兩個(gè)正態(tài)函數(shù)相乘

兩個(gè)正態(tài)分布
$f(x) = \frac{1}{\sqrt {2\pi}\sigma_1}\exp\left\{-\frac{(x - \mu_1)^2}{2\sigma_1^{2}}\right\} \\ g(x) = \frac{1}{\sqrt {2\pi}\sigma_2}\exp\left\{-\frac{(x - \mu_2)^2}{2\sigma_2^{2}}\right\}$
$\begin{aligned} h(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ &= \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\left( \tfrac{(x - \mu_1)^2}{2\sigma_1^{2}}+\tfrac{(x - \mu_2)^2}{2\sigma_2^{2}} \right)\right\} \\ &= \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\tfrac{(x - \mu_1)^2\sigma_2^{2}+{(x - \mu_2)^2}\sigma_1^{2}}{2\sigma_1^{2}\sigma_2^{2}}\right\} \\ &= \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\tfrac{x^2-2\frac{\mu_1\sigma_2^2+\mu_2\sigma_1^2 }{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}x+\frac{\mu_1^2\sigma_2^2+\mu_2^2\sigma_1^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{2\frac{\sigma_1^{2}\sigma_2^{2}}{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}}\right\} \\ &=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\tfrac{\left( x - \frac{\mu_1\sigma_2^2+\mu_2\sigma_1^2 }{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}\right)^2}{2\frac{\sigma_1^{2}\sigma_2^{2}}{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}}-\tfrac{\left(\mu_1-\mu_2\right)^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right\} \\ &=\frac{e^{-\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}}{\sqrt{2\pi\left( \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}} \exp\left\{-\tfrac{\left( x - \frac{\mu_1\sigma_2^2+\mu_2\sigma_1^2 }{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}\right)^2}{2\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\right\} \\ &= A\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_0}e^{-\frac{\left(x-\mu_0\right)^2}{2\sigma_0}}\\ \end{aligned}$
可以看到蒲讯， $h(x)$ 可以看成一個(gè)正態(tài)分布 $\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$ 的PDF乘以縮放因子 $A$ 的結(jié)果。其中灰署，縮放因子
$A = \frac{1}{\sqrt{2\pi\left( \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}} \exp\left\{-\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}$
正態(tài)分布的均值
$\mu_0= \frac{\mu_1\sigma_2^2+\mu_2\sigma_1^2 }{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}$
正態(tài)分布的方差
$\sigma_0^2=\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$

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