人工智能通識-科普-求導數(shù)公式與鏈式法則

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怎么求y={(x^3 +6)}^{8}的導數(shù)？


人工智能通識-2019年3月專題匯總

常用求導數(shù)公式

f(x)=c \to f'(x)=0\\ f(x)=x^a \to f'(x)=ax^{a-1}\\ f(x)=a^x \to f'(x)=a^x\ln a\\ f(x)=e^x \to f'(x)=e^x\\ f(x)=log_ax \to f'(x)=\frac{1}{x\ln a}\\ f(x)=\ln x \to f'(x)=\frac{1}{x}\\ f(x)=\sin(x) \to f'(x)=\cos(x)\\ f(x)=\tan(x) \to f'(x)=\sec^2(x)\\ f(x)=\cot(x) \to f'(x)=-\csc^2(x)\\ f(x)=\sec(x) \to f'(x)=sec(x)tan(x)\\ f(x)=\csc(x) \to f'(x)=-sec(x)cot(x)\\

鏈式法則

怎么求下面這個函數(shù)的導數(shù)？

y={(x^3 +6)}^{8}

我們可以把它轉(zhuǎn)為兩個函數(shù)：
y=u^8 \qquad u=x^3+6

也就是：
y=f(u) \qquad u=g(x)

復合到一起就是：

y=f(g(x))

而對于導數(shù)來說叼屠，本質(zhì)就是因變量y和自變量x的變化關(guān)系，那么我們嵌套一層之后，y的變化是u的a倍撑瞧，u的變化是x的b倍，所以y的變化就是x的ab倍显蝌，換成導數(shù)表示：

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}

我們把兩邊都寫成導數(shù)函數(shù)的形式预伺，注意左側(cè)不能寫成f'(g(x))，因為這個就是只對f函數(shù)求導曼尊，而沒有對g求導酬诀，所以要寫成(f\circ g)'(x)的樣子表示對復合后的函數(shù)求導：

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

因此我們的y={(x^3 +6)}^{8}就是y=u^8 \;\; u=x^3+6的導數(shù)就可以用鏈式法則：

\frac{dy}{dx}=8u^7·3x^2=8(x^3+6)^7·3x^2=24x^2(x^3+6)^7

這里利用了求導公式f(x)=x^a \to f'(x)=ax^{a-1}

即:
f(x)={(x^3 +6)}^{8} \to f'(x)=24x^2(x^3+6)

附錄：三角函數(shù)示意

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