今天要說的來自我最喜歡的悖論之一，巴拿赫-塔斯基（分球）悖論勇凭。

這個(gè)悖論是為數(shù)不多的不涉及自指的悖論。什么叫涉及自指的悖論呢？比如說理發(fā)師悖論埋合，那個(gè)只給不給自己理發(fā)的人理發(fā)的理發(fā)師給不給自己理發(fā)呢？那個(gè)不給自己理發(fā)的概念就是自指的概念萄传；再比如說羅素悖論甚颂，那個(gè)不包含自己的元素組成的集合是不是集合呢？那個(gè)不包含自己的要求就是自指的要求秀菱。這些悖論的構(gòu)造在Lawvere的一篇文章里給出了清晰的框架振诬，就是要否定地自指，熟悉計(jì)算機(jī)的小朋友此時(shí)應(yīng)該可以想到圖靈機(jī)的停機(jī)問題衍菱，熟悉數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的小朋友此時(shí)應(yīng)該可以想到哥德爾不完備性定理的證明赶么。

那么不涉及自指的悖論有哪些呢？

我首先能想到的大概就是芝諾悖論了脊串。像是阿基里斯總是跑不過烏龜這種悖論辫呻。簡單給不了解芝諾悖論的小朋友解釋一下芝諾是怎么說的清钥，芝諾說呀，阿基里斯跑得再快放闺，如果他和烏龜賽跑祟昭，烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)比較靠前的話，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜怖侦。為什么呢篡悟？因?yàn)椋ブZ說础钠，這個(gè)阿基里斯怎么追烏龜呢恰力？他得先花一段時(shí)間跑到烏龜開始的地方，這個(gè)時(shí)候?yàn)觚斠呀?jīng)往前爬了一段距離了旗吁，所以阿基里斯又得再花一段時(shí)間跑到烏龜爬到的那個(gè)地方踩萎，可是這個(gè)時(shí)候?yàn)觚斢滞芭懒艘欢瘟耍园⒒锼褂值没ㄒ欢螘r(shí)間跑很钓。香府。。然后芝諾說码倦，阿基里斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜了企孩。

現(xiàn)在開啟新時(shí)代學(xué)過微積分的好青年的嘲諷模式：

哈哈哈芝諾大概以為所有級數(shù)都發(fā)散。

嘲諷模式結(jié)束袁稽。

我們可以看到在這個(gè)悖論里面我們沒有遇到任何自指的成分勿璃。讓人感到困惑的是無窮小和收斂級數(shù)的概念。簡單的微積分告訴我們推汽，有許多組無窮多個(gè)數(shù)加起來可能是有限的补疑，芝諾悖論里阿基里斯追烏龜每一段用的時(shí)間就是這樣的一組數(shù)。

我們可以把這類悖論歸類為涉及極限概念的悖論歹撒，包括我上一篇寫的實(shí)數(shù)的構(gòu)造莲组，這里讓人覺得不自然的東西歸根結(jié)底是對極限這個(gè)概念的理解。

那么搞清了自指和極限之后（說實(shí)話大概沒有哪個(gè)大數(shù)學(xué)家敢說自己真正搞清楚了這些看似平凡的概念）暖夭，我們面臨的悖論還有哪些呢锹杈？

我要說體積。

什么是體積迈着？

只有一個(gè)容器竭望，一個(gè)秤的時(shí)候，一灘水的體積怎么測裕菠？

小學(xué)數(shù)學(xué)老師告訴我們咬清，把水倒進(jìn)容器里，稱一稱，除以密度枫振，就是體積。

就是誰的體積萤彩？

是容器里的水的體積還是那一灘水的體積粪滤？

那位看官說了，這么問是不是有踩阜觥杖小？流體力學(xué)第一節(jié)課最基本的假設(shè)就是水是不可壓縮液體，密度不變愚墓，質(zhì)量又守恒予权，那沒倒灑的話，那杯子里的水的體積可不就是那一灘水的體積嗎浪册？

我要說了扫腺，還真是有病態(tài)的東西在，但是病的主體不在我村象，在體積這個(gè)概念笆环。

什么意思？

我先把這個(gè)包袱抖出來--?

