圖與網(wǎng)絡(luò)

1. 圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

  • 一個(gè)圖是由一些點(diǎn)以及這些點(diǎn)之間得連線所組成的
  • 兩點(diǎn)間不帶箭頭的連線為邊,帶箭頭的連線為弧
  • 若邊e = (u,v)步势，則稱e連接u與v；點(diǎn)u妈嘹，v稱為e的頂點(diǎn)
  • 如果兩條邊有一個(gè)公共頂點(diǎn)柳琢，則稱這兩條邊是鄰接的；兩個(gè)頂點(diǎn)重合為一點(diǎn)的邊稱為環(huán)

1.1 無向圖

如果一個(gè)圖是由點(diǎn)以及邊所構(gòu)成的润脸，則稱為無向圖柬脸，記為G = (V,E）,一個(gè)圖稱為有限圖，如果它的頂點(diǎn)集和邊集都有限毙驯。圖G 的頂點(diǎn)數(shù)用符號(hào)V 表示倒堕，邊數(shù)用 |E| 表示。

1.2 有向圖

如果一個(gè)圖是由點(diǎn)以及弧所構(gòu)成的爆价，則稱為有向圖垦巴，記為D = (V,A)

1.3 完全圖，二分圖

  • 設(shè)G = (V,E)是一個(gè)簡(jiǎn)單圖铭段，當(dāng)滿足
    |E|=\frac{|V|(|V|-1)}{2}時(shí)
    每一對(duì)不同的頂點(diǎn)都有一條邊相連的簡(jiǎn)單圖稱為完全圖(complete graph)骤宣。
  • 設(shè)G = (V,E)是一個(gè)圖，若存在V的一個(gè)分劃(V_1,V_2),是G的每條邊有一個(gè)頂點(diǎn)在V_1中,另一個(gè)在V_2中序愚，則稱G為二分圖涯雅。

1.4 子圖

1.5 頂點(diǎn)的度

頂點(diǎn)的度是指圖中與頂點(diǎn)V相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目

1.6 圖與網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

1.6.1 鄰接矩陣表示法

定義：就是0-1矩陣，如果元素cij為“1”表示弧從第i個(gè)到第j個(gè)點(diǎn)展运，為“0”的話表示沒有活逆。如果是無向圖則必定cij=cji。


1.6.2 稀疏矩陣表示法

當(dāng)矩陣中0的個(gè)數(shù)比較少時(shí)拗胜，可以通過僅僅儲(chǔ)存非0元素的坐標(biāo)以及值來表示一個(gè)矩陣
像這樣：

(3,1) 35
(4,1) 21
(5,1) 51
(3,2) 21
(6,5) 13

構(gòu)造系數(shù)矩陣的兩種方法
  1. S=sparse(X)—將矩陣X轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣的形式蔗候，即矩陣X中任何零元素去除，非零元素及其下標(biāo)（索引）組成矩陣S埂软。 如果X本身是稀疏的锈遥，sparse(X)返回S
 a=[1,0,2;0,0,1;0,0,6];
  >> a
 3
 a =
 
       1     0     2
       0     0     1
       0     0     6
 
>> b=sparse(a)
 
 b =
 
    (1,1)        1
    (1,3)        2
    (2,3)        1
    (3,3)        6

  1. S = sparse(i,j,s,m,n,nzmax)——由i,j,s三個(gè)向量創(chuàng)建一個(gè)m*n的稀疏矩陣（上面的B矩陣形式），并且最多含有nzmax個(gè)元素勘畔。
    例如：B=sparse([1,2,3],[1,2,3],[0,1,2],4,4,4)
    B =
    (2,2) 1

    (3,3) 2
    其中i=[1,2,3]所灸，稀疏矩陣的行位置；j=[1,2,3]炫七，稀疏矩陣的列位置爬立；s=[0,1,2]，稀疏矩陣元素值万哪。 其位置為一一對(duì)應(yīng)侠驯。
    m=4(>=max(i)),n=4(>=max(j)) (注：m和n的值可以在滿足條件的范圍內(nèi)任意選取)，用于限定稀疏的大小奕巍。
    nzmax=4(>=max(i or j))吟策，稀疏矩陣最多可以有nzmax個(gè)元素。

2. 最短路問題

從圖中的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到達(dá)另外一個(gè)頂點(diǎn)的所經(jīng)過的邊的權(quán)重和最小的一條路徑的止，稱為最短路徑檩坚。

