機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

本節(jié)總結(jié)了本書中涉及到的有關(guān)線性代數(shù)、微分和概率的基礎(chǔ)知識(shí)增炭。為避免贅述本書未涉及的數(shù)學(xué)背景知識(shí)，本節(jié)中的少數(shù)定義稍有簡化拧晕。

線性代數(shù)

以下分別概括了向量隙姿、矩陣、運(yùn)算厂捞、范數(shù)输玷、特征向量和特征值的概念。

向量

本書中的向量指的是列向量靡馁。一個(gè) $n$ 維向量 $\boldsymbol{x}$ 的表達(dá)式可寫成

$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix},$

其中 $x_1, \ldots, x_n$ 是向量的元素欲鹏。我們將各元素均為實(shí)數(shù)的 $n$ 維向量 $\boldsymbol{x}$ 記作 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 或 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ 。

矩陣

一個(gè) $m$ 行 $n$ 列矩陣的表達(dá)式可寫成

$\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{bmatrix},$

其中 $x_{ij}$ 是矩陣 $\boldsymbol{X}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素（ $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ ）臭墨。我們將各元素均為實(shí)數(shù)的 $m$ 行 $n$ 列矩陣 $\boldsymbol{X}$ 記作 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 赔嚎。不難發(fā)現(xiàn)，向量是特殊的矩陣胧弛。

運(yùn)算

設(shè) $n$ 維向量 $\boldsymbol{a}$ 中的元素為 $a_1, \ldots, a_n$ 尽狠， $n$ 維向量 $\boldsymbol$ 中的元素為 $b_1, \ldots, b_n$ 叶圃。向量 $\boldsymbol{a}$ 與 $\boldsymbol$ 的點(diǎn)乘（內(nèi)積）是一個(gè)標(biāo)量：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol践图 = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n.$

設(shè)兩個(gè) $m$ 行 $n$ 列矩陣

$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix}.$

矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的轉(zhuǎn)置是一個(gè) $n$ 行 $m$ 列矩陣掺冠，它的每一行其實(shí)是原矩陣的每一列：
$\boldsymbol{A}^\top = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}.$

兩個(gè)相同形狀的矩陣的加法實(shí)際上是按元素做加法：

$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}.$

我們使用符號(hào) $\odot$ 表示兩個(gè)矩陣按元素做乘法的運(yùn)算：

$\boldsymbol{A} \odot \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}.$

定義一個(gè)標(biāo)量 $k$ 。標(biāo)量與矩陣的乘法也是按元素做乘法的運(yùn)算：

$k\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{21} & \dots & ka_{m1} \\ ka_{12} & ka_{22} & \dots & ka_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{1n} & ka_{2n} & \dots & ka_{mn} \end{bmatrix}.$

其它例如標(biāo)量與矩陣按元素相加码党、相除等運(yùn)算與上式中的相乘運(yùn)算類似德崭。矩陣按元素開根號(hào)、取對(duì)數(shù)等運(yùn)算也即對(duì)矩陣每個(gè)元素開根號(hào)揖盘、取對(duì)數(shù)等眉厨，并得到和原矩陣形狀相同的矩陣。

矩陣乘法和按元素的乘法不同兽狭。設(shè) $\boldsymbol{A}$ 為 $m$ 行 $p$ 列的矩陣憾股， $\boldsymbol{B}$ 為 $p$ 行 $n$ 列的矩陣鹿蜀。兩個(gè)矩陣相乘的結(jié)果

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ip} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1j} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2j} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pj} & \dots & b_{pn} \end{bmatrix}$

是一個(gè) $m$ 行 $n$ 列的矩陣，其中第 $i$ 行第 $j$ 列（ $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ ）的元素為

$a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}.$

范數(shù)

設(shè) $n$ 維向量 $\boldsymbol{x}$ 中的元素為 $x_1, \ldots, x_n$ 服球。向量 $\boldsymbol{x}$ 的 $L_p$ 范數(shù)為

$\|\boldsymbol{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}.$

例如茴恰， $\boldsymbol{x}$ 的 $L_1$ 范數(shù)是該向量元素絕對(duì)值的和：

$\|\boldsymbol{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|.$

而 $\boldsymbol{x}$ 的 $L_2$ 范數(shù)是該向量元素平方和的平方根：

$\|\boldsymbol{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$

我們通常用 $\|\boldsymbol{x}\|$ 指代 $\|\boldsymbol{x}\|_2$ 。

設(shè) $\boldsymbol{X}$ 是一個(gè) $m$ 行 $n$ 列矩陣斩熊。矩陣 $\boldsymbol{X}$ 的 Frobenius 范數(shù)為該矩陣元素平方和的平方根：

$\|\boldsymbol{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2},$

其中 $x_{ij}$ 為矩陣 $\boldsymbol{X}$ 在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素往枣。

特征向量和特征值

對(duì)于一個(gè) $n$ 行 $n$ 列的矩陣 $\boldsymbol{A}$ ，假設(shè)有標(biāo)量 $\lambda$ 和非零的 $n$ 維向量 $\boldsymbol{v}$ 使

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v},$

那么 $\boldsymbol{v}$ 是矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的一個(gè)特征向量粉渠，標(biāo)量 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{v}$ 對(duì)應(yīng)的特征值分冈。

微分

我們?cè)谶@里簡要介紹微分的一些基本概念和演算。

導(dǎo)數(shù)和微分

假設(shè)函數(shù) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的輸入和輸出都是標(biāo)量霸株。函數(shù) $f$ 的導(dǎo)數(shù)

