1.3

Properties of Preferences and Utility Functions

記號(hào)：

? ? ? ? 假定 $X\subset \mathbb R^n$ ， $x=(x_1,...,x_n),y=(y_1,...,y_n)$ 為兩個(gè)向量

? ? ① $x\geq y$ 渗勘，即 $x_k\geq y_k,\forall k$

? ? ② $x>y$ 丙猬，即 $x_k\geq y_k,\forall k,and\;x_k>y_k,\exists k$

? ? ③ $x\gg y$ 宅楞，即 $x_k>y_k,\forall k$

定義：

????????偏好關(guān)系 $\succeq$

? ? ①為弱單調(diào)，若 $x\geq y\Rightarrow x\succeq y$

? ? ②為強(qiáng)單調(diào)，若 $x>y\Rightarrow x\succ y$

定義：

? ? ? ? 函數(shù) $f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R$

? ? ①非減穷吮，若 $x\geq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$

? ? ②嚴(yán)格遞增帖池，若 $x>y\Rightarrow f(x)>f(y)$

定理：

? ? ? ? 假定效用函數(shù) $u$ 代表偏好關(guān)系 $\succeq$ 绢淀，則

? ? ① $\succeq$ 弱單調(diào)等價(jià)于 $u$ 非減

? ? ② $\succeq$ 強(qiáng)單調(diào)等價(jià)于 $u$ 嚴(yán)格遞增

定義：

? ? ①偏好關(guān)系 $\succeq$ 局部非饜足待侵，若 $\forall x\in X,\varepsilon>0,\exists x^\prime\in B_\varepsilon(x),s.t.\;x^\prime\succ x$

? ? ②效用函數(shù) $u$ 局部非饜足，若它代表一個(gè)局部非饜足的偏好關(guān)系 $\succeq$ 璧疗，

即 $\forall x\in X,\varepsilon>0,\exists x^\prime\in B_\varepsilon(x),s.t.\;u(x^\prime)>u(x)$

定理：

? ? ? ? 若 $\succeq$ 強(qiáng)單調(diào)坯辩，則它為局部非饜足

定義：

? ? ? ? 對(duì) $S\subset X$ ，若 $x,y\in S\Rightarrow \alpha x+(1-\alpha)y\in S,\forall \alpha\in[0,1]$ 崩侠，則 $S$ 為凸集

定義：

? ? ? ? 偏好關(guān)系 $\succeq$

? ? ①是凸的漆魔，若

$\forall x,x^\prime,y\in X\;with\;x\succeq y,x^\prime \succeq y\Rightarrow \alpha x+(1-\alpha)x^\prime\succeq y,\forall \alpha\in[0,1]$

? ? ②是嚴(yán)格凸的，若

$\forall x,x^\prime,y\in X\;with\;x\succeq y,x^\prime \succeq y,x\ne x^\prime\Rightarrow \alpha x+(1-\alpha)x^\prime\succeq y,\forall \alpha\in(0,1)$

定義：

? ? ? ? 輪廓集：令 $\{y\in X:y\sim x\,\},\{y\in X:y\succeq x\},\{y\in X:x\succeq y\}$ 分別代表 $x$ 的無(wú)差異曲線(xiàn)，上輪廓集有送，下輪廓集

定理：

? ? ? ? 偏好關(guān)系 $\succeq$ 是凸的淌喻，當(dāng)且僅當(dāng) $\forall x$ 其上輪廓集是凸的

定理：

? ? ? ? 回憶引致選擇規(guī)則 $C_\succeq(B)=\{x\in B:x\succeq y,\forall y\in B\}$

? ? ①若 $\succeq$ 是凸的且 $C_\succeq(B)$ 非空，則 $C_\succeq(B)$ 為凸集

? ? ②若 $\succeq$ 是嚴(yán)格凸的雀摘，則 $C_\succeq(B)$ 為單點(diǎn)集

定義：

? ? ? ? 令 $C$ 為凸集裸删，函數(shù) $f:C\rightarrow\mathbb R$

? ? ①凹的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ②嚴(yán)格凹的阵赠，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)> \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

? ? ③擬凹的涯塔，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq\min\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ④?chē)?yán)格擬凹的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)>\min\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

? ? ⑤凸的清蚀，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ⑥嚴(yán)格凸的匕荸，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)< \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y),\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

? ? ⑦擬凸的，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq\max\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,\alpha\in[0,1]$

? ? ⑧嚴(yán)格擬凸的枷邪，若

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)<\max\{f(x),f(y)\},\forall x,y\in C,x\ne y,\alpha\in(0,1)$

