高等代數(shù)理論基礎(chǔ)51：不變子空間

不變子空間

定義：設(shè) $\mathscr{A}$ 是數(shù)域P上線性空間V的線性變換,W是V的子空間,若W中的向量在 $\mathscr{A}$ 下的像仍在W中,即 $\forall \xi\in W$ ,有 $\mathscr{A}\xi\in W$ ,則稱W是 $\mathscr{A}$ 的不變子空間,簡稱 $\mathscr{A}$ -子空間

例：

1.整個空間V和零子空間 $\{0\}$ ,對每個線性變換 $\mathscr{A}$ 都是 $\mathscr{A}$ -子空間

2. $\mathscr{A}$ 的值域與核都是 $\mathscr{A}$ -子空間

由定義, $\mathscr{A}$ 的值域 $\mathscr{A}V$ 是V中的向量在 $\mathscr{A}$ 下的像的集合,包含 $\mathscr{A}V$ 中向量的像,故 $\mathscr{A}V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不變子空間

$\mathscr{A}$ 的核為被 $\mathscr{A}$ 變成零的向量的集合,核中向量的像是零,在核中,故核是不變子空間

3.若線性變換 $\mathscr{A}$ 與 $\mathscr{B}$ 是可交換,則 $\mathscr{B}$ 的核與值域都是 $\mathscr{A}$ -子空間

在 $\mathscr{B}$ 的核 $V_0$ 中任取一向量 $\xi$ ,則 $\mathscr{B(A\xi)=(BA)\xi=(AB)\xi=A(B\xi)=A0=0}$

故 $\mathscr{A}\xi$ 在 $\mathscr{B}$ 中的像為零,即 $\mathscr{A}\xi\in V_0$ ,故 $V_0$ 是 $\mathscr{A}$ -子空間

$\forall \mathscr{B}\eta\in \mathscr{B}V$ ,則 $\mathscr{A}(\mathscr{B}\eta)=\mathscr{B}(\mathscr{A}(\eta))\in\mathscr{B}V$ ,故 $\mathscr{B}V$ 也是 $\mathscr{A}$ -子空間

$\mathscr{A}$ 的多項式 $f(\mathscr{A})$ 和 $\mathscr{A}$ 可交換,故 $f(\mathscr{A})$ 的值域與核都是 $\mathscr{A}$ -子空間

4.任一子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間

由定義,子空間對數(shù)乘變換封閉

特征向量與一維不變子空間

設(shè)W是一維 $\mathscr{A}$ -子空間, $\xi$ 是W中任一非零向量,構(gòu)成W的基,由 $\mathscr{A}$ -子空間的定義, $\mathscr{A}\xi\in W$ ,是 $\xi$ 的一個倍數(shù) $\mathscr{A}\xi=\lambda_0\xi$

即 $\xi$ 是 $\mathscr{A}$ 的特征向量,W為由 $\xi$ 生成的一維 $\mathscr{A}$ -子空間

反之,設(shè) $\xi$ 是 $\mathscr{A}$ 屬于特征值 $\lambda_0$ 的一個特征向量,則 $\xi$ 及它的任一倍數(shù)在 $\mathscr{A}$ 下的像是原像的 $\lambda_0$ 倍,仍是 $\xi$ 的一個倍數(shù)

即 $\xi$ 的倍數(shù)構(gòu)成一個一維 $\mathscr{A}$ -子空間

顯然, $\mathscr{A}$ 的屬于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空間 $V_{\lambda_0}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不變子空間

$\mathscr{A}$ -子空間的和與交還是 $\mathscr{A}$ -子空間

設(shè) $\mathscr{A}$ 是線性空間V的線性變換,W是 $\mathscr{A}$ 的不變子空間,W中向量在 $\mathscr{A}$ 下的像仍在W中,故可不必在整個空間V中考慮 $\mathscr{A}$ ,只在不變子空間W中考慮 $\mathscr{A}$ ,即將 $\mathscr{A}$ 看作W的一個線性變換,稱為 $\mathscr{A}$ 在不變子空間W上引起的變換,記作 $\mathscr{A}|W$

