基本Kmeans算法介紹及其實(shí)現(xiàn)

原文：http://blog.csdn.net/liuheng0111/article/details/52149040

1.基本Kmeans算法[1]

  1. 選擇K個點(diǎn)作為初始質(zhì)心??
  2. repeat??
  3. ????將每個點(diǎn)指派到最近的質(zhì)心，形成K個簇??
  4. ????重新計算每個簇的質(zhì)心??
  5. until?簇不發(fā)生變化或達(dá)到最大迭代次數(shù)??

時間復(fù)雜度：O(tKmn)瞳收，其中照藻，t為迭代次數(shù)耘沼，K為簇的數(shù)目拿愧，m為記錄數(shù)蓄诽，n為維數(shù)

空間復(fù)雜度：O((m+K)n)就漾，其中粱坤，K為簇的數(shù)目，m為記錄數(shù)冈在，n為維數(shù)

2.注意問題

（1）K如何確定

? ? ? ? kmenas算法首先選擇K個初始質(zhì)心倒慧，其中K是用戶指定的參數(shù)，即所期望的簇的個數(shù)包券。這樣做的前提是我們已經(jīng)知道數(shù)據(jù)集中包含多少個簇蠢熄，但很多情況下邦尊，我們并不知道數(shù)據(jù)的分布情況滨巴，實(shí)際上聚類就是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布的一種手段灾常，這就陷入了雞和蛋的矛盾。如何有效的確定K值发魄，這里大致提供幾種方法盹牧，若各位有更好的方法，歡迎探討励幼。

1.與層次聚類結(jié)合[2]

? ? ? ? ?經(jīng)常會產(chǎn)生較好的聚類結(jié)果的一個有趣策略是汰寓，首先采用層次凝聚算法決定結(jié)果粗的數(shù)目，并找到一個初始聚類苹粟，然后用迭代重定位來改進(jìn)該聚類有滑。

2.穩(wěn)定性方法[3]

? ? ? ? 穩(wěn)定性方法對一個數(shù)據(jù)集進(jìn)行2次重采樣產(chǎn)生2個數(shù)據(jù)子集，再用相同的聚類算法對2個數(shù)據(jù)子集進(jìn)行聚類嵌削，產(chǎn)生2個具有k個聚類的聚類結(jié)果毛好，計算2個聚類結(jié)果的相似度的分布情況望艺。2個聚類結(jié)果具有高的相似度說明k個聚類反映了穩(wěn)定的聚類結(jié)構(gòu)，其相似度可以用來估計聚類個數(shù)肌访。采用次方法試探多個k找默，找到合適的k值。

3.系統(tǒng)演化方法[3]

? ? ? ? ?系統(tǒng)演化方法將一個數(shù)據(jù)集視為偽熱力學(xué)系統(tǒng)吼驶，當(dāng)數(shù)據(jù)集被劃分為K個聚類時稱系統(tǒng)處于狀態(tài)K惩激。系統(tǒng)由初始狀態(tài)K=1出發(fā)，經(jīng)過分裂過程和合并過程蟹演，系統(tǒng)將演化到它的穩(wěn)定平衡狀態(tài)Ki风钻，其所對應(yīng)的聚類結(jié)構(gòu)決定了最優(yōu)類數(shù)Ki。系統(tǒng)演化方法能提供關(guān)于所有聚類之間的相對邊界距離或可分程度酒请，它適用于明顯分離的聚類結(jié)構(gòu)和輕微重疊的聚類結(jié)構(gòu)魄咕。

4.使用canopy算法進(jìn)行初始劃分[4]

? ? ? ? ? 基于Canopy Method的聚類算法將聚類過程分為兩個階段
? ? ? ? ?Stage1、聚類最耗費(fèi)計算的地方是計算對象相似性的時候蚌父，Canopy Method在第一階段選擇簡單、計算代價較低的方法計算對象相似性毛萌，將相似的對象放在一個子集中苟弛，這個子集被叫做Canopy ，通過一系列計算得到若干Canopy阁将，Canopy之間可以是重疊的膏秫，但不會存在某個對象不屬于任何Canopy的情況，可以把這一階段看做數(shù)據(jù)預(yù)處理做盅；
? ? ? ? ? Stage2缤削、在各個Canopy 內(nèi)使用傳統(tǒng)的聚類方法(如K-means)，不屬于同一Canopy 的對象之間不進(jìn)行相似性計算吹榴。
從這個方法起碼可以看出兩點(diǎn)好處：首先亭敢，Canopy 不要太大且Canopy 之間重疊的不要太多的話會大大減少后續(xù)需要計算相似性的對象的個數(shù)；其次图筹，類似于K-means這樣的聚類方法是需要人為指出K的值的帅刀，通過Stage1得到的Canopy 個數(shù)完全可以作為這個K值，一定程度上減少了選擇K的盲目性远剩。

