類似氣象, 海洋這樣的復雜系統(tǒng)是一個對初始條件極為敏感的結構, 開始初始值微小不同會導致最終結果的很大差異, 美國氣象學家愛德華. 羅倫茲稱之為"蝴蝶效應", 并給出了我們這樣富有詩意的表述: "一只蝴蝶在巴西輕拍翅膀,可以導致一個月后德克薩斯州的一場龍卷風" .
1798年由人口學家馬爾薩斯(Thomas Malthus) 發(fā)表了《人口論》, 并且提出了非常著名的 Malthus 人口模型.
他認為人口是以幾何級數(shù)(指數(shù)級數(shù))增長的, 但是人類生存的最重要條件: 資源(食物, 燃料等)是算術級數(shù)增長, 隨著人口的不斷增長, 最后生活的資源會不能滿足消費需求, 因此資源和戰(zhàn)爭等因素會限制人口的過度增長.
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從兩種級數(shù)談起, 那我們先來回顧下什么是"幾何級數(shù)"和"算術級數(shù)":
幾何級數(shù)(Geometric sequence), 又稱等比數(shù)列. 也就是后一項和前一項之比都是一個常數(shù). 比如下面這個數(shù)列:
下面就是一個等比數(shù)列缕陕，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等郭脂，都等于 2 . 這樣后一項與前一項的比稱公比(符號
)
回到人口論中, 如果從前一項到下一項之間需要一代人的時間灯荧，并假定一代人的時間是30年，那么對于每一年人口增長率大概就是 2.34%.
對于幾何級數(shù), 如果
就是越往后增長的幅度及越大, 反之
就是越往后越小.
而在等差數(shù)列(arithmetic sequence)中, 任何相鄰兩項的差相等. 該差值稱為公差. 在這個數(shù)列中仁热，從第二項起牌里，每項與其前一項之差都等于3辆雾，即公差(common difference)為 3.
我們可以將兩種級數(shù)都繪制在同一幅圖像中, 可以更好的進行對比:
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Malthus人口模型
按 Malthus "人口論"中假定的人口按幾何級數(shù)增長, 那設
是人類在第 n 年末時的數(shù)目, 若在單位時間內(nèi)人口增長率為
, 那么下一個時間段末人口應該是:
可以得到人口增長呈幾何級數(shù)的結論:
下面我們獲取國內(nèi) 1950 到 1959 年人口數(shù)據(jù), 以此來計算出人口的增長率來.
獲取這 10 年的數(shù)據(jù):
拿到 50 和 59 年的人口數(shù)據(jù):
按此 10 年的數(shù)據(jù)計算出人口增長率為 1.84%:
按此增長率對比從 1950 年到 2014 年預測人口與實際人口差異.
共 65 年:
按公式計算出所有數(shù)據(jù):
獲取真實數(shù)據(jù):
將預測值和真實值繪制出來:
從上圖可以看出計算出的數(shù)字和實際數(shù)字在 1990 年之前都還是相當接近的. 1990 年之后, 一來由于計劃生育國家政策, 所以我國人口增長有所下降, 再者由于 Malthus 模型的指數(shù)函數(shù)性質, 所做預測值會快速上升. 比如計算到 2050 年, 我國將達到 35 億人口, 到那時恐怕擠得地鐵上也有掛票才好.
那顯然 Malthus 模型在預測人口長期發(fā)展必定是不足夠好的, 因為還欠缺了某些重要的因素(資源的限制), 所以還需要進一步修正這個模型, 這也是我們下一次將要看到的 Logistic 人口發(fā)展模型.
上面對于人口增長問題, 或者說更為一般的種群發(fā)展問題, 我們只是考慮了離散按每一年的情況, 但其實更合適的方式是用連續(xù)性模型進行分析. 所以將人口總數(shù) p(t) 看為依賴時間 t 的函數(shù), 這樣就將 Malthus 人口模型列出微分方程:
可以將此解繪制出來:
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Logistic 模型
研究人口(或者更一般的種群問題)模型的目的在于根據(jù)已知過去某個時刻的人口數(shù)量, 來預測未來某個時刻的人口. 而上一次提到的 Malthus 人口模型, 因為模型之中并沒有引入生存資源限制的變量, 所以在荷蘭的 Verhulst 在 1845 年提出了Logisitc 模型(邏輯函數(shù)).
Verhulst 修改模型為:
N(t) 表示 t 時刻人口數(shù);
K 表示整個社會環(huán)境所能承載最大的人口數(shù);
表示約束項, 也就是因為生存資源限制了人口數(shù)量的增長 - 在最初階段
近似為1, 故人口增長速度可以較快上升, 但也因人口的增多, 約束項會變小, 從而抑制人口無限制的增長下去.
