常關注『丁點幫你』微信公眾號的小伙伴們應該都比較熟悉最近推出的『每日丁點』統(tǒng)計知識系列宝与，我們希望每天給大家呈現精煉又便于理解的知識總結焚廊。
目前冶匹，已有10篇入門級知識點的講解短文與大家見面了，這些知識點也是后續(xù)學習和實操中必不可少的理論基礎咆瘟。今天我們就來一起回顧一下嚼隘，看看每天進步一丁點之后，你的收獲吧袒餐！
1. 為什么要學統(tǒng)計嗓蘑？
按照教科書的定義，統(tǒng)計學（statistics）是一門關于數據的科學匿乃，它包括收集、分析豌汇、解釋和表達數據幢炸，目的是獲得可靠的結論。為什么要學統(tǒng)計拒贱？因為個體之間存在變異宛徊，也就是個體間的差異。比如逻澳，一個班每個學生的身高闸天、兩種藥物的療效等幾乎都不可能完全相同的，一定會有“差異”斜做。如果世間萬物都完全一致（比如克隆人）苞氮，那么個體之間就不存在差異（也就是所謂的變異），到那時統(tǒng)計學就毫無用武之地瓤逼，因為我們能以一當十笼吟，甚至以一當所有，不需要抽樣霸旗，不需要求平均贷帮。
變異代表了什么？答案是信息诱告！身高體重的差異撵枢，給了我們誰更高誰更壯的信息；某項生理指標的差異精居，例如血壓锄禽，可以獲得健康與非健康的信息；兩種藥物或治療方法的差異靴姿，獲得了孰優(yōu)孰劣的信息……為了獲取諸如上面所說的信息沟绪，我們開始收集和分析數據，再對結果進行解釋和表達空猜，最終得出誰更高绽慈、誰更壯恨旱、有多少人更健康、哪種藥更好的結論坝疼。
2. 數據是統(tǒng)計的基礎搜贤，變量是數據的基礎。
原文：每日丁點|定量和定性變量钝凶、連續(xù)和離散變量仪芒，到底怎么分？
3. 頻數表和直方圖
制作頻數分布表和直方圖的目的是為了快速了解數據的分布情況耕陷。所謂分布掂名，簡單理解就是想知道，數據會主要集中在哪兒哟沫。無論什么資料饺蔑，刨除它的單位（如身高、體重等）嗜诀，它們都是一個一個的數字猾警，那么從數軸上看，這些數字會處在在哪些地方呢隆敢？比如身高的數據发皿，如果以米為單位，根據常識可以猜測拂蝎，它會大概集中在1.5-1.8這個區(qū)間內穴墅。也就是說，雖然每個人的身高不完全相同温自，但身高的數據卻是有規(guī)律的封救，如何發(fā)現這種規(guī)律，第一步就是畫出它的頻數分布表和直方圖捣作。
制作頻數分布表的步驟如下：（1）找出最小值和最大值誉结。（2）計算全距 (range，R) ：也就是最大值與最小值之差券躁。（3）確定組距：相鄰兩組之間的距離惩坑，組距=全距/組段數，通常組段數取8~12組也拜。（4）確定組段的上以舒、下限：每個組段的起點為下限(lower limit)，終點為上限(upper limit)慢哈。每個組段均包含組段的下限值蔓钟，最后一組的組段寫出上限值。（5）列表整理：計算頻數卵贱、頻率滥沫、累計頻數及累計頻率侣集。頻數分布直方圖的以橫軸為得分、縱軸為頻數兰绣；然后在橫軸上標出各個組段（比如40-50）世分，用直條的高度表示各組段的頻數（也可以用“頻率”），頻數越大則直條越高缀辩。由此可見臭埋，制作直方圖就是了解數據的第一步，化繁為簡臀玄，將具體的數值轉換為一個個組段區(qū)間瓢阴，從而對數據的情況有一個大致的了解。
4. 集中趨勢和離散趨勢
前文我們談到健无，拿到整理好的數據的第一步是制作頻數表和直方圖荣恐，從中我們可以大概知道數據的分布情況，也就是說睬涧，能看出大多數的數會集中在哪兒。
這在統(tǒng)計學中稱作集中趨勢（central tendency）旗唁，我的理解就是“數據往哪里集中”畦浓。
