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感謝PRESH TALWALKAR博士的分享剖膳，故事君對其文章進行了編譯魏颓，當(dāng)然也適當(dāng)進行了文學(xué)加工。
1
這是個虛構(gòu)的事件吱晒。如有雷同琼开，純屬巧合……
假設(shè)有這樣一個國家，法律規(guī)定：凡是員工在生日當(dāng)天枕荞，公司必須給員工放假柜候！公司必須一視同仁，確保每個員工在生日當(dāng)天放假躏精，沒有任何理由渣刷！
當(dāng)然，法律還規(guī)定：除了生日當(dāng)天矗烛，員工其它的日子必須天天上班工作辅柴，也沒有任何理由箩溃。這是很崩潰的事情吧……
這里，假設(shè)一年里是365天碌嘀。
很明顯的是涣旨，公司雇傭的員工越多，那么生日天必然越多股冗，如果公司雇傭較少的人霹陡，在生產(chǎn)過程中可能會人手不足，造成更大的損失止状。
雖然每個員工一年中必須工作 364 天烹棉，可是，資本家們還不滿足怯疤，他們想盡可能地讓員工同時工作的總天數(shù)最長浆洗。作為員工，其實在意的并不是這些集峦，因為每年里必然有一天是屬于他們的假日伏社。
2
于是資本家們找到了數(shù)學(xué)界x，想讓x幫助他們計算出雇傭多少人才能保證一年中得到所有員工的最大可能的同時工作總天數(shù)塔淤。
x先生不白給啊摘昌，“刷刷刷”開始計算起來……
假設(shè)該公司有員工 n 個人，那么每個人的生日都是獨立事件凯沪，一個人在某一天出生的概率均是1/365第焰；
那么這個人在某一天工作的概率是364/365，這對于所有的 n 個員工都是適用的妨马。
既然每個人生日都是隨機的且獨立的挺举，那么第 i 天不是生日天的概率是：
(364/365)(364/365)…(364/365) = (364/365)^n
這個可能性在一年中的每一天都是一樣的。所以烘跺，我們將365天的概率求和湘纵，
365×(364/365)^n
將該數(shù)乘以總?cè)藬?shù)n，得到一年中非生日的總天數(shù)：
n×365×(364/365)^n
我們假設(shè)這是一個連續(xù)的函數(shù)滤淳，
f（n）=n×365×(364/365)^n梧喷，
我們求出上述函數(shù)的最大值時刻即可，就是當(dāng)n為何值時脖咐，f（n）取最大值铺敌。
函數(shù)兩邊取自然對數(shù)，得：
ln（f（n））=ln（n×365×(364/365)^n）
=ln（n）+ln（365）+ln（(364/365)^n）
=ln（n）+ln（365）+n·ln（364/365)
接著取ln（f（n））的導(dǎo)數(shù)為0屁擅，可得：
[ln（f（n））]'=0偿凭，
1/n+ln（364/365)=0，
解得：n=-1/ln（364/365)派歌，
n≈364.5弯囊。
對于n>0痰哨，我們可以得到在臨界點之前，即n<364.5時匾嘱，導(dǎo)數(shù)值為正斤斧，當(dāng)n在臨界點之后，到數(shù)值為負(fù)霎烙，說明這個臨界點為最大值時n的取值撬讽。
當(dāng)雇傭員工人數(shù)達(dá)到364人及365人時，我們發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值相等吼过。
f（364）
= 364(365)(364/365)^364
= 364(365)(365/365)(364/365)^364
= 365(365)(364/365)(364/365)^364
= 365(365)(364/365)^365
=?f(365)
這樣锐秦，這個公司需要雇傭364人或365人時咪奖，可以得到一個期望的工作天數(shù)大約是：
f(365)=365×365×(364/365)^365≈48943.5 天
（小伙伴們不要覺得這個數(shù)大于了365天盗忱，注意：如果6月1日共360人工作，那么就記同時工作天數(shù)360天……）
竟然算出來了羊赵？趟佃！
3
到這里，我們看不出絲毫的有趣性……
我們將這個數(shù)值與總天數(shù)（365^2）相比昧捷，
即：f（365）/365^2闲昭，
f（365）/365^2
=365×365×(364/365)^365/（365^2）
=(364/365)^365
=（1-1/365）^365
≈0.367
≈1/e.
e——歐拉常數(shù)，約等于2.71828……
e真是無處不在靡挥，在數(shù)學(xué)界序矩，它是個神的存在，和π一樣跋破！
雖然數(shù)學(xué)家計算出來了簸淀，但他只是好奇數(shù)學(xué)問題，所以他回了資本家三個字“滾犢子毒返！”
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END
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