2.1 兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短路徑

解決問題的方法：

  1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）-----經(jīng)典

  2. 弗洛伊德算法（Floyd算法）-----用三層循環(huán)
    通過Floyd計(jì)算圖G=(V,E)中各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑時(shí)，需要引入矩陣诅福，
    矩陣S中的元素 map[i][j] 表示頂點(diǎn)i(第i個(gè)頂點(diǎn))到頂點(diǎn)j(第j個(gè)頂點(diǎn))的距離匾委。
    假設(shè)圖G中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為N，則需要對(duì)矩陣D和矩陣P進(jìn)行N次更新权谁。
    初始時(shí)剩檀，矩陣D中頂點(diǎn) map[i][j] 的距離為頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的權(quán)值；
    如果i和j不相鄰旺芽，則 map[i][j]=∞沪猴。 接下來開始，對(duì)矩陣D進(jìn)行N次更新采章。
    第1次更新時(shí)运嗜，如果”a[i][j]的距離” > “a[i][k]+a[k][j]”
    a[i][0]+a[0][j]表示”i與j之間經(jīng)過第1個(gè)頂點(diǎn)的距離”，則更新a[i][j]為”a[i][0]+a[0][j]”悯舟。 同理担租，第k次更新時(shí)，如果”a[i][j]的距離” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”抵怎，則更新a[i][j]為”a[i][k-1]+a[k-1][j]”奋救。更新N次之后岭参，操作完成！

可以通過調(diào)用matlab圖論工具箱中的graphshortestpath函數(shù)直接進(jìn)行計(jì)算

3. 最小生成樹問題

一般可以使用matlab圖論工具箱中的graphminspantree()函數(shù)來求得最小生成樹尝艘。
【例】



clc
clear
%將數(shù)據(jù)寫成三元組的形式
x = [2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6];
y = [1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5];
w = [56,35,21,21,57,36,51,78,68,51,60,70,68,61,13];
a = sparse(x,y,w,6,6);%轉(zhuǎn)為稀疏矩陣
ug = tril(a+a');%轉(zhuǎn)化為下三角行列式
view(biograph(ug,[],'ShowArrows','off','ShowWeight','on'));

[st,pred]=graphminspantree(ug)%生成最小生成樹
nodestr = ['L','M','N','Pe','T'];
h=view(biograph(st,nodestr,'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));

Edges=getedgesbynodeid(h);%提取無向圖h的邊集
set(Edges,'LineColor',[0 0 0]);%設(shè)置顏色屬性
set(Edges,'LineWidth',1.5)%設(shè)置邊值屬性
>>
st =

   (3,1)       35
   (4,1)       21
   (5,1)       51
   (3,2)       21
   (6,5)       13


pred =

     0     3     1     1     1     5

其中st是一個(gè)代表生成樹的稀疏矩陣演侯，pred是包含最小生成的祖先節(jié)點(diǎn)的向量
該圖的網(wǎng)絡(luò)如下：



該圖的最小生成樹如下：


4. 網(wǎng)絡(luò)最大流問題

假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)地下水管道網(wǎng)絡(luò)，有m根管道背亥，n個(gè)管道交叉點(diǎn)秒际，現(xiàn)在自來水廠位于其中一個(gè)點(diǎn)，向網(wǎng)絡(luò)中輸水狡汉，鄰居在另外一個(gè)點(diǎn)接水娄徊，已知由于管道修建的年代不同，有的管道能承受的水流量較大盾戴，有的較小寄锐，現(xiàn)在求在自來水廠輸入的水不限的情況下，鄰居能接到的水的最大值捻脖？
為解決該問題锐峭，可以將輸水網(wǎng)絡(luò)抽象成一個(gè)聯(lián)通的有向圖，每根管道是一條邊可婶，交叉點(diǎn)為一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿癞，從u流向v的管道能承受的最大流量稱為容量，設(shè)為cap[u][v]矛渴，而該管道實(shí)際流過的流量設(shè)為flow[u][v]椎扬，自來水廠稱為源點(diǎn)s，隔壁老王家稱為匯點(diǎn)t具温，則該問題求的是最終流入?yún)R點(diǎn)的總流量flow的最大值蚕涤。

