注：說人話的統(tǒng)計學系列原連載于協(xié)和八微信公眾號咽安。本文為筆者的學習筆記捍歪，每篇文章標題已加入原文超鏈接反粥。如侵權(quán)請告知。
第3章 t 檢驗：兩組平均數(shù)的比較
01想玩轉(zhuǎn)t檢驗吹由？你得從這一篇看起 | 協(xié)和八
怎樣用樣本來判斷總體的平均值呢若未？
根據(jù)樣本均值與標準值的差距、樣本均值的波動范圍算出兩者的比值倾鲫，然后用這個比值的大小來做判斷
那如何獲得樣本的平均質(zhì)量的波動范圍呢粗合？
樣本平均值的波動是由單個隨機變量的波動和樣本大小所決定的。
如果樣本大小為N乌昔，樣本平均值的波動（標準差）等于總體波動（標準差）除以根號N隙疚。
檢驗統(tǒng)計量 (test statistic)
標準化了的樣本與總體均值的差距
樣本均值記為X拔，總體均值記為μ0磕道，總體的標準差為σ供屉，樣本大小為N，這個比值就是檢驗統(tǒng)計量
任意一個正態(tài)分布可以由兩個參數(shù)確定，一個是它的均值（也叫位置參數(shù)）μ伶丐，決定它在數(shù)軸上的什么方位悼做；一個是其標準差（也叫形狀參數(shù)）σ，決定它的胖瘦撵割。因此贿堰，我們把正態(tài)分布記為N( μ, σ)。
令統(tǒng)計量
則z服從標準正態(tài)分布N(0,1)啡彬。
當樣本量N足夠大時羹与，S會非常接近σ，t也會很接近標準正態(tài)分布庶灿。但是當N比較小時纵搁，樣本方差往往會小于總體方差，比如在只有一個樣本的極端情況下往踢，樣本方差必然是0腾誉，這顯然比總體方差要小了。
由于這個原因峻呕，N比較小時利职，t的分布就會偏離正態(tài)分布。統(tǒng)計學家發(fā)現(xiàn)瘦癌，在總體服從正態(tài)分布的前提下猪贪，t會服從另外一種分布，稱為學生t分布讯私。
在用t檢驗時热押，增加樣本的數(shù)量是提高統(tǒng)計顯著性的有效手段。
「學生」是發(fā)現(xiàn)這個分布的數(shù)學家戈塞特（Gosset）的筆名斤寇，他于1908年在一個叫Biometrika的雜志上桶癣，發(fā)表了關于t分布的文章，當時就是用的這個筆名娘锁。為什么發(fā)文章要用筆名呢牙寞？因為當時Gosset在Guiness啤酒廠（是的你沒有看錯，就是那個現(xiàn)在還存在的健力士牌黑啤酒）工作莫秆，為了檢測啤酒質(zhì)量而發(fā)明了t分布碎税。可是馏锡，公司不允許員工公開發(fā)表研究成果，于是戈塞特才被迫用筆名發(fā)表了文章伟端。
02 就是要實用杯道！t 檢驗的七十二變 | 協(xié)和八
單樣本t檢驗
在總體服從正態(tài)分布的前提下，統(tǒng)計量 t 服從一個類似于正態(tài)分布的概率分布——t 分布。對于任意的 t 值党巾，我們可以根據(jù) t 分布的性質(zhì)（我們在上一集的末尾提到萎庭，它其實還與樣本量 N 有關）算出對應的「與樣本相同或更極端」的概率，這就是我們所說的 p 值了齿拂。
這個例子所使用的 t 檢驗驳规，是將樣本的平均值與某個特定的標準值相比較，稱為單樣本 t 檢驗（one sample t test）
單側(cè)檢驗p 值就是 t 分布下由數(shù)據(jù)所得的 t 值左邊的曲線下的面積了署海。
由于 t 分布是對稱的吗购，因此對于同樣的樣本而言，雙側(cè)檢驗對應的 p 值將會是單側(cè)檢驗的兩倍砸狞。
成對樣本t檢驗
要比較兩個平均值的差別捻勉，而不是一個平均值和已知標準值的差別。這時刀森，我們要使用的統(tǒng)計檢驗被稱作「成對樣本的t檢驗」（paired samples t test）踱启。
這里兩個樣本中的每個數(shù)據(jù)點都是一一對應的
成對樣本的 t 檢驗最常見于同一組實驗對象兩個時間點（比如說干預前后）之間的比較。
獨立樣本的 t 檢驗
獨立樣本的 t 檢驗（independentsamples t test）研底。顧名思義埠偿，它用于比較來自兩個獨立的樣本的均值。
而這兩個樣本可能來源于兩個不同的分布榜晦，因此在確定 t 統(tǒng)計量的分母時冠蒋，我們需要考慮兩個樣本所來自的分布是否有相同的發(fā)散程度（即方差）。因此芽隆，在我們使用獨立樣本的 t 檢驗之前浊服，需要先進行另外一個檢驗，查看兩個樣本各自來自的分布方差是否相等胚吁，進而對 t 統(tǒng)計量以及有效的樣本量（稱為「自由度」）進行不同的處理或修正
使用Levene 氏檢驗 （Levene’s test）分析兩個分布方差是否相等牙躺，并分類為
方差相等的獨立樣本的 t 檢驗
方差不相等的獨立樣本的 t 檢驗
t檢驗不能做什么
- 不能用于非連續(xù)變量的比較
- 不能用于超過兩組變量之間均值的比較
- 即便是連續(xù)型變量，如果不服從正態(tài)分布腕扶，也不能用 t 檢驗
03 不是正態(tài)分布孽拷，t 檢驗還能用嗎？| 協(xié)和八
總體的分布
樣本的分布
抽樣分布
樣本平均值（或者樣本的其他統(tǒng)計量半抱，如標準差等）因為抽樣隨機性產(chǎn)生的分布脓恕，稱為抽樣分布