? ? ? ? ?其他方法如貝葉斯信息準(zhǔn)則方法（BIC）可參看文獻(xiàn)[5]扣溺。

（2）初始質(zhì)心的選取

? ? ? ? ? 選擇適當(dāng)?shù)某跏假|(zhì)心是基本kmeans算法的關(guān)鍵步驟。常見的方法是隨機(jī)的選取初始質(zhì)心瓜晤，但是這樣簇的質(zhì)量常常很差锥余。處理選取初始質(zhì)心問題的一種常用技術(shù)是：多次運(yùn)行，每次使用一組不同的隨機(jī)初始質(zhì)心痢掠，然后選取具有最小SSE（誤差的平方和）的簇集驱犹。這種策略簡單嘲恍，但是效果可能不好，這取決于數(shù)據(jù)集和尋找的簇的個數(shù)着绷。

? ? ? ? ? 第二種有效的方法是蛔钙，取一個樣本，并使用層次聚類技術(shù)對它聚類荠医。從層次聚類中提取K個簇吁脱，并用這些簇的質(zhì)心作為初始質(zhì)心。該方法通常很有效彬向，但僅對下列情況有效：（1）樣本相對較小兼贡，例如數(shù)百到數(shù)千（層次聚類開銷較大）；（2）K相對于樣本大小較小

? ? ? ? ? ?第三種選擇初始質(zhì)心的方法娃胆，隨機(jī)地選擇第一個點(diǎn)遍希，或取所有點(diǎn)的質(zhì)心作為第一個點(diǎn)。然后里烦，對于每個后繼初始質(zhì)心凿蒜，選擇離已經(jīng)選取過的初始質(zhì)心最遠(yuǎn)的點(diǎn)。使用這種方法胁黑，確保了選擇的初始質(zhì)心不僅是隨機(jī)的废封，而且是散開的。但是丧蘸，這種方法可能選中離群點(diǎn)漂洋。此外，求離當(dāng)前初始質(zhì)心集最遠(yuǎn)的點(diǎn)開銷也非常大力喷。為了克服這個問題刽漂，通常該方法用于點(diǎn)樣本。由于離群點(diǎn)很少（多了就不是離群點(diǎn)了）弟孟，它們多半不會在隨機(jī)樣本中出現(xiàn)贝咙。計算量也大幅減少。

? ? ? ? ? 第四種方法就是上面提到的canopy算法拂募。

（3）距離的度量

? ? ? ? ? 常用的距離度量方法包括：歐幾里得距離和余弦相似度颈畸。兩者都是評定個體間差異的大小的。歐幾里得距離度量會受指標(biāo)不同單位刻度的影響没讲，所以一般需要先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化眯娱，同時距離越大，個體間差異越大爬凑；空間向量余弦夾角的相似度度量不會受指標(biāo)刻度的影響徙缴，余弦值落于區(qū)間[-1,1]，值越大，差異越小于样。但是針對具體應(yīng)用疏叨，什么情況下使用歐氏距離，什么情況下使用余弦相似度穿剖？

? ? ? ? ? 從幾何意義上來說蚤蔓，n維向量空間的一條線段作為底邊和原點(diǎn)組成的三角形，其頂角大小是不確定的糊余。也就是說對于兩條空間向量秀又，即使兩點(diǎn)距離一定，他們的夾角余弦值也可以隨意變化贬芥。感性的認(rèn)識吐辙，當(dāng)兩用戶評分趨勢一致時，但是評分值差距很大蘸劈，余弦相似度傾向給出更優(yōu)解昏苏。舉個極端的例子威沫，兩用戶只對兩件商品評分贤惯，向量分別為(3,3)和(5,5)，這兩位用戶的認(rèn)知其實(shí)是一樣的溯职，但是歐式距離給出的解顯然沒有余弦值合理妻枕。[6]

