<b>1.</b> 設(shè) a 和 b 是不全為 0 的實(shí)數(shù)毡熏，求實(shí)數(shù) c 和 d, 使得
1/(a +bi) = c+ di.

答：即求復(fù)數(shù)的除法：使用共軛復(fù)數(shù)消去分母下的復(fù)數(shù)。
得出c=a/(a^2+b^2) d=-b/(a^2+b^2)

<b>2</b>.證明 是1的一個立方根(即它的立方等于1)

答：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算凡橱，記住i^2=-1,然后依次將分?jǐn)?shù)自相乘三次就可以了一死。

<b>3.</b>證明：對每個 , 都有 -(-v) = v.

因?yàn)橄蛄康男再|(zhì)敷搪，一定有加法逆蹄胰。
v的加法逆是-v擂涛，-v的加法逆是 -(-v).
則有0=v+(-v),0=(-v)+[-(-v)],
則v+(-v)+(--v)=(--v)=>v+0=(--v)=>--v=v

<b>4.</b>證明：若 , 且 則 或者

答：若a!=0,且v!=0,則av中的每個子元素不全為0扔茅，那么av不是零向量已旧。

<font color='blue'>參考答案：</font><font color='green'>如果a=0,根據(jù)實(shí)數(shù)0的定義，不管乘啥都是0召娜，乘蘋果就是0個蘋果运褪，乘向量就是0向量。如果a!=0,那么就有1/a *(av)=1/a *0=>v=0玖瘸，也滿足推論秸讹。</font>

<b>5.</b>判斷 的下列子集是不是的子空間：
(a)
(b)
(c)
(d)

答：驗(yàn)證子空間：1.有加法單元0 2.對加法封閉  3.對標(biāo)量乘法封閉
a是子空間 1.每個元素為0，整體值為0,2.(-1,-1,1)+(5,-1,-1)=(4,-2,0) 屬于V雅倒，2*（-1,-1,1)=(-2,-2,2) 屬于V

b不是子空間 沒有加法單元

c不是子空間璃诀，對加法不封閉，(1,0,1)+(0,1,0)=(1,1,1) 不屬于V

d的條件可以寫成x1-5x3=0,類似于a,是子空間蔑匣。

<font color='blue'>參考答案：1.非空2.加法封閉3.乘法封閉</font>

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<b>6.</b>舉出的一個非空子集的例子劣欢，使得對加法和取加法逆封閉(即當(dāng)時，)裁良，但不是的子空間凿将。

因?yàn)橐獫M足加法封閉，所以一定有加法單元价脾。
那么只有不滿足乘法封閉這一條件：
第五題的c選項(xiàng)是對加法不封閉牧抵。
要去乘法不封閉，但是加法封閉侨把，但標(biāo)量乘法和加法是等同的啊犀变。

<font color='blue'>參考答案：在向量中加法和標(biāo)量乘法不等同妹孙。</font>

例如 U={(m,n):m,n are 整數(shù)}
很顯然符合加法和加法逆法則，但是用1/2這種分?jǐn)?shù)去標(biāo)量乘(1,1)這種向量弛作，得到的向量就不屬于U了涕蜂。

<b>7.</b>舉出的一個非空子集 U 的例子华匾，使得 U 對標(biāo)量乘法封閉映琳，但U不是 的子空間。

例題中有個例子U={(m,n):m*n=0}

<b>8.</b>證明 V 的任意一組子空間的交都是 V 的一個子空間蜘拉。

答：設(shè)v既包含于子空間W萨西，又包含于子空間U。則V一定包含于V旭旭。且1.加法單元一定存于交集中2.無論實(shí)在哪個集合都是符合加法封閉和乘法封閉的谎脯。