當樣本量足夠大時，抽樣分布的正態(tài)性就會比較好窿侈，t 檢驗計算出的 p 值從而比較準確炼幔。
定性的判斷樣本數(shù)據(jù)的分布情況
頻率直方圖
為了將數(shù)據(jù)的分布和正態(tài)分布做比較，我們需要一個參考正態(tài)分布史简，具有與待測樣本相同的均值和方差乃秀，然后通過對比這兩個分布的形狀來判斷手上的數(shù)據(jù)是不是接近正態(tài)分布
q-q 圖
q 代表的是 quantile（分位數(shù)）
當我們有 n 個數(shù)據(jù)點時，我們可以計算機模擬出正態(tài)分布對應的 n 分位數(shù)（此為第一 q，對應 x 軸坐標）跺讯；同時枢贿，我們將數(shù)據(jù)從小到大排列，就可以得到數(shù)據(jù)的 n 分位數(shù)（此為第二 q刀脏，對應 y 軸坐標）局荚。這樣我們就能得到一個 q-q 圖
q-q 圖不僅可以用來判斷數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布，也可以用來判斷數(shù)據(jù)是否符合其它分布愈污，只要用待檢測的分布計算出對應的分位數(shù)作為 x 軸坐標即可
q-q 圖還可以判斷兩組數(shù)據(jù)是否來自同一個分布
定量的判斷樣本數(shù)據(jù)的分布情況
夏皮羅－威爾克檢驗（Shapiro-Wilk test）
科爾莫戈羅夫－斯米爾諾夫檢驗（Kolmogorov-Smirnov test）
總結(jié)
- 由于中心極限定理耀态，只要數(shù)據(jù)量比較大（究竟多大算大，取決于原來總體分布的情況）钙畔，即使原數(shù)據(jù)有點偏離正態(tài)分布茫陆，使用 t 檢驗也不會有大問題
- 「頻率分布圖」和「 q-q 圖」是判斷數(shù)據(jù)分布情況的好方法
- 真實世界的數(shù)據(jù)不可能完完全全地符合正態(tài)分布，數(shù)據(jù)量比較大時擎析，使用統(tǒng)計檢驗的方法判斷正態(tài)性傾向于判為非正態(tài)
- 統(tǒng)計既是科學簿盅，也是藝術，當大家多理解了其背后科學原理揍魂，就可以根據(jù)實際情況桨醋，藝術地處理數(shù)據(jù)
04 只有15個標本，也能指望 t 檢驗嗎现斋？| 協(xié)和八
有些書認為喜最，當樣本量為 15 以上時就可以用 t 檢驗了
十幾個數(shù)據(jù)點用 t 檢驗靠譜兒嗎？
取決于我們的抽樣分布在從樣本量為 1 一路增長到正無窮時庄蹋，逼近正態(tài)分布的速度
抽樣分布趨向正態(tài)分布的速度由什么來決定瞬内？
那就是總體分布的形狀
感性地來說，總體分布與正態(tài)分布越相近（連續(xù)限书、對稱）虫蝶，抽樣分布能近似為正態(tài)分布所需的樣本量也就越小
如果我們手上的樣本量不足以保證抽樣分布的正態(tài)性該怎么辦？
既然總體分布越接近正態(tài)分布倦西，抽樣分布趨近正態(tài)分布的速度就越快能真，那么一個解決方案便是對數(shù)據(jù)進行某種轉(zhuǎn)化，使總體分布向正態(tài)分布靠攏扰柠，從而加快抽樣分布逼近正態(tài)分布的速度
05 樣本分布不正態(tài)粉铐？數(shù)據(jù)變換來救場！| 協(xié)和八
增加樣本量
中心極限定理說了卤档，只要樣本量越來越大蝙泼，甭管那總體分布原來長啥樣兒，抽樣分布遲早都會變成正態(tài)分布
使用其他檢驗方法
先對數(shù)據(jù)做一下變換劝枣，再進行t檢驗
對原數(shù)據(jù)進行函數(shù)變換
保證次序不變：此函數(shù)必須是單調(diào)的
對右偏數(shù)據(jù)變換
右偏（right-skewed）
正偏態(tài)（positive skewness）
例子：人均收入
對數(shù)函數(shù) 和平方根函數(shù)
對左偏數(shù)據(jù)變換
例子：死亡年齡
取鏡像踱承，再用上述方法
或者使用指數(shù)函數(shù)
數(shù)據(jù)變換的局限性
并不能解決所有非正態(tài)性的問題
對數(shù)據(jù)進行變換后倡缠，重新進行原來計劃的統(tǒng)計檢驗，其意義會發(fā)生變化
特例：對數(shù)變換 幾何平均數(shù)（geometric mean）
06 數(shù)據(jù)變換的萬能鑰匙：Box-Cox變換 | 協(xié)和八
Box-Cox 變換
自動尋找「最佳」變換函數(shù)的方法
要確定一個正態(tài)分布茎活，只需要兩個參數(shù)，一是均值（確定分布所在的位置）琢唾，二是標準差（確定分布的形狀有多寬）载荔。
要找到使變換后樣本正態(tài)性最好的那個 λ，我們只需在所有的 λ 里找出使得正態(tài)假設下似然函數(shù)最大的那一個采桃。
找 λ 這樣的臟活累活交給計算機來干就好了懒熙，現(xiàn)在許多數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計軟件都已實現(xiàn)了一鍵式 Box-Cox 變換的操作。