因?yàn)槔硐霠顟B(tài)下我可以把任何一個(gè)球切成五份厚者，再僅僅通過轉(zhuǎn)動和平移躁劣，把這五份拼成兩個(gè)和原來一樣的球，體積翻倍库菲。這就是巴拿赫塔斯基悖論账忘，這個(gè)悖論的核心不在自指也不在極限，在選擇公理熙宇。

怎么回事鳖擒？

諸位拉起小手抱好自己，我們要發(fā)車了奇颠。

讓我們來回憶一下我們是怎么學(xué)體積這個(gè)概念的败去。

小學(xué)的時(shí)候數(shù)學(xué)老師怎么說的呢？

長乘寬乘高就是長方體的體積烈拒。

初中數(shù)學(xué)老師怎么說的呢圆裕？

三分之四πr的三次方就是球的體積。

高中數(shù)學(xué)老師怎么說的呢荆几？

三個(gè)向量組成的矩陣的行列式的絕對值就是這三個(gè)向量搞成的那個(gè)平行六面體的體積吓妆。

小學(xué)初中高中的數(shù)學(xué)老師們不辭辛苦告訴了我們體積這個(gè)東西，就應(yīng)該像一個(gè)函數(shù)吨铸，給它一個(gè)三維的東西（長方體）行拢，它給我們一個(gè)數(shù)（長乘寬乘高）。

那位說了诞吱，既然要講地嚴(yán)謹(jǐn)舟奠，你要說清楚什么是『三維的東西』吧竭缝？

好，我來說說什么是『三維的東西』沼瘫。三維好說抬纸，簡單的線性代數(shù)告訴我們，就是一個(gè)向量空間其中有一組基的勢為三耿戚，經(jīng)典情況下我們?nèi)∵@個(gè)向量空間的底域?yàn)閷?shí)域湿故。

那位說了，人家大學(xué)學(xué)中國古典文學(xué)的沒學(xué)過線性代數(shù)膜蛔，讓我不要在人家面前說黑話坛猪。

那我說您高中學(xué)過向量吧，一個(gè)括號里面仨（實(shí)）數(shù)拿逗號隔開算一個(gè)點(diǎn)（向量）皂股，三維（歐幾里得）空間就是所有這種點(diǎn)組成的集合墅茉，然后還可以定義向量的加減法點(diǎn)積什么的。

那什么是『東西』呢屑墨？

我說最起碼一個(gè)點(diǎn)得算是個(gè)東西躁锁。比如說我可以問，點(diǎn)（1.5, 2, 3.14）的體積是多少卵史？

長寬高都是零所以體積為零战转，很好。

我再說以躯，兩個(gè)點(diǎn)也得算一個(gè)東西槐秧。比如說我可以問，兩個(gè)點(diǎn)的體積是多少忧设？

兩個(gè)長寬高都是零刁标，零加零還是零，很好址晕。

以此類推我還可以問密密麻麻的（連續(xù)多個(gè)）點(diǎn)排成的一條線膀懈，一個(gè)面，和一個(gè)長方體的體積谨垃。

看起來我可以問任何一個(gè)由點(diǎn)組成的集合的體積启搂。

看起來體積是一個(gè)輸入三維點(diǎn)集輸出實(shí)數(shù)的函數(shù)。

但是要加一些條件刘陶。這些條件怎么來的胳赌？直覺。

比如說匙隔，一個(gè)長方體平移之后體積應(yīng)該不會變疑苫，一個(gè)長方體旋轉(zhuǎn)之后體積應(yīng)該不會變，一個(gè)長方體切成兩半再拼起來體積應(yīng)該不會變，之類的很基礎(chǔ)很基礎(chǔ)的條件捍掺。

看起來體積就是一個(gè)輸入三維點(diǎn)集輸出實(shí)數(shù)并且滿足上面這些簡單的條件的函數(shù)撼短。

有什么了不起的？

了不起的在于挺勿，這樣的函數(shù)不存在阔加。

為什么？

因?yàn)榧俣ㄟ@樣的函數(shù)存在满钟，按照我上面說的，拿來任何一個(gè)球胳喷，因?yàn)榍蛞彩且欢腰c(diǎn)的集合湃番，他有一個(gè)體積，假如說體積是1吭露，我能把這個(gè)球拆成五份（都是點(diǎn)集）吠撮，每份也有體積分別為a,b,c,d,e, 然后通過旋轉(zhuǎn)平移這五份碎片，拼成兩個(gè)體積都是1的球讲竿，這下1+1=a+b+c+d+e=1了泥兰。矛盾。