定理：

? ? ? ? 若 $f(x)$ 在凸集 $S\subset \mathbb R^n$ 上二階可導(dǎo)榛搔，則

? ? ①黑塞矩陣半正定 $\Leftrightarrow f$ 是凸的

? ? ②黑塞矩陣半負(fù)定 $\Leftrightarrow f$ 是凹的

? ? ③黑塞矩陣正定 $\Rightarrow f$ 是嚴(yán)格凸的

? ? ④黑塞矩陣負(fù)定 $\Rightarrow f$ 是嚴(yán)格凹的

定理：

? ? ? ? 若效用函數(shù) $u$ 代表偏好關(guān)系 $\succeq$ ，則 $u$ 是（嚴(yán)格）擬凹的东揣，當(dāng)且僅當(dāng) $\succeq$ 是（嚴(yán)格）凸的

定義：

? ? ①偏好關(guān)系 $\succeq$ 對(duì)于單位商品是擬線(xiàn)性的践惑，若 $x\succeq y\Rightarrow x+\alpha e_1\succeq y+\alpha e_1$ ，其中 $e_1=(1,0,...,0),\alpha>0$

? ? ②效用函數(shù) $u:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R$ 為擬線(xiàn)性的嘶卧，若

$\exists v:\mathbb R^{n-1}\rightarrow\mathbb R,s.t.\;u(x,m) =v(x)+m$

? ? ③偏好關(guān)系 $\succeq$ 是位似的尔觉，若 $\forall \alpha\geq0,x,y\in X,x\succeq y\Rightarrow \alpha x\succeq\alpha y$

? ? ④函數(shù) $f:X\rightarrow \mathbb R$ 是 $\lambda$ 階齊次的，若 $f(\alpha x)=\alpha^\lambda f(x),\forall \alpha\geq0$

定理：

? ? ? ? 若偏好關(guān)系 $\succeq$ 連續(xù)且位似芥吟，則它可以被連續(xù)且1階齊次的效用函數(shù)表示

Marshallian Demand and Utility Maximization

????????消費(fèi)者問(wèn)題(CP)的基礎(chǔ)假定：

? ? ①商品的消費(fèi)集 $x=(x_1,...,x_K)\in X=\mathbb R_+^K$

? ? ②消費(fèi)者的收入/財(cái)富 $w>0$ 侦铜，外生給定

? ? ③商品的價(jià)格向量 $p=(p_1,...,p_K)\subset \mathbb R_+^K$

? ? ④消費(fèi)者的預(yù)算約束： $px\leq w$

? ? ⑤消費(fèi)者的預(yù)算約束可行集： $B(p,w)=\{x\subset\mathbb R_+^K:px\leq w\}$

? ? ⑥假定偏好關(guān)系 $\succeq$ 理性連續(xù)，效用函數(shù) $u$ 連續(xù)可導(dǎo)

? ? ? ? 其他假定：

? ? ①模型為完美信息

? ? ②消費(fèi)者為價(jià)格接受者

? ? ③價(jià)格為線(xiàn)性

? ? ④商品可分

? ? ? ? 消費(fèi)者最大化問(wèn)題： $\max_{x\in\mathbb R_+^K}u(x)\qquad s.t.\quad px\leq w$

定義：

? ? ? ? 給定偏好關(guān)系 $\succeq$ 钟鸵，則Marshallian需求函數(shù) $x:\mathbb R_+^K\times \mathbb R_+\rightarrow\mathbb R_+^K$ 定義為：

$x(p,w)=\arg\max_{x\in B(p,w)}u(x)=C_\succeq(B(p,w))$

定理：

? ? ? ? 預(yù)算集滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

? ? ①0階齊次函數(shù)钉稍，即 $\forall \lambda>0,B(\lambda p,\lambda w)=B(p,w)$

? ? ②若 $p\gg0$ ，則 $B(p,w)$ 為緊集棺耍，即閉集且有界

定理：

? ? ? ? 消費(fèi)者問(wèn)題(CP)和Marshallian需求函數(shù)

? ? ①存在性

? ? ? ? 若 $u$ 連續(xù)且 $p\gg0$ 嫁盲，則消費(fèi)者問(wèn)題解存在，即 $x(p,w)$ 非空

? ? ②齊次性

? ??????Marshallian需求函數(shù)為0階齊次函數(shù)烈掠，即 $\forall \lambda>0,x(\lambda p,\lambda w)=x(p,w)$