<font color='blue'>參考答案：</font>假設(shè)是一系列V子空間的集合，其中是索引a的集合持寄。需要證明源梭，即任意個子空間的交集是V的子空間。
1.加法單元在每一個子空間里面稍味。因此0是屬于任意個子空間的交集的废麻。.并且這個交集是非空集。
2.假設(shè)有兩個向量u模庐，v屬于這個交集烛愧，那么屬于任意一個V的子空間中。那么掂碱，因此是加法封閉的怜姿。
3.同理，假設(shè)疼燥，,則au也包含于任意一個V的子空間中沧卢，因此.因此是標(biāo)量乘法封閉的。
以上三點(diǎn)可以證明醉者，是V的子空間但狭。

<b>9.</b>證明 V 的兩個子空間的并是 V 的一個子空間當(dāng)且僅當(dāng)其中的一個子空間包含在另一個子空間中。

答：假設(shè)U是V的子空間湃交，且W是U的子空間熟空，則對于向量v包含于W,則v一定包含于V。充分條件證明完畢搞莺。
假設(shè)W不是U的子空間息罗，存在v包含于W，不包含于U才沧，u包含于U迈喉，不包含于W绍刮。則

<font color='blue'>參考答案：</font>假設(shè)U和W是V的子空間，并且是V的子空間挨摸。
可以通過反證法來證明孩革，或者。

先假設(shè)我們想要的相反的結(jié)果得运，即并且
并且
并且

因?yàn)閡+w一定存在于,這個并集假設(shè)為V的子空間膝蜈。
可以判定，或.
1.假設(shè)熔掺，w=(u+w)+(-u),那么w是兩個U子空間向量的和饱搏，不符合假設(shè).
2.同理假設(shè)，u=(u+w)+(-w),那么u是兩個W子空間向量的和置逻，不符合假設(shè).

綜上所述推沸，可以反證得或者。

<b>10.</b>設(shè) U 是 V 的一個子空間求 U+ U.

空間是一種特殊的集合券坞，集合的疊加等于自身鬓催，空間的疊加也是自身。

<font color='blue'>參考答案：</font>根據(jù)定義恨锚，.
首先：,因?yàn)槿绻?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=u%5Cin%20U" alt="u\in U" mathimg="1">,那么就有u=u+0,就證明了兩個U中的元素都存在于U+U中宇驾。相應(yīng)的，,因?yàn)閁的兩個元素之和依舊是U的元素眠冈。結(jié)論就是U+U=U.

<b>11.</b>V 的子空間的加法運(yùn)算具有交換性嗎飞苇？結(jié)合性呢?(也就是說如果 都是 V 的子空間，是否有 蜗顽？是否有 ?

答：假設(shè)布卡。由于都是V的子空間，則雇盖。
即可知忿等。
依據(jù)V向量的結(jié)合律也同樣可證明

<b>12.</b>V 的子空間的加法運(yùn)算有單位元嗎？哪個子空間有加法逆崔挖？

<font color='blue'>參考答案：</font>{0}是子空間加法運(yùn)算的單位元贸街，只有
假設(shè)U有加法逆，W狸相。則U+W={0}.但是U和W的元素都在U+W里薛匪。那么只有U=W={0},U中只有一個0元素才能滿足假設(shè)，既只有{0}子空間有加法逆脓鹃。

<b>13.</b>證明或舉反例：如果 U1 ,U2, W 是 V 的子空間使得逸尖。那么

<font color='green'>答：</font>
對于任意的u1+w總有u2+w與其相等，w有加法逆，兩邊同時消去w娇跟，則為對于任意的u1總有u2與其相等岩齿，那么就可以說。相應(yīng)的也可以得出.即可得出.

<b>14.</b>設(shè) U 是由所有形如 的多項(xiàng)式組成的P(F)的一個子空間苞俘，求P(F)的一個子空間W 使得

<font color='green'>答：</font>
直和問題盹沈。W 應(yīng)是二次和5次項(xiàng)系數(shù)為0的多項(xiàng)式的子空間。

<b>15.</b>證明或舉反例：如果 U1, U2, W 是 V 的子空間 吃谣， 使得
,那么乞封。

<font color='green'>答：</font>

直和的性質(zhì)有。
得,進(jìn)而可得基协，歌亲。