關(guān)鍵就在于怎么切出來這五份呢题禀？

最一開始豪斯多夫有一個(gè)大概的想法鞋诗，后來巴拿赫和塔斯基兩位波蘭數(shù)學(xué)界泰斗拓展了一下豪斯多夫的想法，具體的構(gòu)造了出來迈嘹，這個(gè)關(guān)于體積的悖論就這么叫做巴拿赫-塔斯基悖論了削彬。

話休閑絮，這兩位怎么構(gòu)造的秀仲？

要想明白這個(gè)構(gòu)造的中心思想融痛，我們先看另一個(gè)也很有趣的但是好理解一點(diǎn)的悖論，這個(gè)悖論實(shí)際上告訴了我們自由群是什么神僵，而自由群和選擇公理是巴拿赫-塔斯基悖論的核心：

考慮這樣一本英語字典雁刷，這個(gè)字典分成26卷，第一卷包含所有a打頭的單詞保礼，第二卷包含所有b打頭的單詞沛励，以此類推。這個(gè)字典里的英語很神奇氓英，因?yàn)樗凶帜缚赡艿慕M合侯勉，比如說第一卷第一個(gè)單詞是a，第二個(gè)單詞是aa铝阐，第三個(gè)單詞是aaa址貌，以此類推，然后是ab,aba,abaa,abaaa,以此類推，再然后是abb, abba, ..., abbb, abbba, ..., abbb..., ac, aca, ...练对，直到azzzz...., 有無窮個(gè)單詞遍蟋，而且這只是第一卷的內(nèi)容。第二卷就是所有第一個(gè)字母是b的這樣的單詞們螟凭。

現(xiàn)在假如我們以一種奇特的方式把這一套字典寫好了虚青，擺在了圖書館里，一大堆螺男。

豪斯多夫同學(xué)走過來棒厘，從書架上取下這套字典的第一卷，然后做了一件神奇的事情下隧。

他把這卷里面每個(gè)單詞的第一個(gè)字母都抹掉了奢人。

然后他得到了一整套26卷字典。

為什么淆院？

其實(shí)很簡單何乎，倒著想-- 如果豪斯多夫同學(xué)走過來，從書架上取下一整套字典土辩，往每個(gè)單詞前面都加一個(gè)a支救，這一整套字典就都變成了以a為首的詞，也就變成了第一卷拷淘。

第一次接觸這種想法的同學(xué)們可以先在這里頓一頓想一想各墨，我第一次在實(shí)變課上聽到這個(gè)也是很震驚的。有不明白的可以私信我也可以看這里的視頻启涯。

--------頓一頓--------

這基本上就是巴拿赫塔斯基悖論的最核心的一步了欲主。把字典換成球，把字母換成旋轉(zhuǎn)一個(gè)點(diǎn)的軌跡逝嚎，就搞定了扁瓢。

具體怎么做？

先在球表面挑一個(gè)點(diǎn)补君，以這個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)選互相垂直的兩個(gè)方向（可以想象成地球上的北和東）引几。

我們知道沿一個(gè)方向轉(zhuǎn)2π就回到了原點(diǎn)，現(xiàn)在我們不轉(zhuǎn)2π挽铁，我們轉(zhuǎn)1伟桅，這樣轉(zhuǎn)多少下都不會轉(zhuǎn)回來（軌跡不會重合），因?yàn)槿绻睾狭?π就不是無理數(shù)了（對不對叽掘？）楣铁。

規(guī)定好轉(zhuǎn)1rad為一步之后，現(xiàn)在我們不僅允許重復(fù)交替轉(zhuǎn)任意步更扁，我們還允許倒著轉(zhuǎn)盖腕。

也就是說可以想象成地球表面一個(gè)人（那個(gè)點(diǎn)）每次向東西南北其中一個(gè)方向走一步（轉(zhuǎn)1rad）赫冬。然后看無數(shù)個(gè)人從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)走出來的軌跡。

把球表面鋪開了之后這個(gè)軌跡大概長成這個(gè)樣子溃列。

其中e就是起點(diǎn)劲厌，a就是向東走，b就是向北走听隐，每一個(gè)小分支都有無限的更細(xì)小的分支（喜歡分型的小朋友會知道這叫一個(gè)自相似圖形）补鼻。另外注意這是平面上這個(gè)樣子，球面上的話會轉(zhuǎn)圈圈的雅任，就是說你一直往東走就走到了自己的西面风范，再往東走又走到了自己的東面。