注： $\mathscr{A}$ 是V的線性變換,V中每個向量在 $\mathscr{A}$ 下都有確定的像

$\mathscr{A}|W$ 是不變子空間W上的線性變換, $\forall \xi\in W$ ,有 $(\mathscr{A}|W)\xi=\mathscr{A}\xi$

對V中不屬于W的向量 $\eta$ , $(\mathscr{A}|W)\eta$ 沒有意義

例：任一線性變換在它的核上引起的變換是零變換,在特征子空間 $V_{\lambda_0}$ 上引起的變換是數(shù)乘變換 $\lambda_0$

顯然,若線性空間V的子空間W是由向量組 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 生成的,即 $W=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$ ,則W是 $\mathscr{A}$ -子空間的充要條件為 $\mathscr{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s}\in W$

必要性顯然

充分性,若 $\mathscr{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s}\in W$

$\forall \xi\in W$ 可被 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 線性表示,即 $\xi=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$

故 $\mathscr{A\xi}=(k_1\mathscr{A}\alpha_1+k_2\mathscr{A}\alpha_2+\cdots+k_s\mathscr{A}\alpha_s)\in W$

線性變換矩陣化簡

1.設(shè) $\mathscr{A}$ 是n維線性空間V的線性變換,W是V的 $\mathscr{A}$ -子空間,在W中取一組基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ ,且擴充成V的一組基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k,\varepsilon_{k+1},\cdots,\varepsilon_n$ ,則 $\mathscr{A}$ 在這組基下的矩陣為

$\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ 0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}?$

且k級矩陣 $A_1$ 是 $\mathscr{A}|W$ 在W的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 下的矩陣

$W$ 是 $\mathscr{A}$ -子空間,故像 $\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_k$ 仍在W中,可通過W的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 線性表示

$\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{11}\varepsilon_1+a_{21}\varepsilon_2+\cdots+a_{k1}\varepsilon_k$

$\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{12}\varepsilon_2+a_{22}\varepsilon_2+\cdots+a_{k2}\varepsilon_k$

$\cdots$

$\mathscr{A}\varepsilon_k=a_{1k}\varepsilon_1+a_{2k}\varepsilon_2+\cdots+a_{kk}\varepsilon_k$

故 $\mathscr{A}?$ 在基下的矩陣具有形狀 $\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}?$

$\mathscr{A}|W?$ 在W的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k?$ 下的矩陣是 $A_1?$

反之,若 $\mathscr{A}$ 在基下的矩陣為 $\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}$ ,則易證 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 生成的子空間W是 $\mathscr{A}$ 的不變子空間

2.設(shè)V分解成若干 $\mathscr{A}$ -子空間的直和

$V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_s?$ ,在每個 $\mathscr{A}?$ -子空間 $W_i?$ 中取基 $\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{in_i}(i=1,2,\cdots,s)?$ ,且將它們合并成V的一組基I,則在該組基下, $\mathscr{A}?$ 的矩陣具有準對角形狀

$\begin{pmatrix}A_1\\ &A_2\\ & &\ddots\\ & & &A_s\end{pmatrix}$

其中 $A_i(i=1,2,\cdots,s)?$ 即 $\mathscr{A}|W_i?$ 在基 $\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{in_i}(i=1,2,\cdots,s)?$ 下的矩陣

反之,若線性變換 $\mathscr{A}$ 在基I下的矩陣是準對角形,則由基 $\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{in_i}(i=1,2,\cdots,s)$ 生成的子空間 $W_i$ 是 $\mathscr{A}$ -子空間