? ? ③Walras法則

? ? ? ? 若偏好關(guān)系是局部非饜足的，則 $\forall (p,w),x\in x(p,w)$ 缸托，我們有 $px=w$

? ? ④唯一性

? ? ? ? 若 $u$ 是擬凹的左敌，則 $x(p,w)$ 是凸集

? ? ? ? 若 $u$ 是嚴(yán)格擬凹的，則 $x(p,w)$ 是單點(diǎn)集

定理：

? ? ? ? 假定偏好關(guān)系是局部非饜足的俐镐，Marshallian需求函數(shù)是價(jià)格和財(cái)富的可微函數(shù)矫限，則

? ? ①價(jià)格和財(cái)富的成比例變化不影響需求函數(shù)，即

$\forall p,w,i=1,...,K,\sum_{j=1}^Kp_j\frac{\partial}{\partial p_j}x_i(p,w)+w\frac{\partial }{\partial w}x_i(p,w)=0$

? ? ? ? 將 $x_i(\lambda p,\lambda w)=x_i(p,w)$ 全微分，并令 $\lambda=1$

? ? ②一個(gè)商品價(jià)格的改變不會(huì)影響總支出叼风，即

$\forall p,w,i=1,...,K,\sum_{j=1}^Kp_j\frac{\partial}{\partial p_i}x_j(p,w)+x_i(p,w)=0$

? ? ? ? 將 $px(p,w)=w$ 對(duì) $p_i$ 微分

? ? ③財(cái)富的變化會(huì)導(dǎo)致總支出的單位變化取董，即

$\forall p,w,\sum_{i=1}^Kp_i\frac{\partial}{\partial w}x_i(p,w)=1$

? ? ? ? 將 $px(p,w)=w$ 對(duì) $w$ 微分

? ? ? ? 一般地，通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)无宿，可得 $\frac{\partial u(x^*)/\partial x_j}{p_j}=\frac{\partial u(x^*)/x_k}{p_k}=\lambda$

? ? ? ? 得商品 $j$ 對(duì)商品 $k$ 的邊際替代率 $MRS_{j,k}(x^*)=\frac{\partial u(x^*)/\partial x_j}{\partial u(x^*)/\partial x_k}=\frac{p_j}{p_k}$

Indirect Utility Function

? ? ? ? 效用最大化問(wèn)題(UMP)： $v(p,w)=\max_{x\in B(p,w)}u(x)$

? ? ? ? 由 $x(p,w)=\arg\max_{x\in B(p,w)}u(x)$ 茵汰，得 $v(p,w)=u(x(p,w))$

定理：

? ?????? $v(p,w)$ 有如下性質(zhì)：

? ? ①0階齊次性，即 $\forall p,w,\lambda>0,v(\lambda p,\lambda w)=v(p,w)$

? ? ②對(duì)財(cái)富嚴(yán)格遞增孽鸡，對(duì)商品價(jià)格非增

? ? ③集合 $\{(p,w):v(p,w)\leq\overline v\}$ 為凸集

? ? ④對(duì)財(cái)富和價(jià)格連續(xù)

比較靜態(tài)分析：

? ? ? ? 假定函數(shù) $v(q)=\max_{x\in\mathbb R}f(x;q)$ 蹂午，其中 $q\in\mathbb R$ 為參數(shù)，它的解 $x(q)$ 為連續(xù)可微函數(shù)彬碱，則有：

$v^\prime(q)=\frac{df(x(q);q)}{dq}=\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial q}+\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial x}\frac{dx(q)}{dq}=\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial q}$

? ? ? ? 其中第一項(xiàng)為直接影響豆胸，第二項(xiàng)為間接影響，且有一階條件 $\frac{\partial f(x(q);q)}{\partial x}|_{x(q)}=0$

包絡(luò)定理：

? ? ? ? 考慮等式約束最大化問(wèn)題：

$v(q)=\max_{x\in\mathbb R^K}f(x,q)\qquad s.t.\quad g_m(x,q)=b_m,m=1,...,M$

? ? ? ? 則有：

$Dv(q)=D_q\mathcal L(x^*,\lambda;q)=D_qf(x^*;q)-\sum_{m=1}^M\lambda_mD_qg_m(x^*;q)$

Roy等式：

? ? ? ? 由包絡(luò)定理巷疼，得：

$\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}=\frac{\partial\mathcal L(x^*,\lambda;p,w)}{\partial w}=\lambda,\frac{\partial v(p,w)}{\partial p_k}=\frac{\partial\mathcal L(x^*,\lambda;p,w)}{\partial p_k}=-\lambda x_k^*$

? ? ? ? 聯(lián)立得 $x_k(p,w)=-\frac{\partial v(p,w)/\partial p_k}{\partial v(p,w)/\partial w}$

最后編輯于：2020.09.15 18:46:24

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