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h},$

且假定該極限存在雕沉。給定 $y = f(x)$ ，其中 $x$ 和 $y$ 分別是函數(shù) $f$ 的自變量和因變量淳衙。以下有關(guān)導(dǎo)數(shù)和微分的表達(dá)式等價(jià)：

$f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac2w7e172{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x),$

其中符號(hào) $D$ 和 $d/dx$ 也叫微分運(yùn)算符蘑秽。常見的微分演算有 $DC = 0$ （ $C$ 為常數(shù)）、 $Dx^n = nx^{n-1}$ （ $n$ 為常數(shù)）箫攀、 $De^x = e^x$ 肠牲、 $D\ln(x) = 1/x$ 等。

如果函數(shù) $f$ 和 $g$ 都可導(dǎo)靴跛，設(shè) $C$ 為常數(shù)缀雳，那么

$\begin{aligned} \fracsmgowxn{dx} [Cf(x)] &= C \fracz63fanm{dx} f(x),\\ \frac48v0gfj{dx} [f(x) + g(x)] &= \fraccztg3ic{dx} f(x) + \fracy7pyedj{dx} g(x),\\ \fracsb2jpvx{dx} [f(x)g(x)] &= f(x) \fraccnhwcuy{dx} [g(x)] + g(x) \frac6kk6ldj{dx} [f(x)],\\ \fracl8l2nyq{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] &= \frac{g(x) \frac9xysazk{dx} [f(x)] - f(x) \fracclfntjp{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}. \end{aligned}$

如果 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 都是可導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t梢睛，

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.$

泰勒展開

函數(shù) $f$ 的泰勒展開式是

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,$

其中 $f^{(n)}$ 為函數(shù) $f$ 的 $n$ 階導(dǎo)數(shù)（求 $n$ 次導(dǎo)數(shù)）肥印， $n!$ 為 $n$ 的階乘。假設(shè) $\epsilon$ 是個(gè)足夠小的數(shù)绝葡，如果將上式中 $x$ 和 $a$ 分別替換成 $x+\epsilon$ 和 $x$ 深碱，我們可以得到

$f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2).$

由于 $\epsilon$ 足夠小，上式也可以簡化成

$f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon.$

偏導(dǎo)數(shù)

設(shè) $u$ 為一個(gè)有 $n$ 個(gè)自變量的函數(shù)藏畅， $u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 敷硅，它有關(guān)第 $i$ 個(gè)變量 $x_i$ 的偏導(dǎo)數(shù)為

$\frac{\partial u}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.$

以下有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式等價(jià)：

$\frac{\partial u}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f.$

為了計(jì)算 $\partial u/\partial x_i$ ，我們只需將 $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ 視為常數(shù)并求 $u$ 有關(guān) $x_i$ 的導(dǎo)數(shù)愉阎。

梯度

假設(shè)函數(shù) $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的輸入是一個(gè) $n$ 維向量 $\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$ 绞蹦，輸出是標(biāo)量。函數(shù) $f(\boldsymbol{x})$ 有關(guān) $\boldsymbol{x}$ 的梯度是一個(gè)由 $n$ 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)組成的向量：

$\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top.$

為表示簡潔榜旦，我們有時(shí)用 $\nabla f(\boldsymbol{x})$ 代替 $\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})$ 幽七。

假設(shè) $\boldsymbol{x}$ 是一個(gè)向量，常見的梯度演算包括

$\begin{aligned} \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{A}, \\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{A}, \\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} &= (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^\top)\boldsymbol{x},\\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \|\boldsymbol{x} \|^2 &= \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{x} = 2\boldsymbol{x}. \end{aligned}$

類似地溅呢，假設(shè) $\boldsymbol{X}$ 是一個(gè)矩陣澡屡，那么
$\nabla_{\boldsymbol{X}} \|\boldsymbol{X} \|_F^2 = 2\boldsymbol{X}.$

黑塞矩陣

假設(shè)函數(shù) $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的輸入是一個(gè) $n$ 維向量 $\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$ 猿挚，輸出是標(biāo)量。假定函數(shù) $f$ 所有的二階偏導(dǎo)數(shù)都存在挪蹭， $f$ 的黑塞矩陣 $\boldsymbol{H}$ 是一個(gè) $n$ 行 $n$ 列的矩陣：

$\boldsymbol{H} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix},$

其中二階偏導(dǎo)數(shù)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial }{\partial x_j} \left(\frac{\partial f}{ \partial x_i}\right).$

概率

最后亭饵，我們簡要介紹條件概率、期望和均勻分布梁厉。

條件概率

假設(shè)事件 $A$ 和事件 $B$ 的概率分別為 $\mathbb{P}(A)$ 和 $\mathbb{P}(B)$ 辜羊，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率記作 $\mathbb{P}(A \cap B)$ 或 $\mathbb{P}(A, B)$ 。給定事件 $B$ 词顾，事件 $A$ 的條件概率

$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}.$

也就是說八秃，

$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B \mid A).$

當(dāng)滿足

$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)$

時(shí)，事件 $A$ 和事件 $B$ 相互獨(dú)立肉盹。

期望

隨機(jī)變量 $X$ 的期望（或平均值）

$\mathbb{E}(X) = \sum_{x} x \mathbb{P}(X = x).$

均勻分布

假設(shè)隨機(jī)變量 $X$ 服從 $[a, b]$ 上的均勻分布昔驱，即 $X \sim U(a, b)$ 。隨機(jī)變量 $X$ 取 $a$ 和 $b$ 之間任意一個(gè)數(shù)的概率相等上忍。

練習(xí)

求函數(shù) $f(\boldsymbol{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}$ 的梯度骤肛。

最后編輯于：2018.09.05 10:51:34

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