【概率統(tǒng)計二】大數(shù)定律與中心極限定理

大數(shù)定律與中心極限定理

切比雪夫不等式

P(|X-EX|\geqslant \varepsilon) \leqslant {\sigma^2 \over \varepsilon^2}

大數(shù)定律

定義 依概率收斂 若 \lim\limits_{n\to \infty}P(|X_n- X|\leqslant\varepsilon)=1, 則稱 X_n 依測度收斂于 X, 記作 X_n \overset{P}{\longrightarrow} X

Remark. 依概率收斂的概念來自依測度收斂. 后者的定義是
f_n \longrightarrow f \iff \forall \sigma>0, \lim mE[|f_n-f|\geqslant\sigma]=0
大數(shù)定律的一般形式: 滿足一定條件時, \overline X \overset{P}{\longrightarrow} E(\overline X)

即, 樣本均值 \overline X 依測度收斂于 \overline X 的期望E\overline X.

中心極限定理

中心極限定理的一般形式
\frac{\sum\limits_{i=1}^n{X_i}-E(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})} {\sqrt{D(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})}} \overset{\text {近似}}\sim N(0,1)
即, 當 n 充分大時, n 個隨機變量的和 \sum\limits_{i=1}^n{X_i} 近似服從于正態(tài)分布.

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