第18課行列式及其性質(zhì)

方陣的兩大話題

方陣的行列式
行列式和它的原因

需要行列式的重要原因是求特征值度硝，行列式是跟每個(gè)方陣都有關(guān)的數(shù)

行列式：

記作 $detA$ 或 $|A|$ ,表示矩陣的行列式
矩陣可逆等價(jià)于行列式非零
行列式為零時(shí)，矩陣是奇異的
行列式可以檢驗(yàn)矩陣的可逆性

行列式性質(zhì)：

單位陣的行列式值為1
交換行寿冕，行列式值的符號(hào)會(huì)相反
a蕊程，用一個(gè)數(shù)乘以一行，相當(dāng)于一個(gè)數(shù)乘以整個(gè)行列式
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\rightarrow\begin{vmatrix}ta&tb\\ c&d\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$
b,
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}$
行列式是一個(gè)線性函數(shù)驼唱。第一行表現(xiàn)為線性函數(shù)藻茂，如果基于行都保持不變（每一行的線性性，每一行都單獨(dú)成立）
兩行相等使得行列式為0
從行 $k$ 減去行 $j$ 的 $i$ 倍玫恳，關(guān)鍵是行列式不因此改變

一行不變辨赐，另一行為它們的組合運(yùn)用第三點(diǎn)b條得：
$\begin{vmatrix}a&b\\c-ia&d-ib\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a&b\\-ia&-ib\end{vmatrix}$
運(yùn)用第三點(diǎn)a條得：
$\begin{vmatrix}a&b\\-ia&-ib\end{vmatrix}=-i\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}$
運(yùn)用第4點(diǎn)得：
$-i\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix} = 0$
若有一行是0，那行 $A$ 的行列式就是0
任何數(shù)學(xué)軟件都采用這種上三角形式計(jì)算行列式值(包括 $matlab$ )京办，先消元成三角陣掀序，再把主元相乘
$U=\begin{vmatrix}d_1&\times&\dots&\times\\0&d_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\dots&0&d_n\end{vmatrix} = \underbrace{(d_1)(d_2)\dots(d_n)}_{乘積}$
當(dāng) $A$ 是奇異矩陣時(shí) $|A|=0$ ，當(dāng) $A$ 是非奇異矩陣時(shí) $|A|\neq 0$
$det(AB) =(detA)(detB)$

$(detA)\neq 0;detA^{-1}=\frac{1}{detA}$
$A^{-1}A=I \rightarrow (detA^{-1})(detA)=1$

$A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\ detA^2=(detA)^2\\ det2A=2^ndetA_{n\times n}$
$detA^T = detA$

證明： $|A^T|=|A|$

$A$ 消元得 $LU$ 惭婿，轉(zhuǎn)置得 $U^TL^T$

運(yùn)用性質(zhì)第9條得： $|LU=|L||U|$

先把矩陣化簡(jiǎn)為三角陣不恭，再化簡(jiǎn)到對(duì)角陣，行列式值等于對(duì)角線乘積

最后編輯于：2019.11.02 19:44:34

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