現(xiàn)在把豪斯多夫同學(xué)的做法翻譯過來就是什么呢沪么？

把第一步向東走形成的軌跡拿出來乌企，向西轉(zhuǎn)1rad，變成了什么成玫？

變成了第一步向東南北走形成的軌跡。

為什么沒有第一步向西走形成的軌跡呢拳喻？

因?yàn)橄认驏|走一步再向西走一步相當(dāng)于沒動哭当。

走一步退一步等于沒走。

（這實(shí)際上是圖書館例子里的自由半群和轉(zhuǎn)圈圈這個(gè)例子里的自由群的區(qū)別-- 我們要考慮一個(gè)元素的逆了（黑話冗澈，不用理我）钦勘。）

所以呢，我們把先向東走一步形成的軌跡拿出來亚亲，向西轉(zhuǎn)一步彻采，再和先向西走一步形成的軌跡拼起來，就得到了從原點(diǎn)出發(fā)形成的所有軌跡捌归；

再把先向北走一步形成的軌跡拿出來肛响，向南轉(zhuǎn)一步，再和先向南走一步形成的軌跡拼起來惜索，就得到了另一份從原點(diǎn)出發(fā)形成的所有軌跡特笋。

一下是一句關(guān)于細(xì)節(jié)的可能難懂的話，建議自己寫一寫體會一下：

注意以上說的在原點(diǎn)的地方是有問題的巾兆，要想說的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑捔晕铮⑶乙氚言c(diǎn)也復(fù)制一份的話，可以把原點(diǎn)算進(jìn)『先向西走一步的那一塊』里角塑，但是要注意這樣的話蔫磨，要從『先向東走一步形成的那一塊』里把所有『只向東走形成的軌跡』摳出來放到『先向西走一步的那一塊』里才行，這是因?yàn)榉駝t的話把『東圃伶。堤如。蒲列。塊』拿出來，向西轉(zhuǎn)一下煤惩，會得到原點(diǎn)嫉嘀，這樣和『西。魄揉。剪侮。塊』里有的點(diǎn)就重復(fù)了，為了避免這種重復(fù)只能如上所說這樣做洛退。

嗯這句可能難懂的關(guān)于細(xì)節(jié)的話說完了瓣俯。

上面說的都是球表面的點(diǎn)，現(xiàn)在我們考慮這些點(diǎn)連同每個(gè)點(diǎn)到球心的連線一起照我們剛剛說的旋轉(zhuǎn)平移兵怯。

我們好像就已經(jīng)把一個(gè)去掉球心的球復(fù)制成兩個(gè)了彩匕。

。

媒区。

嗎

驼仪？

現(xiàn)在讓我們再頓一頓。

-----------頓一頓----------

剛剛我說了袜漩，這個(gè)巴拿赫塔斯基悖論的構(gòu)造有兩點(diǎn)绪爸，最主要的一點(diǎn)我們已經(jīng)說完了（其實(shí)就是由兩個(gè)球面上旋轉(zhuǎn)生成的自由群的性質(zhì)呀感興趣的小朋友可以多去查一查），還有一點(diǎn)宙攻，也是當(dāng)今數(shù)學(xué)分析里大部分極度病態(tài)的例子的源泉----選擇公理奠货。

哪里要用選擇公理？

剛剛我們一開始不是隨便選了球面上一個(gè)點(diǎn)當(dāng)原點(diǎn)嘛座掘，這樣無論怎么旋轉(zhuǎn)递惋，能落到旋轉(zhuǎn)軌跡里的點(diǎn)都不是很多（是離散/可數(shù)的）。而我們知道球面當(dāng)然不是離散的嘛溢陪，是連續(xù)的萍虽，就是說球面上沒有小漏洞對不對？但是拿一個(gè)點(diǎn)一步一步轉(zhuǎn)出來的軌跡到處都是漏洞對不對形真？

漏下的點(diǎn)怎么辦贩挣？

我們可以在漏下的點(diǎn)里隨便再選一個(gè)點(diǎn)，做相同的事情没酣，又得到了東西南北四塊王财，可以相應(yīng)地和之前那個(gè)原點(diǎn)得到的東西南北四塊并到一起，這樣分成四塊再復(fù)制的點(diǎn)和其到圓心的連線就更多了一點(diǎn)裕便。