注：矩陣分解為準對角形與空間分解為不變子空間的直和是相當?shù)?/p>

哈密頓-凱萊定理應用

定理：設(shè)線性變換 $\mathscr{A}$ 的特征多項式為 $f(\lambda)$ ,可分解成一次因式的乘積 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{r_s}$ ,則V可分解成不變子空間的直和 $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots\oplus V_s$ ,其中 $V_i=\{\xi|(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi\in V\}$

證明：

$令f_i(\lambda)={f(\lambda)\over (\lambda-\lambda_i)^{r_i}}$

$=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}\cdots(\lambda-\lambda_{i-1})^{r_{i-1}}(\lambda-\lambda_{i+1})^{r_{i+1}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{r_s}$

$及V_i=f_i(\mathscr{A})V$

$則V_i是f_i(\mathscr{A})的值域$

$又V_i是\mathscr{A}的子空間$

$顯然,V_i滿足$

$(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}V_i=f(\mathscr{A})V=\{0\}$

$下證V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$

$即證\forall \alpha\in V$

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i,i=1,2,\cdots,s$

$且表示法唯一$

$顯然(f_1(\lambda),f_2(\lambda),\cdots,f_s(\lambda))=1$

$\therefore 有多項式u_1(\lambda),u_2(\lambda),\cdots,u_s(\lambda)$

$使u_1(\lambda)f_1(\lambda)+u_2(\lambda)f_2(\lambda)+\cdots+u_s(\lambda)f_s(\lambda)=\mathscr{E}$

$即\forall\alpha\in V,有$

$\alpha=u_1(\mathscr{A})f_1(\mathscr{A})\alpha+u_2(\mathscr{A})f_2(\mathscr{A})\alpha+\cdots+u_s(\mathscr{A})f_s(\mathscr{A})\alpha$

$其中u_i(\mathscr{A})f_i(\mathscr{A})\alpha\in f_i(\mathscr{A})V=V_i,i=1,2,\cdots,s$

$設(shè)\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_s=0$

$其中\(zhòng)beta_i滿足(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\beta_i=0,i=1,2,\cdots,s$

$下證任一\beta_i=0$

$\because (\lambda-\lambda_j)^{r_j}|f_i(\lambda)(j\neq i)$

$\therefore f_i(\mathscr{A})\beta_j=0(j\neq i)$

$用f_i(\mathscr{A})作用于兩邊可得$

$f_i(\mathscr{A})\beta_i=0$

$又(f_i(\lambda),(\lambda-\lambda_i)^{r_i})=1$

$\therefore 有多項式u(\lambda),v(\lambda)使$

$u(\lambda)f_i(\lambda)+v(\lambda)(\lambda-\lambda_i)^{r_i}=1$

$\therefore \beta_i=u(\mathscr{A})f_i(\mathscr{A})\beta_i+v(\mathscr{A})(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\beta_i=0$

$設(shè)\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s=0$

$其中\(zhòng)alpha_i\in V_i$

$(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\alpha_i=0,i=1,2,\cdots,s$

$\therefore \alpha_i=0,i=1,2,\cdots,s$

$\therefore 表示法唯一$

$設(shè)有向量\alpha\in (\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}的核$

$將\alpha表成\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i(i=1,2,\cdots,s)$

$\therefore \alpha_1+\alpha_2+\cdots+(\alpha_i-\alpha)+\cdots+\alpha_s=0$

$令\beta_j=\alpha_j,j\neq i,\beta_i=\alpha_i-\alpha$

$則\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s是滿足條件的向量$

$\therefore \beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_i=\cdots=\beta_s=0$

$\therefore \alpha=\alpha_i\in V_i$

$即V_i是(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}的核$

$即V_i=\{\xi|(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi\in V\}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

根子空間

定義：V, $\mathscr{A}$ , $f(\lambda)$ 如上定理,則稱 $V_i=\{\xi\in V|(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0\}$ 為 $\mathscr{A}$ 的屬于特征值 $\lambda_i$ 的根子空間,記作 $V^{\lambda_i}$

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