（4）質(zhì)心的計算

? ? ? ? ?對于距離度量不管是采用歐式距離還是采用余弦相似度愕掏，簇的質(zhì)心都是其均值垢乙，即向量各維取平均即可油猫。對于距離對量采用其它方式時，這個還沒研究過居扒。

（5）算法停止條件

? ? ? ? ?一般是目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)或者達(dá)到最大的迭代次數(shù)即可終止。對于不同的距離度量曾沈，目標(biāo)函數(shù)往往不同这嚣。當(dāng)采用歐式距離時，目標(biāo)函數(shù)一般為最小化對象到其簇質(zhì)心的距離的平方和塞俱，如下：


? ? ? ? ?當(dāng)采用余弦相似度時姐帚，目標(biāo)函數(shù)一般為最大化對象到其簇質(zhì)心的余弦相似度和，如下：


（6）空聚類的處理

? ? ? ? ? ?如果所有的點(diǎn)在指派步驟都未分配到某個簇障涯，就會得到空簇罐旗。如果這種情況發(fā)生，則需要某種策略來選擇一個替補(bǔ)質(zhì)心唯蝶，否則的話九秀，平方誤差將會偏大。一種方法是選擇一個距離當(dāng)前任何質(zhì)心最遠(yuǎn)的點(diǎn)粘我。這將消除當(dāng)前對總平方誤差影響最大的點(diǎn)鼓蜒。另一種方法是從具有最大SSE的簇中選擇一個替補(bǔ)的質(zhì)心。這將分裂簇并降低聚類的總SSE征字。如果有多個空簇都弹，則該過程重復(fù)多次。另外匙姜，編程實(shí)現(xiàn)時畅厢，要注意空簇可能導(dǎo)致的程序bug。

3.適用范圍及缺陷

? ? ? ? ? ?Kmenas算法試圖找到使平凡誤差準(zhǔn)則函數(shù)最小的簇氮昧。當(dāng)潛在的簇形狀是凸面的框杜，簇與簇之間區(qū)別較明顯，且簇大小相近時袖肥，其聚類結(jié)果較理想咪辱。前面提到，該算法時間復(fù)雜度為O(tKmn)昭伸，與樣本數(shù)量線性相關(guān)梧乘，所以澎迎，對于處理大數(shù)據(jù)集合庐杨，該算法非常高效，且伸縮性較好夹供。但該算法除了要事先確定簇數(shù)K和對初始聚類中心敏感外灵份，經(jīng)常以局部最優(yōu)結(jié)束，同時對“噪聲”和孤立點(diǎn)敏感哮洽，并且該方法不適于發(fā)現(xiàn)非凸面形狀的簇或大小差別很大的簇填渠。

4.實(shí)現(xiàn)