教科書的定義是“指某一組數據向某一中心值靠攏的趨勢，反映了一組數據中心點的位置检疫，也是頻數分布表和直方圖中高峰所在的位置讶请，即頻數最大的組段”。
為什么數據會表現出集中趨勢呢屎媳？因為具有“同質性”夺溢。從字面上可以直接理解為調查對象具有相同點。這些共同點使得個體對某項事物的感知（比如生命質量）有趨同的作用烛谊，反映在數據上就表現為“集中趨勢”风响。
與集中趨勢相對應的另一個特征是“離散趨勢”。大部分數據雖然會集中在某個區(qū)間丹禀，但并不是所有數據都這樣集中状勤。從某數據的“集中位置”往左右兩邊延伸，距離越遠双泪，數據與集中位置的差異就越大持搜，由此，統(tǒng)計學上就把數據偏離集中位置的程度稱作離散趨勢（dispersion tendency）焙矛。
為什么會有離散趨勢呢葫盼？答案是存在變異。大家雖然有很多共同點村斟，但畢竟不是一個模子刻出來的贫导，在某些地方存在差異抛猫，比如性格溫和還是急躁、生活態(tài)度樂觀還是悲觀等脱盲。
5. 集中趨勢的數字表達：均數和中位數
前文我們講解了數據的集中趨勢和離散趨勢邑滨，而均數和中位數就是描述數據集中趨勢的最常用的指標，也稱“位置測量指標”钱反，因為它們量化的是數據的集中位置（center）掖看，表示大多數觀測值所在的中心。
大家平常最熟悉的均數面哥，全稱叫“算術均數 (arithmetic mean)”計算方法自然不用多講哎壳，但需指出的是根據數據資料的形式，均數一般有兩種算法：除了把所有的觀測值加和再取平均以外尚卫，還可以根據頻數分布表归榕，用各組的組中值乘以頻數來計算，比如得分在40~組的頻數為25吱涉，則可以直接用組中值45乘以25得出刹泄。當然，這是一種近似算法怎爵，在可以獲得原始的個體數據時特石，還是應基于個體的數據用加和平均來算。均數不能用于偏態(tài)分布的根本原因是它對于特別大或特別小的觀測值十分敏感鳖链，尤其是樣本量較小的情況下姆蘸，均數其實難以代表總體情況。因此芙委，我們在拿到數據后的第一步不是算平均數逞敷，而是畫頻數表和直方圖，直觀地看看原始數據的面貌灌侣。由此推捐，我們來看看描述集中趨勢的第二個指標——中位數（M），可以說它的出現和使用就是用來彌補上述均數的這種缺陷的侧啼。要計算中位數很簡單玖姑，將所有的數據從小到大排列，處于正中間位置的數就是中位數慨菱。所以在一組數據中焰络，有一半的數據比它大，另一半比它小符喝。不過這些需要注意的是闪彼，當樣本量n為奇數時，中位數就是最中間那個數，即第(n+1)/2畏腕；而當樣本量為偶數時缴川，則中位數是中間兩個數的平均數，即第n/2和第n/2 + 1個觀測值的均數描馅，注意不是第n/2 - 1把夸。與均數相比，中位數還是存在明顯不足的：1铭污、中位數沒有考慮大部分觀測值的大小恋日，僅僅納入一個或兩個數據，而均數的計算充分利用了全部數據的信息嘹狞；2岂膳、兩組數據合并時，合并后的中位數不能用原來兩組的中位數表達磅网，而均數可以通過相應的公式來計算得到新合并數據的平均谈截；3、均數可以通過去掉極端數值進行修正（比如所謂的截尾均數）涧偷，而中位數無法進行這樣的修正簸喂，同時，當樣本量較大時燎潮，極端值對均數的影響會減弱喻鳄。因此，相比中位數跟啤，均數使用更加廣泛诽表。 通過比較中位數和均數的大小唉锌，可以幫助我們粗略判斷數據的分布類型隅肥。具體而言，當數據呈對稱分布時袄简，均數和中位數接近腥放；而當數據呈右偏態(tài)分布（即右邊有個長尾巴）時，均數大于中位數绿语；左偏態(tài)分布（尾巴在左）秃症，均數小于中位數。
6. 集中趨勢的數字表達：幾何平均數