但是我們知道兩個(gè)離散/可數(shù)的集合的并還是離散/可數(shù)的绒净。這告訴我們還是漏下了很多點(diǎn)。

更令人絕望的是偿衰，我們可以推想挂疆，即使我們一直重復(fù)做這樣的選一個(gè)漏下的點(diǎn)然后走東西南北的動作改览，也還是會漏下點(diǎn)。

怎么辦缤言？

這個(gè)問題說的明白一點(diǎn)宝当，就是說，通過像我們所說的東西南北走形成的軌跡胆萧，實(shí)際上對球面形成了一個(gè)分劃庆揩，就是說這些軌跡互不相交（練習(xí)題：為什么互不相交？）然后球面上的每個(gè)點(diǎn)都屬于這些軌跡之一跌穗。如果有一種方法能讓我們從每個(gè)軌跡里面選出來一個(gè)點(diǎn)就好了订晌，這樣我們就可以把選出來的那個(gè)點(diǎn)當(dāng)做軌跡的原點(diǎn)然后把原點(diǎn)們打包放到『西。蚌吸。锈拨。塊』里面（參見我說可能難懂的那句話），就可以把去心球分成四塊（比如說有一塊就是所有原點(diǎn)的『北羹唠。奕枢。。塊』的并集）再拼成兩個(gè)球啦（其實(shí)這里面有一個(gè)不影響大局的小問題佩微，我最后說）缝彬。

那么有沒有這么一種方法呢？

有喊衫，選擇公理。

選擇公理到底是什么杆怕？

這就是ZFC里面的C族购，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)依賴的集合論最根本幾條公理之一。這些公理包括了比如說無窮集存在陵珍，如果兩個(gè)集合存在那么這兩個(gè)集合的并集交集存在寝杖，這類的很基礎(chǔ)的命題，人人都覺得是對的互纯，可沒人能從更基礎(chǔ)的東西推出來只好當(dāng)做公理來用了（事實(shí)上羅素和弗雷格的邏輯主義是這樣的一種嘗試瑟幕，但是沒有成功，我上一篇文章里有寫留潦，將來應(yīng)該會就此更詳細(xì)地寫一些）只盹。

選擇公理是這一套公理系統(tǒng)里面的最后一條公理，他告訴我們兔院，不論給定多少個(gè)集合殖卑，只要每個(gè)集合都不是空集，那么我們肯定能從每個(gè)集合里面挑一個(gè)元素出來湊成一個(gè)集合坊萝。

數(shù)學(xué)家有時(shí)會自嘲說自己研究的是抽象廢話孵稽。

私以為面對選擇公理此言猶是许起。

然而，維特根斯坦的《邏輯哲學(xué)論》里把所有能說的話差不多都當(dāng)成了一句抽象廢話菩鲜。

大概一些抽象廢話湊在一起就能囊括這個(gè)世界吧园细。

大概這也是數(shù)學(xué)的魅力所在。

大概選擇公理就是這樣的抽象廢話之一接校。

策梅洛說他曾經(jīng)日夜冥想選擇公理為其中的奧義所折服猛频。

在這里推薦Horst Herrlich寫選擇公理的書（就叫axiom of choice），里面囊括了幾乎所有選擇公理導(dǎo)致的病態(tài)的例子馅笙。其中以這個(gè)悖論和柯西函數(shù)方程的病態(tài)解為最突出的兩個(gè)伦乔。

我的實(shí)變教授在講柯西函數(shù)方程的時(shí)候告訴我們這個(gè)東西太病態(tài)了以至于大家沒事不要鉆研這些東西除非喝醉了喝得特別特別醉，強(qiáng)調(diào)了好幾遍只有醉鬼才能想出這種病態(tài)解董习。

印象深刻烈和，柯西函數(shù)方程可以改天再說，但感覺會比較枯燥皿淋，雖然他會給出我們一個(gè)從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的函數(shù)病態(tài)到你在平面上畫出這個(gè)函數(shù)的圖像之后你會發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖像是稠密的也就是說你隨便在平面上畫一個(gè)小圈都會圈到這個(gè)函數(shù)圖像的無數(shù)個(gè)點(diǎn)招刹。