  1. #include?<iostream>??
  2. #include?<sstream>??
  3. #include?<fstream>??
  4. #include?<vector>??
  5. #include?<math.h>??
  6. #include?<stdlib.h>??
  7. #define?k?3//簇的數(shù)目??
  8. using?namespace?std;??
  9. //存放元組的屬性信息??
  10. typedef?vector<double>?Tuple;//存儲每條數(shù)據(jù)記錄??
  11. ??
  12. int?dataNum;//數(shù)據(jù)集中數(shù)據(jù)記錄數(shù)目??
  13. int?dimNum;//每條記錄的維數(shù)??
  14. ??
  15. //計算兩個元組間的歐幾里距離??
  16. double?getDistXY(const?Tuple&?t1,?const?Tuple&?t2)???
  17. {??
  18. ????double?sum?=?0;??
  19. ????for(int?i=1;?i<=dimNum;?++i)??
  20. ????{??
  21. ????????sum?+=?(t1[i]-t2[i])?*?(t1[i]-t2[i]);??
  22. ????}??
  23. ????return?sqrt(sum);??
  24. }??
  25. ??
  26. //根據(jù)質(zhì)心，決定當(dāng)前元組屬于哪個簇??
  27. int?clusterOfTuple(Tuple?means[],const?Tuple&?tuple){??
  28. ????double?dist=getDistXY(means[0],tuple);??
  29. ????double?tmp;??
  30. ????int?label=0;//標(biāo)示屬于哪一個簇??
  31. ????for(int?i=1;i<k;i++){??
  32. ????????tmp=getDistXY(means[i],tuple);??
  33. ????????if(tmp<dist)?{dist=tmp;label=i;}??
  34. ????}??
  35. ????return?label;?????
  36. }??
  37. //獲得給定簇集的平方誤差??
  38. double?getVar(vector<Tuple>?clusters[],Tuple?means[]){??
  39. ????double?var?=?0;??
  40. ????for?(int?i?=?0;?i?<?k;?i++)??
  41. ????{??
  42. ????????vector<Tuple>?t?=?clusters[i];??
  43. ????????for?(int?j?=?0;?j<?t.size();?j++)??
  44. ????????{??
  45. ????????????var?+=?getDistXY(t[j],means[i]);??
  46. ????????}??
  47. ????}??
  48. ????//cout<<"sum:"<<sum<<endl;??
  49. ????return?var;??
  50. ??
  51. }??
  52. //獲得當(dāng)前簇的均值（質(zhì)心）??
  53. Tuple?getMeans(const?vector<Tuple>&?cluster){??
  54. ??????
  55. ????int?num?=?cluster.size();??
  56. ????Tuple?t(dimNum+1,?0);??
  57. ????for?(int?i?=?0;?i?<?num;?i++)??
  58. ????{??
  59. ????????for(int?j=1;?j<=dimNum;?++j)??
  60. ????????{??
  61. ????????????t[j]?+=?cluster[i][j];??
  62. ????????}??
  63. ????}??
  64. ????for(int?j=1;?j<=dimNum;?++j)??
  65. ????????t[j]?/=?num;??
  66. ????return?t;??
  67. ????//cout<<"sum:"<<sum<<endl;??
  68. }??
  69. ??
  70. void?print(const?vector<Tuple>?clusters[])??
  71. {??
  72. ????for(int?lable=0;?lable<k;?lable++)??
  73. ????{??
  74. ????????cout<<"第"<<lable+1<<"個簇："<<endl;??
  75. ????????vector<Tuple>?t?=?clusters[lable];??
  76. ????????for(int?i=0;?i<t.size();?i++)??
  77. ????????{??
  78. ????????????cout<<i+1<<".(";??
  79. ????????????for(int?j=0;?j<=dimNum;?++j)??
  80. ????????????{??
  81. ????????????????cout<<t[i][j]<<",?";??
  82. ????????????}??
  83. ????????????cout<<")\n";??
  84. ????????}??
  85. ????}??
  86. }??
  87. ??
  88. void?KMeans(vector<Tuple>&?tuples){??
  89. ????vector<Tuple>?clusters[k];//k個簇??
  90. ????Tuple?means[k];//k個中心點(diǎn)??
  91. ????int?i=0;??
  92. ????//一開始隨機(jī)選取k條記錄的值作為k個簇的質(zhì)心（均值）??
  93. ????srand((unsigned?int)time(NULL));??
  94. ????for(i=0;i<k;){??
  95. ????????int?iToSelect?=?rand()%tuples.size();??
  96. ????????if(means[iToSelect].size()?==?0)??
  97. ????????{??
  98. ????????????for(int?j=0;?j<=dimNum;?++j)??
  99. ????????????{??
  100. ????????????????means[i].push_back(tuples[iToSelect][j]);??
  101. ????????????}??
  102. ????????????++i;??
  103. ????????}??
  104. ????}??
  105. ????int?lable=0;??
  106. ????//根據(jù)默認(rèn)的質(zhì)心給簇賦值??
  107. ????for(i=0;i!=tuples.size();++i){??
  108. ????????lable=clusterOfTuple(means,tuples[i]);??
  109. ????????clusters[lable].push_back(tuples[i]);??
  110. ????}??
  111. ????double?oldVar=-1;??
  112. ????double?newVar=getVar(clusters,means);??
  113. ????cout<<"初始的的整體誤差平方和為："<<newVar<<endl;???
  114. ????int?t?=?0;??
  115. ????while(abs(newVar?-?oldVar)?>=?1)?//當(dāng)新舊函數(shù)值相差不到1即準(zhǔn)則函數(shù)值不發(fā)生明顯變化時，算法終止??
  116. ????{??
  117. ????????cout<<"第?"<<++t<<"?次迭代開始："<<endl;??
  118. ????????for?(i?=?0;?i?<?k;?i++)?//更新每個簇的中心點(diǎn)??
  119. ????????{??
  120. ????????????means[i]?=?getMeans(clusters[i]);??
  121. ????????}??
  122. ????????oldVar?=?newVar;??
  123. ????????newVar?=?getVar(clusters,means);?//計算新的準(zhǔn)則函數(shù)值??
  124. ????????for?(i?=?0;?i?<?k;?i++)?//清空每個簇??
  125. ????????{??
  126. ????????????clusters[i].clear();??
  127. ????????}??
  128. ????????//根據(jù)新的質(zhì)心獲得新的簇??
  129. ????????for(i=0;?i!=tuples.size();?++i){??
  130. ????????????lable=clusterOfTuple(means,tuples[i]);??
  131. ????????????clusters[lable].push_back(tuples[i]);??
  132. ????????}??
  133. ????????cout<<"此次迭代之后的整體誤差平方和為："<<newVar<<endl;???
  134. ????}??
  135. ??
  136. ????cout<<"The?result?is:\n";??
  137. ????print(clusters);??
  138. }??
  139. int?main(){??
  140. ??
  141. ????char?fname[256];??
  142. ????cout<<"請輸入存放數(shù)據(jù)的文件名：?";??
  143. ????cin>>fname;??
  144. ????cout<<endl<<"?請依次輸入:?維數(shù)?樣本數(shù)目"<<endl;??
  145. ????cout<<endl<<"?維數(shù)dimNum:?";??
  146. ????cin>>dimNum;??
  147. ????cout<<endl<<"?樣本數(shù)目dataNum:?";??
  148. ????cin>>dataNum;??
  149. ????ifstream?infile(fname);??
  150. ????if(!infile){??
  151. ????????cout<<"不能打開輸入的文件"<<fname<<endl;??
  152. ????????return?0;??
  153. ????}??
  154. ????vector<Tuple>?tuples;??
  155. ????//從文件流中讀入數(shù)據(jù)??
  156. ????for(int?i=0;?i<dataNum?&&?!infile.eof();?++i)??
  157. ????{??
  158. ????????string?str;??
  159. ????????getline(infile,?str);??
  160. ????????istringstream?istr(str);??
  161. ????????Tuple?tuple(dimNum+1,?0);//第一個位置存放記錄編號氛什，第2到dimNum+1個位置存放實(shí)際元素??
  162. ????????tuple[0]?=?i+1;??
  163. ????????for(int?j=1;?j<=dimNum;?++j)??
  164. ????????{??
  165. ????????????istr>>tuple[j];??
  166. ????????}??
  167. ????????tuples.push_back(tuple);??
  168. ????}??
  169. ??
  170. ????cout<<endl<<"開始聚類"<<endl;??
  171. ????KMeans(tuples);??
  172. ????return?0;??
  173. }??