與前文講的算數平均數和中位數一樣种柑，幾何均數也是描述數據集中趨勢的指標之一，幾何均數（geometric mean, G）是n個觀測數據乘積的n次方根匹耕，常用于描述存在少數偏大的極端值的正偏態(tài)分布或觀測值之間呈倍數關系或近似倍數關系數據的集中位置聚请。原文：每日丁點 | 你還記得幾何平均數嗎？
7. 百分位數
我們對四分位數間距很熟悉，四分位數間距就是通過百分位數計算出來的驶赏，這一點我們后文再詳述炸卑。除了四分位數間距，大家熟知的中位數也是一個百分位數煤傍，稱第50百分位數（P50）盖文。
關于百分位數（Percentile, Px），教科書的定義是蚯姆，是指將所有n個觀測值從小到大排列后五续，對應于x%位的那個數字。
比如由1~100的所有正整數組成的一個數據（n=100）蒋失，那么這個數據的第50百分位數就是50返帕，第10百分位數就是10，第80百分位數就是80篙挽。
也就是說荆萤，從理論上講，計算百分位數（Px）實際上只需將數據進行一個排序铣卡，然后數數就可以链韭。一個百分位數Px將一組數據分成兩部分，有x%的數小于等于它煮落，（100-x）%的數大于它敞峭。
不過，在現實情況中蝉仇，我們有時找不到正好有x%的觀測值小于或等于它旋讹，此時，百分位數Px的計算通常只能采用最為接近的一個數轿衔。
8. 離散趨勢的數字表達
在這個系列文章的開篇沉迹，我們就討論過統(tǒng)計學研究的核心問題：變異，簡單理解就是差異害驹。那么什么叫變異大鞭呕、什么叫變異小呢？
變異程度宛官，也可以理解為離散趨勢葫松，與離散趨勢相對應的是我們前文講解的集中趨勢，我們知道集中趨勢的主要指標是均數和中位數底洗，而結合我們今天要講解的離散趨勢的描述指標腋么，我們就能夠全面地把握數據的分布特征。
為什么完整描述數據的分布特征就需要加入離散趨勢亥揖，即變異程度呢珊擂？看看下面這個例子：
有A、B、C三組兒童的身高（cm）未玻，A組：92灾而，96，100扳剿，104旁趟，108；B組：96庇绽，97锡搜，100，103瞧掺，104耕餐；C組：96，99辟狈，100肠缔，101，104哼转。
這三組兒童的平均身高都為100cm明未。但是僅根據它們的平均數相等，我們不能說這三組兒童的身高分布就是一致的：
下圖可以一目了然地發(fā)現A組兒童身高的差異程度最大（即數據最離散）壹蔓，其次是B組趟妥，而C組兒童身高差異程度最小，數據都很接近佣蓉。
雖然這里數據量很小披摄，但三組兒童身高在變異程度上如此顯著的差異似乎提示著某些信息，從而可以引領我們進一步探索勇凭。
回到今天的主題——變異程度（離散趨勢）的定量描述指標疚膊。
1. 極差
首先，最簡單的指標是極差（range, R）套像，也稱全距酿联，是一組數據中最大值與最小值的差值终息，極差越大說明數據的變異程度越大夺巩，即數據越離散。極差一般可用來反映傳染病周崭、食物中毒的最短和最長潛伏期等柳譬。
很明顯，極差是一個比較粗略的指標续镇，它僅用到最大值和最小值的信息美澳，不能反映組內其他數據的變異情況。另外，極差與樣本例數有關制跟。一般地舅桩，樣本量越大，得到較大或較小變量值的可能性越大雨膨，極差就可能越大擂涛，故樣本量相差較大時，不宜采用極差進行比較聊记。
2. 方差或標準差
最常見的指標是方差或標準差撒妈，前者是后者的平方。
方差的具體計算我們不需要再多講排监，不過關于樣本方差為什么除以（n-1）狰右，我們平臺之前發(fā)過文章解釋，大家可以參考：計算樣本方差時為什么是除以（n-1）舆床？棋蚌。
方差或者標準差越大說明數據越離散、變異程度越大挨队。
3. 四分位數間距
