有這樣一個(gè)故事，炎炎夏日决瞳，我想去商店買(mǎi)冰淇淋货徙，當(dāng)然，在我走完一半路程之前皮胡，我不可能到達(dá)商店痴颊，在我走完一半路程之后，如果我不接著走完剩下路程的一半屡贺，我還是無(wú)法到達(dá)商店蠢棱。每次我都要先走完剩下路程的一半才有可能到達(dá)商店锌杀，如此循環(huán)，我會(huì)越來(lái)越接近商店泻仙，但我無(wú)論走完多少半程糕再，永遠(yuǎn)無(wú)法到達(dá)冰淇淋店，我與冰淇淋店店之間永遠(yuǎn)都有一段非常小但不等于零的距離玉转。但對(duì)于此刻正美美的吃著冰淇淋的我來(lái)說(shuō)突想，這個(gè)故事顯然只會(huì)發(fā)生在想象中。
其實(shí)這個(gè)故事的學(xué)名叫芝諾悖論究抓，雖然原始的故事不是這么講的猾担，可能是因?yàn)槟菚r(shí)候還沒(méi)有冰淇淋。如果故事是真的刺下，那所有的運(yùn)動(dòng)都不可能實(shí)現(xiàn)了绑嘹。很開(kāi)心的是我只需要走兩步就完美的駁斥了這個(gè)故事，但故事的問(wèn)題在哪里呢橘茉，為什么看上去好像很有道理呢工腋？
我們可以利用數(shù)字把商店之行分成若干份，我們先走一半捺癞，即1/2,然后走剩下路程的一半夷蚊，即全程的1/4，接著1/8,1/16,1/32......髓介。走完商店的過(guò)程就是：
1/2 + 1/4+1/8 + 1/16+.....
把這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)相加約等于0.999，前20項(xiàng)求和大約是0.999999筋现，但無(wú)論我們加多少項(xiàng)唐础，都無(wú)法得到1。這就引出了數(shù)學(xué)中的另一個(gè)難題矾飞，循環(huán)小數(shù)0.999999.....是否等于1一膨？
如果是之前的冰淇淋問(wèn)題，我們只需要走兩步洒沦，但對(duì)于這個(gè)數(shù)字問(wèn)題豹绪，可能很多人會(huì)覺(jué)得這個(gè)循環(huán)小數(shù)看上去不等于1，要小一點(diǎn)申眼，這個(gè)循環(huán)小數(shù)與1越來(lái)越接近瞒津，但可能永遠(yuǎn)無(wú)法等于1。
但事實(shí)是它們是相等的括尸，比如下面這些數(shù)學(xué)證明方法：
0.3333......=1/3
兩邊同時(shí)乘以3巷蚪，我們會(huì)得到
0.9999......=1
這個(gè)證明看上去好有道理，但嚴(yán)格意義上講這并不算一個(gè)證明濒翻，它不能消除疑慮去相信0.9999......等于1屁柏，而只是讓我們接受0.3333......=1/3這個(gè)等式啦膜。那么0.9999......究竟是什么呢？這個(gè)無(wú)窮小數(shù)可以看做下面數(shù)字求和
0.9+0.09+0.009+......
如果這些數(shù)字是有限的淌喻，兩個(gè)僧家、三個(gè)、1000個(gè)數(shù)字求和裸删，結(jié)果肯定不會(huì)引起爭(zhēng)議八拱，問(wèn)題就在于無(wú)窮多個(gè)數(shù)字求和是多少呢？根本沒(méi)有烁落，除非我們?yōu)樗x予一個(gè)值乘粒，19世紀(jì)20年代，數(shù)學(xué)家柯西完成了這次創(chuàng)新伤塌，引入了極限的概念灯萍。在柯西之前，面對(duì)這樣的數(shù)字求和問(wèn)題每聪，人們首先想到的是結(jié)果是多少旦棉，而重來(lái)沒(méi)有人思考怎樣定義這個(gè)問(wèn)題。
本文并非討論該怎樣證明這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題药薯，只是去嘗試了解下問(wèn)題的思考過(guò)程绑洛，為什么我們的直覺(jué)有時(shí)會(huì)犯錯(cuò)。比如下面這道找規(guī)律題
0.9<1,
0.99<1,
0.999<1
...
我們會(huì)不會(huì)理所當(dāng)然的得到0.9999......<1呢,顯然童本，我們忽略了前面給出的條件是針對(duì)有限小數(shù)的真屯，而我們給出的結(jié)論卻是無(wú)窮。這是兩個(gè)不同的維度穷娱，而我就是那個(gè)被數(shù)學(xué)這座大山壓住的小猴子绑蔫，但為了生存，我已成功甩鍋給了省略號(hào)泵额，都是因?yàn)槭÷蕴?hào)迷惑了我的雙眼配深。
雖然很多時(shí)候我們直覺(jué)的想法會(huì)被現(xiàn)實(shí)啪啪啪打臉，但敗給數(shù)學(xué)嫁盲，我心服口服篓叶，相信能看我啰嗦這么多的一定是對(duì)真理有著追求的人，一定非常想知道嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明是什么樣的羞秤，請(qǐng)參考這是本書(shū) 附錄2缸托，對(duì)于我這樣非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的人來(lái)說(shuō)，我選擇抱數(shù)學(xué)的大腿锥腻，相信這個(gè)結(jié)論嗦董。
