均值

設(shè) $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 是總體X的一個簡單隨機(jī)樣本贸人，稱

$\bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{i}$

為樣本均值。通常用樣本均值來估計(jì)總體分布的均值和對有關(guān)總體分布均值的假設(shè)作檢驗(yàn)佃声。

2.樣本方差

設(shè) $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 是總體X的一個簡單隨機(jī)樣本艺智， $\bar{X}$ 為樣本均值，稱

$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_{i}-\bar{X})^2$

為樣本方差圾亏。通常用樣本方差來估計(jì)總體分布的方差和對有關(guān)總體分布均值或方差的假設(shè)作檢驗(yàn)十拣。

3.k階樣本原點(diǎn)矩

設(shè) $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 是總體X的一個簡單隨機(jī)樣本封拧，稱

$A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_{i}^k$

為樣本的k階原點(diǎn)矩（可以看到當(dāng)k=1時，相當(dāng)于樣本均值）铛只，通常用樣本的無階原點(diǎn)矩來估計(jì)總體分布的k階原點(diǎn)矩埠胖。

4.k階樣本中心矩

設(shè) $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 是總體X的一個簡單隨機(jī)樣本， $\bar{X}$ 為樣本均值淳玩，稱

$M_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_{i}-\bar{X} )^k$

為樣本的k階中心矩直撤，通常用樣本的k階中心矩來估計(jì)總體分布的k階中心矩。

5.順序統(tǒng)計(jì)量

設(shè) $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 是抽自總體X的樣本蜕着， $x_{1}, x_{2},... x_{n}$ 為樣本觀測值谋竖。將 $x_{1}, x_{2},... x_{n}$ 按照從小到大的順序排列為

$x_{(1)}<= x_{(2)}<=... <=x_{(n)}$

當(dāng)樣本 $X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 取值 $x_{1}, x_{2},... x_{n}$ 時，定義 $X_{(k)}$ 取值 $X_{(k)}$ （k = 1,2,...n）,稱 $X_{(1)},X_{(2)},...X_{(n)}$ 為

$X_{1}, X_{2},...X_{n}$ 的順序統(tǒng)計(jì)量承匣。

4.描述性統(tǒng)計(jì)

4.1數(shù)據(jù)集中趨勢的度量

1.平均數(shù)：是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)蓖乘，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)

2.中位數(shù)：是指在一組數(shù)據(jù)中，按順序排列后韧骗，居于中間位置的數(shù)嘉抒。中位數(shù)表述數(shù)據(jù)中心位置的數(shù)字特征，對于對稱分布的數(shù)據(jù)袍暴，均值與中位數(shù)比較接近些侍；對于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，均值與中位數(shù)不同政模。中位數(shù)不受異常值的影響岗宣，具有穩(wěn)健性。

3.頻數(shù)：指同一觀測值在一組數(shù)據(jù)中心出現(xiàn)的次數(shù)淋样。

4.眾數(shù)：就是一組數(shù)據(jù)中耗式，出現(xiàn)最多的那個數(shù)。

5.百分位數(shù)：百分位數(shù)就是中位數(shù)的推廣习蓬，將數(shù)據(jù)按從小到大排列后纽什，按照百分?jǐn)?shù)進(jìn)行定位。

4.2數(shù)據(jù)離散趨勢的度量

表示數(shù)據(jù)分散（離散躲叼，差異）成都的特征量有方差芦缰，標(biāo)準(zhǔn)差，極差以及變異系數(shù)等枫慷。

1.方差：用來計(jì)算每一個變量（觀察值）與總體均數(shù)之間的差異让蕾。實(shí)際工作中浪规，總體均屬難以得到時，應(yīng)用樣本統(tǒng)計(jì)量代替總體參數(shù)探孝，經(jīng)校正后笋婿，樣本方差計(jì)算公式：

$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_{i}-\bar{X})^2$

2.標(biāo)準(zhǔn)差：樣本方差的開平方成為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

3.極差：數(shù)據(jù)越分散顿颅，極差越大缸濒。

$R = x_{(n)} -x_{(1)} = max(x)-min(x)$

4.變異系數(shù)：

a.是刻畫數(shù)據(jù)相對分散性的一種度量。變異系數(shù)只在平均值不為零時有意義粱腻，而且一般適用于平均值大于零的情況庇配。變異系數(shù)也被稱為標(biāo)準(zhǔn)離差率或單位風(fēng)險(xiǎn)。

b.當(dāng)需要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時候绍些，如果兩組數(shù)據(jù)的測量尺度相差太大捞慌，或者數(shù)據(jù)量綱的不同，變異系數(shù)可以消除測量尺度和量綱的影響柬批。