4.1 思路分析

關(guān)于最大流問題的解法大致分為兩類：增廣路算法和預(yù)流推進(jìn)算法。增廣路算法的特點(diǎn)是代碼量小铣猩，適用范圍廣揖铜，因此廣受歡迎；而預(yù)流推進(jìn)算法代碼量比較大达皿，經(jīng)常達(dá)到200+行天吓，但運(yùn)行效率略高

為了便于理解，先引入一個(gè)引理：最大流最小割定理峦椰。
在一個(gè)連通圖中龄寞，如果刪掉若干條邊，使圖不聯(lián)通汤功，則稱這些邊為此圖的一個(gè)割集物邑。在這些割集中流量和最小的一個(gè)稱為最小割。
最大流最小割定理：一個(gè)圖的最大流等于最小割。
大開腦洞一下色解，發(fā)現(xiàn)此結(jié)論顯而易見茂嗓，故略去證明（其實(shí)嚴(yán)格的證明反而不太好寫，但是很容易看出結(jié)論是對(duì)的科阎，是吧）在抛。這便是增廣路算法的理論基礎(chǔ)。
在圖上從s到t引一條路徑萧恕，給路徑輸入流flow，如果此flow使得該路徑上某條邊容量飽和肠阱，則稱此路徑為一條增廣路票唆。增廣路算法的基本思路是在圖中不斷找增廣路并累加在flow中，直到找不到增廣路為止屹徘，此時(shí)的flow即是最大流走趋。可以看出噪伊，此算法其實(shí)就是在構(gòu)造最小割簿煌。

可以通過matlab中的graphmaxflow求解,調(diào)用格式如下：
[MaxFlow, FlowMatrix, Cut] = graphmaxflow(G, SNode, TNode)
[...] = graphmaxflow(G, SNode, TNode, ...'Capacity', CapacityValue, ...)
[...] = graphmaxflow(G, SNode, TNode, ...'Method', MethodValue, ...)
【注意】有的時(shí)候K為二維矩陣，即存在不唯一的割集鉴吹。

給出例子如下：


clc
clear
a = zeros(6);
x = [1,1,2,2,3,3,4,5,5];
y = [2,4,3,4,4,6,5,3,6];
w = [8,7,9,5,2,5,9,6,10];
z = sparse(x,y,w,6,6);
h = view(biograph(z,[],'ShowWeights','on'));
[M,F,K] = graphmaxflow(z,1,6)
view(biograph(F,[],'ShowWeights','on'))
set(h.Nodes(K(1,:)),'Color',[1 0 0])
>>
M =

    14


F =

   (1,2)        8
   (2,3)        5
   (1,4)        6
   (2,4)        3
   (4,5)        9
   (3,6)        5
   (5,6)        9


K =

  1×6 logical 數(shù)組

   1   1   1   1   0   0

5. 最小費(fèi)用最大流問題

最小費(fèi)用最大流是解決這么一種問題: 對(duì)于圖中的每一條邊來說, 除了有一個(gè)最大容量的屬性以外姨伟，還有一個(gè)費(fèi)用屬性, 即流過這條邊的單位流量的花費(fèi)。求解的問題為在保證從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的流量最大的前提下使得花費(fèi)最少豆励。




【例】


下面自己編寫mincostmaxflow函數(shù)（matlab中無工具箱可以調(diào)用）：

%最小費(fèi)用最大流函數(shù) 

function[flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue); 

%第一個(gè)參數(shù)：容量矩陣夺荒；第二個(gè)參數(shù)：費(fèi)用矩陣； 

%前兩個(gè)參數(shù)必須在不通路處置零 

%第三個(gè)參數(shù)：指定容量值（可以不寫良蒸，表示求最小費(fèi)用最大流） 

%返回值 flow 為可行流矩陣,val 為最小費(fèi)用值 

global M 

flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,:));

if nargin<3 

   flowvalue=M; 

end 

while allflow<flowvalue 

   w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)'; 

   path=floydpath(w);%調(diào)用 floydpath 函數(shù)

   if isempty(path) 

       val=sum(sum(flow.*cost)); 

       return; 

   end 

   theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M)); 

   theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]); 

   flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta; 

   allflow=sum(flow(1,:)); 

end 

val=sum(sum(flow.*cost));