另一個常見的指標是四分位數間距（inter-quartile range, IQR）附鸽，它是根據百分位數計算出來的，計算公式是IQR = P75 - P25瞒瘸，即第75百分位數與第25百分位數的差坷备。
這兩個百分位數與中位數，即P50情臭，將一組數據分成四等分省撑，因此這三個百分位數稱為四分位數（quartile），可分別記為Q1俯在、Q2竟秫、Q3。
Q1和Q3分別稱為下四分位數（P25）和上四分位數（P75）跷乐。
與極差相比肥败，四分位數間距不受兩端極大或極小數據的影響，因此其更加穩(wěn)定愕提。IQR常與中位數一起使用馒稍，綜合反映數據的平均水平和變異程度，寫成M(P25, P75)浅侨。
4. 變異系數
除了上述三個指標外纽谒，當我們希望比較兩組數據的變異程度時劲厌，還可以使用變異系數（CV）耍目。
當兩組數據的測量尺度相差太大丐巫，比如希望比較螞蟻和大象的體重變異，直接用標準差顯然是不合理的锌半；另外柑营，如果兩組數據單位（量綱）不同烁竭，例如希望比較身高和體重的變異源梭，兩者的量綱分別是米和千克，直接使用標準差來進行比較也不合適：3米和4千克缎谷，究竟誰更大呢刷晋？
由此，我們將樣本標準差除以樣本均數慎陵，得到變異系數（CV）眼虱，它沒有單位，同時又按照其均數大小進行了標準化席纽，所以可以進行客觀的比較捏悬。
變異系數的值越大，表示數據的變異程度越大润梯。
5. 集中趨勢和離散程度指標總結
9. 箱式圖
學習完描述數據集中趨勢和離散趨勢的各種指標后过牙，如何用恰當的圖形呈現它們便成了一個重要問題。而今天要談的箱式圖就是來解決這個問題的纺铭。
箱式圖寇钉，有時也稱箱線圖，因為中間包含一個箱子樣的長方形舶赔，兩端有兩根細線扫倡，故稱之。
箱子中間的橫線為中位數竟纳、箱體的下端和上端分別是Q1和Q3的位置撵溃，由此，箱體的高度則代表四分位數間距锥累，所以缘挑，箱體越高表示數據的變異程度越大。
相比直方圖可展示原始數據的大體分布形態(tài)桶略，箱式圖表達的信息其實也很全面语淘，它能簡潔地呈現數據平均水平和變異程度，是探索性分析中最常用的圖形工具际歼。實際應用中惶翻，往往將幾組數據的箱式圖繪在一起，便于組間比較蹬挺。
一般而言维贺，箱式圖主要呈現5個匯總的統(tǒng)計指標它掂，包括一組數據的最小值巴帮、下四分位數溯泣、中位數、上四分位數榕茧、最大值垃沦。但是，我們?yōu)榱撕w更全面的信息用押，故常將均數也體現在圖中肢簿。
如下圖： 該圖繪制了兩個箱式圖，分布代表正常居民中和患有慢性鼻竇炎的患者的精力評分蜻拨，如圖池充，在箱體中間還標出了均數，用菱形表示缎讼；以及離群值收夸，用小空心圓表示。
此時需注意豎線下端和上端表示的不再是整個數據最大值和最小值血崭，嚴格來說卧惜，應該稱為上限和下限。上限是非異常范圍內的最大值夹纫，計算公式是 Q3 + 1.5 IQR咽瓷，即第75百分位數加1.5倍的四分位數間距。下限是非異常范圍內的最小值舰讹，等于 Q1 - 1.5 IQR茅姜。在上下限范圍之外的數，稱為”離群值（outliers）“月匣，其與其他數值差異較大匈睁，提示數據收集過程可能有誤。
10. 怎么判斷數據是否有誤
統(tǒng)計學是關于數據的科學桶错，因此航唆，準確地獲取數據，保證數據質量也是非常重要的問題院刁。下面糯钙，我們就來簡單談談對于數據進行邏輯核查的幾種常用策略以及離群值的判斷和處理。
一退腥、邏輯核查的7種策略
1. 檢查變量存儲類型
在軟件中任岸，變量分為數值型變量、字符型變量等（這里與統(tǒng)計學中對變量的分類相區(qū)別）狡刘。
一般而言享潜，數值型變量只能包括數字、小數點等嗅蔬，而不能含有字母或文字剑按。