5.四分位差：樣本上啸澡、下四分位數(shù)之差稱為四分位差（或半極差）。它也是度量樣本分散性的重要數(shù)字特征氮帐，特別對于具有異常值的數(shù)據(jù)嗅虏，它作為分散性具有穩(wěn)健性。

4.3分布特征

描述一個隨機(jī)變量上沐，不僅要說明它能夠取哪些值旋恼，還要關(guān)心它取這些值的概率（可能性）。

1.離散變量與連續(xù)變量：

離散型隨機(jī)變量是指其數(shù)值只能用自然數(shù)或整數(shù)單位計(jì)算的則為離散變量奄容。例如：班級人數(shù)冰更，電腦臺數(shù)等，只能按計(jì)量單位數(shù)計(jì)數(shù)昂勒，這種變量的數(shù)值一般用計(jì)數(shù)方法取得蜀细。

反之，在一定區(qū)間內(nèi)可以任意取值的變量叫連續(xù)變量戈盈，其數(shù)值是連續(xù)不斷的奠衔，即可取無限個數(shù)值。例如：人體測量的身高塘娶，體重等归斤。

如果隨機(jī)變量的值可以都可以逐個列舉出來，則為離散型隨機(jī)變量刁岸。如果隨機(jī)變量X的取值無法逐個列舉則為連續(xù)型變量脏里。

2.概率函數(shù)：就是用函數(shù)的形式來表達(dá)概率。（大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率來估計(jì)概率虹曙，它約等于事件出現(xiàn)的頻數(shù)除以重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)）迫横，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率函數(shù)就叫做概率密度函數(shù)番舆。

3.分布函數(shù)：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意的實(shí)數(shù)x矾踱，令

$F(x) = P\{X<=x\},x\in (-\propto 恨狈，+\propto )$

則稱F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)（概率累積函數(shù)）。

分布函數(shù)和密度函數(shù)的區(qū)別：密度函數(shù)求積分為分布函數(shù)呛讲，分布函數(shù)求導(dǎo)為密度函數(shù)

4.正態(tài)分布：也稱高斯分布禾怠，是一個非常常見的連續(xù)概率分布。概率密度函數(shù)為

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}\sigma } exp\{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}\},-∞<x<+∞$

例如測量誤差贝搁、商品的重量或尺寸刃宵、某年齡人群的身高和體重均為正態(tài)分布。

對于一般正態(tài)分布徘公，從 $\mu -3\sigma$ 到 $\mu +3\sigma$ 的區(qū)間上概率密度曲線之下的面積占總面積的99.7%，這就是著名的 $3\sigma$ 原則哮针。

4.4偏度與峰度

偏度（skewness）:也稱偏態(tài)关面，是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布偏斜方向和程度的度量，是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布非堆成程度的數(shù)字特征十厢。直觀看來就是密度函數(shù)曲線尾部的相對長度等太。偏度刻畫的是分布函數(shù)（數(shù)據(jù)）的對稱性。關(guān)于均值對稱的數(shù)據(jù)其偏度系數(shù)為0蛮放，右側(cè)更分散的數(shù)據(jù)偏度系數(shù)為正缩抡，左側(cè)更分散的數(shù)據(jù)偏度系數(shù)為負(fù)

正態(tài)分布的偏度為0，兩側(cè)尾部長度對稱

左偏：1.以bs表示偏度包颁。bs<0稱分布具有負(fù)偏離瞻想，也稱左偏態(tài)；2.此時數(shù)據(jù)位于均值左邊的比位于右邊的少娩嚼，直觀表現(xiàn)為左邊的尾部相對于右邊的尾部要長蘑险；3.因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很小，使曲線左側(cè)尾部拖得很長岳悟。

右偏：1.bs>0稱分布具有正偏離佃迄，也稱右偏態(tài)；2.此時數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的少贵少，直觀表現(xiàn)為右邊的尾部相對于左邊的要長呵俏；3.因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很大，使曲線右側(cè)尾部拖得很長滔灶。

峰度（peakedness;kurtosis）:說明的是分布曲線在平均值處峰值高低的特征數(shù)普碎。直觀看來，峰度反映了峰部的尖度录平。樣本的峰度是和正態(tài)分布相比較而言的統(tǒng)計(jì)量随常，如果峰度大于三潜沦，峰的形狀比較尖，比正態(tài)分布峰要陡峭绪氛。反之亦然唆鸡。峰度刻畫的是分布函數(shù)集中和分散程度。

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