這里是隨機(jī)選取的初始質(zhì)心莺葫，以鳶尾花的數(shù)據(jù)集為例，原數(shù)據(jù)集中1-50為一個簇枪眉，51-100為第二個簇捺檬，101到150為第三個簇：


第一次運(yùn)行結(jié)果 SSE=97.5905


第二次運(yùn)行結(jié)果 SSE=98.1404

。贸铜。堡纬。

第五次運(yùn)行結(jié)果 SSE=123.397

? ? ? ? ?由于初始質(zhì)心是隨機(jī)選取的，前兩次還算正常蒿秦，運(yùn)行到第五次時烤镐，第一個簇基本包括了后51-150個記錄，第二個簇和第三個簇包含了第1-50個記錄棍鳖，可能的原因就是隨機(jī)選擇初始點(diǎn)時炮叶，有兩個初始點(diǎn)都選在了1-50個記錄中。



參考：

[1]Pang-Ning Tan等著鹊杖，《數(shù)據(jù)挖掘?qū)д摗罚?011

[2]Jiawei Han等著悴灵，《數(shù)據(jù)挖掘概念與技術(shù)》，2008

[3]聚類分析中類數(shù)估計方法的實(shí)驗(yàn)比較

[4]http://www.cnblogs.com/vivounicorn/archive/2011/09/23/2186483.html

[5]一種基于貝葉斯信息準(zhǔn)則的k均值聚類方法

[6]http://www.zhihu.com/question/19640394?nr=1&noti_id=8736954

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