其中用到floydpath函數(shù)求最短路徑：

%求最短路徑函數(shù) 

function path=floydpath(w); 

global M num 

w=w+((w==0)-eye(num))*M; 

p=zeros(num); 

for k=1:num 

  for i=1:num 

     for j=1:num 

        if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j) 

           w(i,j)=w(i,k)+w(k,j); 

           p(i,j)=k; 

        end 

     end 

  end 

end 

if w(1,num) ==M 

   path=[]; 

else 

   path=zeros(num); 

   s=1;t=num;m=p(s,t); 

   while ~isempty(m) 

       if m(1) 

           s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1); 

           m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))]; 

       else 

           path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[]; 

       end 

   end 

end

最后編寫求解函數(shù)：

function mainexample19 

clear;clc; 

global M num 

c=zeros(6);u=zeros(6); 

c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5; 

c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;

u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5; 

u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;

num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2; 

[f,val]=mincostmaxflow(u,c) 
>>
f =

     0     8     0     6     0     0
     0     0     7     1     0     0
     0     0     0     2     0     5
     0     0     0     0     9     0
     0     0     0     0     0     9
     0     0     0     0     0     0


val =

   205

6. matlab 圖論工具箱

命令名 功能
graphallshortestpaths 求圖中所有頂點(diǎn)對(duì)之間的最短距離
graphconncomp 找無向圖的連通分支技扼，或有向圖的強(qiáng)弱連通分支
graphisdag 測(cè)試有向圖是否含有圈，不含圈返回1嫩痰，否則返回0
graphisomorphism 確定兩個(gè)圖是否同構(gòu)剿吻，同構(gòu)返回1，否則返回0
graphisspantree 確定一個(gè)圖是否是生成樹串纺，是返回1丽旅，否則返回0
graphmaxflow 計(jì)算有向圖的最大流
graphminspantree 在圖中找最小生成樹
graphpred2path 把前驅(qū)頂點(diǎn)序列變成路徑的頂點(diǎn)序列
graphshortestpath 求圖中指定的一對(duì)頂點(diǎn)間的最短距離和最短路徑
graphtopootder 執(zhí)行有向無圈圖的拓?fù)渑判?/td>
graphtraverse 求從一頂點(diǎn)出發(fā)，所能遍歷圖中的頂點(diǎn)

給出例子如下：

【例】用matlab求解從Node1到Node11的最短路徑及長(zhǎng)度


clc, clear
a(1,2)=2;a(1,3)=8;a(1,4)=1;
a(2,3)=1;a(2,3)=6;a(2,5)=1;
a(3,4)=7;a(3,5)=5;a(3,6)=1;a(3,7)=2;
a(4,7)=9;
a(5,6)=3;a(5,8)=2;a(5,9)=9;
a(6,7)=4;a(6,9)=6;
a(7,9)=3;a(7,10)=1;
a(8,9)=7;a(8,11)=9;
a(9,10)=1;a(9,11)=2;
a(10,11)=4;
a=a';   %matlab工具箱要求數(shù)據(jù)是下三角矩陣
[i,j,v]=find(a);
b=sparse(i,j,v,11,11) %構(gòu)造稀疏矩陣
[x,y,z]=graphshortestpath(b,1,11,'Directed',false) % Directed是標(biāo)志圖為有向或無向的屬性造垛，該圖是無向圖魔招，對(duì)應(yīng)的屬性值為false，或0五辽。
h = view(biograph(b,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'))
set(h.Nodes(y),'Color',[1 0.4 0.4])
 fowEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(y),'ID'));
 revEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(fliplr(y)),'ID'));
 edges = [fowEdges;revEdges];
 set(edges,'LineColor',[1 0 0])
 set(edges,'LineWidth',1.5)

>>
x =

    13


y =

     1     2     5     6     3     7    10     9    11


z =

     0     1     6     1     2     5     3     5    10     7     9

得到最短路線如下：


【說明】

  1. find函數(shù)可以返回元素的橫縱坐標(biāo)办斑，以及值
  2. 記得變成下三角行列式
  3. sparse函數(shù)創(chuàng)造系數(shù)矩陣，只記錄矩陣中非零元素的左邊以及值
  4. graphshortestpath的第一個(gè)參數(shù)代表最短路程，第二個(gè)參數(shù)為途中的標(biāo)號(hào)即最短路徑是13乡翅，最短路徑為1-2-5-6-3-7-10-9-11

7. 計(jì)劃評(píng)審法和關(guān)鍵路線法

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
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