這種有時看似十分低級的錯誤有時可能成為分析過程無法順暢進行的絆腳石疾就，所以，也需要要留意艺蝴。
2. 核查變量值范圍
檢查每個變量的取值范圍猬腰。例如：一個人的體重不能為負數；出生月份應在1~12之間猜敢；某成年男性的身高值低于140cm或者高于210cm也值得懷疑姑荷。
3. 有效值檢查
檢查觀測值是否為事先定義的數值之一。例如：錄入性別時缩擂，事先規(guī)定用1表示男性鼠冕，2表示女性，如果數據中出現其他觀測值則說明有誤胯盯。
4. 一致性檢查
檢查有無前后矛盾供鸠，相關問題的邏輯是否一致。例如陨闹，出院日期早于入院日期楞捂、收縮壓小于舒張壓等就不符合邏輯。
5. 唯一性檢查
在錄入數據時趋厉，一般而言寨闹，每個觀察單位通常都設有一個唯一的標識號，如調查對象編號君账、住院號繁堡、門診號等。
根據標識號檢查是否存在同一個觀察單位的數據兩次重復錄入乡数。
6. 完整性檢查
檢查每一個觀察單位的完整性和整個數據庫的完整性椭蹄。比如，在問卷調查中净赴，往往根據問卷的完成情況定義有效問卷绳矩，比如完成80%即視為有效問卷。
同時玖翅，需要注意每個變量在整個數據文件中的缺失比例翼馆，這是數據質量的一個重要方面。
7. 交叉檢查
不同來源的兩個數據庫中同一內容的信息應該一致金度。通過檢查不同來源的數據的一致性应媚，可快速驗證數據的可信度。
二猜极、離群值的判斷
前文中姜，我們簡單談過離群值的概念。一組數據中如果個別數值與其他數值相比差異較大跟伏，遠遠偏離大多數數據的平均水平丢胚，這樣的數據被稱為離群值（outliers）翩瓜。
對于離群值的探索有時候不能通過上述邏輯核查的方法，由此嗜桌，需要采用相應的統(tǒng)計收到進行核查奥溺。
1. 通過頻數分布表或直方圖初步判斷
如果連續(xù)幾個組段的頻數均0辞色，之后出現特別大或者特別小的數據即可能為離群值骨宠。
2. 利用箱式圖判斷
如果觀測值距箱式圖底線(P25)或頂線(P75)的距離為箱體高度(IQR)1.5倍或以上,則可視為離群值。
其中相满，與箱體距離超過3倍箱體高度,則可視該觀測值為極端離群值或極端值层亿；與箱體距離在1~1.5倍箱體高度的觀測值可稱為可疑離群值；
3. 通過均數和標準差判斷
當數據呈近似正態(tài)分布且樣本量較大時(如n>50)立美，若觀測值在均數±3倍標準差之外則可視為離群值匿又。
4. 結合其他變量信息判斷
比如，根據兒童的身高建蹄，可初步判斷其體重是否過高或者過低碌更。根據身高所建立的體重核查規(guī)則比單純只考慮體重的核查更為有效。
三洞慎、離群值的處理
離群值是否應該直接剔除或者進行調整是一個具有爭議的問題痛单，處理不當可導致分析結果出現偏差。
測量或者記錄過程中出現錯誤而導致離群值劲腿，或者存在明顯的邏輯錯誤旭绒，應予以剔除。
當無明確理由剔除離群值時焦人，可按如下方法處理：
1. 對離群值刪除前后各做一次統(tǒng)計分析挥吵，若前后分析結果矛盾則下結論需謹慎。
2. 采取一些穩(wěn)健分析(robust analysis)的方法：
如采用中位數花椭、進行對數變換（需觀測值大于0忽匈，但注意對數變化可能夸大極小值的影響）；
截尾均數：將數據按從小到大順序排列后矿辽，兩端截掉一定比例的數據后計算余下數據的均數脉幢，大家聽過的“去掉一個最高分、去掉一個最低分”嗦锐，就是典型的例子嫌松。
注：文章有參考奕污，來源為《衛(wèi)生統(tǒng)計學》（人衛(wèi)第八版）
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