我們來觀察下面的模型:
如果人口增長率增高的話, 約束項會迅速減小, 從而抑制人口無限制的增長下去;
初始人口數(shù)目如果大于整個社會環(huán)境所能承載最大的人口數(shù) K 時候, 增長速度為負, 故人口會迅速減少到極限值處;
我們動手用 Wolfram 語言將其解函數(shù)求出來:
或者通過 Wolfram|Alpha 進行公式查詢, 將參數(shù)帶入進行計算:
離散型的模型也可以遞歸表函數(shù)來求解出來:
對于 r 的1000個值，求出從映射
的
和
的迭代：
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混沌模型
類似氣象, 海洋這樣的復雜結構是一個對初始條件極為敏感的系統(tǒng), 最初的微小變化會導致最終結果的很大差異, 即"蝴蝶效應". 美國氣象學家愛德華.羅倫茲給出了這樣富有詩意的表述: "一只蝴蝶在巴西輕拍翅膀,可以導致一個月后德克薩斯州的一場龍卷風" .
在數(shù)學中的意義在于告訴我們, 將非常近似的初始值帶入方程, 只是因為這種非常微小偏差, 但將會引起過程和結果的極大差異.
讓我們從 Logistic 人口模型(種群數(shù)量) 模型來動手驗證上面的說法, 它簡化的形式如下:
,
為種群數(shù) - 在
內(nèi)變化
考慮每個種群數(shù)目下限為 0(滅亡), 也應該會有一個上限的(該種群受到環(huán)境資源限制的最大數(shù)目), 于是將這個范圍映射到 [0,1] 之內(nèi).
如此調(diào)整后的映射稱為Logistic 映射 (logistic map), 相應的迭代公式為:
請注意在
由小變大的不同階段, 整個迭代的過程會出現(xiàn)非常有趣的現(xiàn)象.
當
時候, 由于
趨于
, 所以該物種會逐漸滅亡
當
時候, 任何
中的初始值
最終都會趨于常數(shù)值
當
時候, 無論初值如何,
都會繞著 2 個數(shù)來回持續(xù)振蕩, 也就是最后會是 a,b,a,b,... 的變化:
,
繞著 4 個數(shù)來回持續(xù)的振蕩:
若
再增大一點
,
會在
個值之間持續(xù)震蕩, 當大于
后整個系統(tǒng)就進入到了混沌狀態(tài) - 也就是在最終迭代計算后的值可能在 (0,1) 中的任何位置. (對于有些個別特定
值還有周期性的結果)
我們分別看下情形下的圖像:
當
時候, 由于
趨于
, 所以該物種會逐漸滅亡
當
時候, 任何
中的初始值
最終都會趨于常數(shù)值
當
時候, 無論初值如何,
都會繞著 2 個數(shù)來回持續(xù)振蕩, 也就是最后會是 a,b,a,b,... 的變化:
,
繞著 4 個數(shù)來回持續(xù)的振蕩:
若
再增大一點
,
會在 8, 16, 32,... 個值之間持續(xù)震蕩, 當大于
后整個系統(tǒng)就進入到了混沌狀態(tài) - 也就是在最終迭代計算后的值可能在 (0,1) 中的任何位置. (對于有些個別特定
值還有周期性的結果); 觀察初始值為 3.9 和 3.90001的圖形 - 在開始時窒悔，兩條軌跡似乎是重合的, 但當差異變得越來大, 最終引起過程的極大不同:
下面繪制動態(tài)的圖形:
我們已經(jīng)看到當 α >3.5699 時候, 整個系統(tǒng)已經(jīng)進入到了混沌的狀態(tài). 現(xiàn)在將 x 從 0.75 到 1, α 從 0.8 到 4 之間變化都繪制出來, 如下圖所示:
我們也可以換一種方式來對Logistic 映射 x(n+1)= α x(n) 做可視化. 以 x(n)為 x 軸坐標, x(n+1)作為 y 軸. 任取 (0,1) 中的 x0 作為初始值, 將迭代過程中數(shù)值序列通過下面方式連接起來形成的直線. 這種圖形有些蜘蛛網(wǎng)類似, 所以稱之為"蛛網(wǎng)迭代".
在 1< α <3 之內(nèi), 從 (0,1) 出發(fā)的 x0 的軌道都會趨向一個不動點:
當然可以制作成動態(tài)模型來看, 整個 α 從 2.8 到 4 變化, 這種蛛網(wǎng)在超過3.57的大部分 α 值可看出其混沌的特性.
我想這篇文章就到此打住, 因為筆者知識有限, 所以也只是關于這個話題用 Wolfram語言做了非常膚淺的介紹, 希望各位朋友對這個話題有了一點思想基礎和初步認識, 如果想要理解混沌的內(nèi)容, 還需要更多相關的探索.
