線性方程組（一）

線性方程組

包含變量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的線性方程是形如 $a_1x_1 + a_2x_2+ \cdots + a_nx_n = b$ 的方程逞度，其中b與系數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是實數(shù)或復(fù)數(shù)悍手，通常是已知數(shù)。下標(biāo) $n$ 可以是任意正整數(shù)悠轩。
線性方程組是由一個或幾個包含相同變量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的線性方程組成的间狂。

線性方程組的解是一組數(shù) $(s_1,s_2,\cdots,s_n)$ ，用這組數(shù)分別代替 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 時所有方程的兩邊相等火架。
方程組所有可能的解的集合稱為線性方程組的解集鉴象。若兩個線性方程組有相同的解集忙菠，則這兩個線性方程組稱為等價的。

線性方程組的解有下列三種情況：

無解
有唯一解
有無窮多解

我們稱一個線性方程組時相容的纺弊，若它有一個解或無窮多個解牛欢；稱它是不相容的，若它無解俭尖。

矩陣記號

一個線性方程組包含的主要信息可以用一個稱為矩陣的緊湊的矩形陣列表示氢惋。給出方程組 $\begin{cases} {x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10} \end{cases}$ ，把每一個變量的系數(shù)寫在對齊的一列中稽犁，矩陣 $\left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \\ \end{matrix}\right]$ 稱為方程組的系數(shù)矩陣焰望。 $\left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \\ \end{matrix}\right]$ 稱為它的增廣矩陣买决。

矩陣的維數(shù)說明它包含的行數(shù)和列數(shù)齐苛。若 $m,n$ 是正整數(shù)， $m \times n$ 矩陣是一個有 $m$ 行 $n$ 列的數(shù)的矩形陣列承二。（行數(shù)寫在前面）

解線性方程組

解線性方程組 $\begin{cases} {x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10} \end{cases}$
解：在消去未知數(shù)的同時用相應(yīng)的系數(shù)矩陣表示出來

保留方程1中的 $x_1$ 虑椎，把其它方程中的 $x_1$ 消去
$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 10x_2 - 10x_3 = 10 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \\ \end{matrix}\right]$
把方程2乘以1/2震鹉，使 $x_2$ 的系數(shù)變成1
$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - 4x_3 = 4 \\ 10x_2 - 10x_3 = 10 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \\ \end{matrix}\right]$
利用方程2中的 $x_2$ 項消去方程3中的項 $10x_2$ ，并消去系數(shù)
$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - 4x_3 = 4 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right]$
新的方程組是三角形形式
利用方程3中的 $x_3$ 項消去方程1中的 $x_2$ 項和方程2中的 $-4x_3$ 項
$\begin{cases} x_1 - 2x_2 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad\qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right]$
利用方程2中的 $x_2$ 項消去方程1中的 $-2x_2$ 項
$\begin{cases}{ x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = -1 }\end{cases}\qquad\qquad\qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}$
最終捆姜，求得原方程組的唯一解是 $(1,0,-1)$

上訴解方程運(yùn)用了三個基本變換传趾，我們稱之為初等行變換

（倍加變換）把某一行換成它本身與另一行的倍數(shù)的和
（對換變換）把兩行對換
（倍乘變換）把某一行的所有元素乘以同一個非零數(shù)

我們稱兩個矩陣為行等價的，若其中一個矩陣可以經(jīng)一系列初等行變換稱為另一個矩陣泥技。若兩個線性方程組的增廣矩陣是行等價的浆兰，則它們具有相同的解集。

存在與唯一性

確定方程組 $\begin{cases} {x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10} \end{cases}$
是否有解
解：通過初等行變化將方程組變成三角形形式
$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - 4x_3 = 4 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad\quad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right]$
這時我們已經(jīng)確定了 $x_3$ 珊豹，通過回代法可一次確定 $x_1$ 和 $x_2$ 的值簸呈。故該方程組有解。

確認(rèn)方程組 $\begin{cases} {x_2 - 4x_3 = 8 \\ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ 4x_1 - 8x_2 + 12x_3 = 1} \end{cases}$ 是否相容
解：通過初等行變化將方程組變成三角形形式店茶。
$\begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ x_2 - 4x_3 = 8 \\ 0 = 15 \\ \end{cases} \qquad \begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 15 \\ \end{bmatrix}$
顯然這個三角形方程組是矛盾的蜕便，故該方程組是不相容的。

小結(jié)

線性方程組的定義
矩陣的定義
使用初等行變換解線性方程組
通過線性方程組的三角形形式快速判斷方程組是否相容