事實(shí)上你是無法畫出那個(gè)圖像的。

但這又扯遠(yuǎn)了窝趣。

說回選擇公理疯暑。

哥德爾和保羅科恩一起告訴我們，選擇公理確實(shí)不能從其他的公理里面推出來哑舒。

事實(shí)上妇拯，他們告訴我們，選擇公理獨(dú)立于其他公理洗鸵。

什么意思越锈？

意思就是說，把其他的公理拿來膘滨，我們可以構(gòu)造一個(gè)更大的公理體系甘凭，使得選擇公理在那里面是真的；同時(shí)我們還能構(gòu)造另一個(gè)更大的公理體系火邓，使得選擇公理在那里面是假的丹弱。

這怎么證的呢？

力迫法铲咨。

什么玩意兒躲胳？

哈哈我也不知道我下個(gè)學(xué)期看看爭取春節(jié)前能多寫點(diǎn)關(guān)于力迫法的東西啊。

選擇公理在我心中一直是個(gè)小怪物纤勒，我凝視它的時(shí)候感覺像在凝視深淵泛鸟，但卻不能說出很多，謝爾賓斯基說選擇公理之下的大概是那來自遠(yuǎn)古的宏大的關(guān)于存在的問題踊东，按照維特根斯坦的說法北滥，此中深意大概是不可說的吧刚操。

----------頓一頓----------

那么有了選擇公理之后，我們確實(shí)可以只通過旋轉(zhuǎn)平移分成四份的去心球來復(fù)制去掉圓心的球了再芋。

有一個(gè)技術(shù)上的小問題就是菊霜，球心怎么辦？

球心的問題是他不屬于某個(gè)唯一的軌道济赎。有相同問題的點(diǎn)還有那些旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸上的點(diǎn)們鉴逞。

但好在這些點(diǎn)都不多，我們可以把這些點(diǎn)加進(jìn)去然后把四份簡單改一改變成五份就好了司训。

這個(gè)技術(shù)的中心思想是這樣的：我們可以把(0,1)這個(gè)開區(qū)間分成三份构捡，一份是1/2這個(gè)數(shù)，一份是剩下的所有n分之1壳猜，一份是剩下的點(diǎn)勾徽，然后我們把二分之一移到0，把三分之一移到二分之一统扳，四分之一移到三分之一喘帚，以此類推，我們就用（0咒钟，1）蓋住了[0, 1)吹由。

這里我們就可以心滿意足地寫上一個(gè)證畢了。

但是好像還有一個(gè)問題----

巴拿赫塔斯基悖論告訴我們體積這個(gè)函數(shù)不存在朱嘴，這感覺會直接導(dǎo)致所有科學(xué)理論崩塌倾鲫，為什么我們現(xiàn)在的科學(xué)家們都活得好好的依然樂觀地辛勤工作？

其實(shí)還是因?yàn)槲覀冇昧诉x擇公理：

數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了體積這個(gè)概念的這個(gè)缺點(diǎn)之后萍嬉，開始思考乌昔，在什么樣的集合上我們才能定義體積。

現(xiàn)在實(shí)分析里面我們都是在一部分選定的集合里面才會定義體積（測度）帚湘，一般情況下這些集合包含了基本的長方體和這些長方體取交并補(bǔ)極限所形成的所謂sigma-代數(shù)里面玫荣。我們叫這些集合（勒貝格）可測集甚淡。在可測集上體積這個(gè)概念是定義良好的大诸。

比如說我們剛剛用到的那拆成五份的集合就不都是可測集，所以我們1=a+b+c+d+e=1+1里面的abcde其實(shí)都是不存在的贯卦。

而事實(shí)上可測集基本上就是我們會用到的大部分集合资柔，并且是我們這個(gè)有限的宇宙里的科學(xué)能用到的全部集合。

（這想想也是很有道理的撵割，回想我們證明里用到的那些集合贿堰，如果用刀切球的話，第一部分里那把刀要拐無數(shù)個(gè)彎啡彬，第二步里那把刀去切的起點(diǎn)甚至都是無法說明的羹与，只能依靠選擇公理才知道這些起點(diǎn)存在故硅。）

最后，Solovay在70年代證出來纵搁，如果我們不用選擇公理的話吃衅，是可以構(gòu)造出來一個(gè)集合論公理體系使得里面所有的集合都是可測集的。

所以質(zhì)量守恒嗎腾誉？

在經(jīng)典的情況下徘层，質(zhì)量還是守恒的。

流體力學(xué)教授可以松一口氣了利职。