小數(shù)計算為什么會出錯膝晾？
簡要答案
實際上栓始，不是運算本身會出錯，而是計算機根本就不能精確的表示很多數(shù)血当，比如0.1這個數(shù)幻赚。
計算機是用一種二進制格式存儲小數(shù)的，這個二進制格式不能精確表示0.1臊旭，它只能表示一個非常接近0.1但又不等于0.1的一個數(shù)落恼。
數(shù)字都不能精確表示，在不精確數(shù)字上的運算結(jié)果不精確也就不足為奇了离熏。
0.1怎么會不能精確表示呢佳谦？在十進制的世界里是可以的，但在二進制的世界里不行滋戳。在說二進制之前钻蔑，我們先來看下熟悉的十進制。
實際上奸鸯，十進制也只能表示那些可以表述為10的多少次方和的數(shù)咪笑，比如12.345，實際上表示的：110+21+30.1+40.01+5*0.001娄涩，與整數(shù)的表示類似窗怒，小數(shù)點后面的每個位置也都有一個位權(quán)，從左到右蓄拣，依次為 0.1,0.01,0.001,...即10^(-1), 10^(-2), 10^(-3)扬虚。
很多數(shù)，十進制也是不能精確表示的球恤，比如1/3, 保留三位小數(shù)的話辜昵，十進制表示是0.333，但無論后面保留多少位小數(shù)咽斧，都是不精確的路鹰，用0.333進行運算贷洲，比如乘以3，期望結(jié)果是1晋柱，但實際上卻是0.999优构。
二進制是類似的，但二進制只能表示哪些可以表述為2的多少次方和的數(shù)雁竞，來看下2的次方的一些例子：
可以精確表示為2的某次方之和的數(shù)可以精確表示钦椭，其他數(shù)則不能精確表示。
為什么一定要用二進制呢碑诉？
為什么就不能用我們熟悉的十進制呢彪腔？在最最底層，計算機使用的電子元器件只能表示兩個狀態(tài)进栽，通常是低壓和高壓德挣，對應(yīng)0和1，使用二進制容易基于這些電子器件構(gòu)建硬件設(shè)備和進行運算快毛。如果非要使用十進制格嗅，則這些硬件就會復(fù)雜很多，并且效率低下唠帝。
為什么有的小數(shù)計算是準(zhǔn)確的
如果你編寫程序進行試驗屯掖，你會發(fā)現(xiàn)有的計算結(jié)果是準(zhǔn)確的。比如襟衰，我用Java寫：
System.out.println(0.1f+0.1f);
System.out.println(0.1f*0.1f);
第一行輸出0.2贴铜，第二行輸出0.010000001。按照上面的說法瀑晒，第一行的結(jié)果應(yīng)該也不對吧馨印？
其實苔悦，這只是Java語言給我們造成的假象轩褐，計算結(jié)果其實也是不精確的，但是由于結(jié)果和0.2足夠接近间坐，在輸出的時候，Java選擇了輸出0.2這個看上去非常精簡的數(shù)字邑退，而不是一個中間有很多0的小數(shù)竹宋。
在誤差足夠小的時候，結(jié)果看上去是精確的地技，但不精確其實才是常態(tài)蜈七。
怎么處理計算不精確
計算不精確，怎么辦呢莫矗？大部分情況下飒硅，我們不需要那么高的精度砂缩，可以四舍五入，或者在輸出的時候只保留固定個數(shù)的小數(shù)位三娩。
如果真的需要比較高的精度庵芭，一種方法是將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)進行運算，運算結(jié)束后再轉(zhuǎn)化為小數(shù)雀监，另外的方法一般是使用十進制的數(shù)據(jù)類型双吆，這個沒有統(tǒng)一的規(guī)范，在Java中是BigDecimal会前，運算更準(zhǔn)確好乐，但效率比較低，本節(jié)就不詳細說了瓦宜。
二進制表示
我們之前一直在用"小數(shù)"這個詞表示float和double類型蔚万，其實，這是不嚴謹?shù)模?小數(shù)"是在數(shù)學(xué)中用的詞临庇，在計算機中反璃，我們一般說的是"浮點數(shù)"。float和double被稱為浮點數(shù)據(jù)類型苔巨，小數(shù)運算被稱為浮點運算版扩。
為什么要叫浮點數(shù)呢？這是由于小數(shù)的二進制表示中侄泽，表示那個小數(shù)點的時候礁芦，點不是固定的，而是浮動的悼尾。
我們還是用10進制類比柿扣，10進制有科學(xué)表示法，比如123.45這個數(shù)闺魏，直接這么寫未状，就是固定表示法，如果用科學(xué)表示法析桥，在小數(shù)點前只保留一位數(shù)字司草，可以寫為1.2345E2即1.2345*(10^2)，即在科學(xué)表示法中泡仗，小數(shù)點向左浮動了兩位埋虹。
二進制中為表示小數(shù)，也采用類似的科學(xué)表示法娩怎，形如 m*(2^e)搔课。m稱為尾數(shù)，e稱為指數(shù)截亦。指數(shù)可以為真爬泥，也可以為負柬讨，負的指數(shù)表示哪些接近0的比較小的數(shù)。在二進制中袍啡，單獨表示尾數(shù)部分和指數(shù)部分踩官，另外還有一個符號位表示正負。
幾乎所有的硬件和編程語言表示小數(shù)的二進制格式都是一樣的葬馋，這種格式是一個標(biāo)準(zhǔn)卖鲤，叫做IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，它定義了兩種格式畴嘶，一種是32位的蛋逾，對應(yīng)于Java的float，另一種是64位的窗悯，對應(yīng)于Java的double区匣。
32位格式中，1位表示符號蒋院，23位表示尾數(shù)亏钩，8位表示指數(shù)。64位格式中欺旧，1位表示符號姑丑，52位表示尾數(shù)，11位表示指數(shù)辞友。
在兩種格式中栅哀，除了表示正常的數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)還規(guī)定了一些特殊的二進制形式表示一些特殊的值称龙，比如負無窮留拾，正無窮，0鲫尊，NaN (非數(shù)值痴柔，比如0乘以無窮大)。
IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)有一些復(fù)雜的細節(jié)疫向，初次看上去難以理解咳蔚，對于日常應(yīng)用也不常用，本文就不介紹了搔驼。
如果你想查看浮點數(shù)的具體二進制形式移斩，在Java中寝优，可以使用如下代碼：
Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(value))
Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(value));
寫在最后
都看到這里酒甸，保存思維導(dǎo)圖礁叔，順便給個贊唄
