最近回到老家養(yǎng)生，逗逗雞遛遛狗看看小說密任，就沒怎么更新颜启，當然也沒怎么學(xué)習(xí)，不知不覺都一周了……嗯浪讳，這樣確實不太好缰盏，接下來會恢復(fù)更新的頻率，一周兩三篇。由于就我一個人寫口猜，效率也不太高负溪，還請諒解。

由于這幾天沒看消息济炎，微信后臺有個同學(xué)拜托我找書川抡，但超過48小時就無法回復(fù)了，qwq向這位朋友說一聲抱歉须尚，如果看到的話可以直接加我好友~其他想找書的同學(xué)也可以直接加我微信……畢竟如果不是網(wǎng)上可以找到的免費電子書崖堤，全國圖書館聯(lián)盟的書基本都是三元一本，自己付費hhh……淘寶一般收五元一本耐床，想來這兩元就是人工費了……所以不是我要收三塊錢密幔，是人家網(wǎng)站要收三塊錢……

好的，廢話不多說咙咽，今天再講一個評價類模型——模糊綜合評價模型老玛。

事先聲明，我也是第一次接觸這方面知識钧敞，可能無法很好地去解釋原理什么的蜡豹，應(yīng)用的過程我會好好寫的。

（至于上一篇文章說的熵權(quán)法還有一個之前提到的灰色關(guān)聯(lián)分析溉苛，回頭我再補上）

模糊綜合評價模型

簡介

首先來說明以下“模糊數(shù)學(xué)”镜廉，模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)理論和方法。在實際生活中愚战，有許多概念難以用確定性的集合去描述娇唯。例如“年輕”這個概念，是15_{30歲屬于年輕呢寂玲，還是18}25屬于年輕呢塔插？對于這種問題，每個人可能會有不同的看法拓哟，也很難給出精確的范圍想许，我們可以把它理解成一種模糊的概念。

生活中常提到的大與小断序，長與短流纹，美與丑等概念，都是一種模糊的概念违诗。其實還蠻好識別的漱凝，可以問問自己，多大算大诸迟？多小算腥壮础愕乎？多長算長？這種問題感覺有點兒抬杠似的扣典，不過正是因為沒有一個精確的范圍妆毕，我們只能發(fā)出這樣的疑問。與這種模糊概念相對應(yīng)的贮尖，就是確定性概念了笛粘，例如性別，一般而言不是男就是女湿硝，且基本有了準確的劃分依據(jù)薪前；再比如身高，都是180关斜，190這樣的測量結(jié)果示括，也是十分精確，并不會有太大歧義的痢畜。注意垛膝，“身高”是一個確定性概念，而“高”就是一個模糊性概念丁稀，大家自己想一想hhh

模糊數(shù)學(xué)就是用來處理涉及模糊概念的問題吼拥，嘗試使用某種方法將模糊的概念量化，方便進行處理計算线衫。模糊綜合評價凿可，自然就是模糊數(shù)學(xué)在評價類問題的一大應(yīng)用了揣非，也就是處理涉及模糊概念的評價類問題宛琅。

其實也可以發(fā)現(xiàn)了哪工，評價類問題的核心之一奥吩，就是把各種評價指標量化，再去加權(quán)啦求和啦等等阳似，基本都差不太多叨粘，模糊綜合評價模型也是如此晤揣，理解以及實踐起來都不是太難屋确。（此處僅指我接觸到的評價類模型辜腺，太高深的就不曉得了）

模糊集合的分類

一般來說概行，模糊集合主要有三類蠢挡，分別為偏小型，中間型和偏大型凳忙。其實也就類似于TOPSIS方法中的極大型业踏、極小型、中間型消略、區(qū)間型指標堡称，并沒有什么特別的。舉個例子艺演，“年輕”就是一個偏小型的模糊集合却紧，因為歲數(shù)越小，隸屬度越大胎撤，就越“年輕”晓殊；“年老”則是一個偏大型的模糊集合，歲數(shù)越大伤提，隸屬度越大巫俺，越“年老”；而“中年”則是一個中間型集合肿男，歲數(shù)只有處在某個中間的范圍介汹，隸屬度才越大却嗡。總結(jié)來說嘹承，就是考慮“元素”與“隸屬度”的關(guān)系窗价，再類比一下，就是考慮隸屬函數(shù)的單調(diào)性叹卷。下圖可以代表“年輕”撼港、“中年”、“年老”這三個模糊集合的隸屬函數(shù)圖像骤竹，看一下就懂我的意思啦帝牡。

為什么要知道模糊集合的分類呢？因為在模糊綜合評價模型中蒙揣，需要確定相應(yīng)的模糊概念屬于偏大型還是偏小型還是中間型靶溜，之后再采用相應(yīng)的隸屬函數(shù)，才能求出合適的隸屬度鸣奔。再次注意墨技，不管模糊集合是哪一種類型，隸屬度越大挎狸，屬于這個集合的程度也越大扣汪，記住了嗎？

以上只是常見的三種锨匆，其實想一想就知道崭别，應(yīng)該有蠻多形狀的，只要一個元素對應(yīng)一個隸屬度恐锣，且范圍在 $[0,1]$ 之間即可茅主。上述三種只是比較常見的三種，也是評價類問題常涉及的模糊集合類型土榴。

當然啦诀姚，可能還有一些疑問，例如對于“年輕”玷禽，“年老”這種集合赫段，我們把歲數(shù)當成了我們研究的元素，歲數(shù)是可以量化為數(shù)字的矢赁。類似的糯笙，快與慢這種模糊概念可以使用速度量化，深與淺可以使用深度量化等等撩银。那给涕，美與丑，使用啥子來量化呢？這個我也不曉得……想來沒有一個常見的變量可以用來量化美與丑够庙，一般的評價類模型中恭应，應(yīng)該也不會涉及到這種比較坑的問題吧（不會吧不會吧）。感興趣的還是自行查閱吧……

隸屬函數(shù)的確定方法

確定隸屬函數(shù)耘眨，其實也就是給定一個模糊集合暮屡，之后再通過某些方法，給出我們需要研究的元素相對于該模糊集合的隸屬度毅桃。例如對于“年輕”這個模糊集合，我們就要想辦法去確定0歲-150歲之間每個歲數(shù)相對于“年輕”集合的隸屬度准夷，畫出圖像钥飞，便是隸屬函數(shù)的圖像了。

具體有三種方法來確定隸屬函數(shù)衫嵌。

1.模糊統(tǒng)計法
模糊統(tǒng)計法的原理是读宙，找多個人對同一個模糊概念進行描述，用隸屬頻率去定義隸屬度楔绞。類似于求概率時结闸，我們可以用頻率趨近于概率。例子我們上文提到過酒朵，我們想知道30歲相對于“年輕”的隸屬度桦锄，那就找來 $n$ 個人問一問，如果其中有 $m$ 個人認為30歲屬于“年輕”的范疇蔫耽，那 $\frac {m}{n}$ 就可以用來作為30歲相對于“年輕”的隸屬度结耀。 $n$ 越大時，這一估計越符合實際情況匙铡，也就越準確图甜。其他的歲數(shù)也照這個方法去問，就能畫出一個函數(shù)圖像啦鳖眼。

嗯黑毅，這個方法比較符合實際情況，但是往往通過發(fā)放問卷或者其他手段進行調(diào)查钦讳，數(shù)學(xué)建模比賽時矿瘦，時間可能不太夠吧，所以僅做介紹蜂厅，基本不予采用匪凡。（不過現(xiàn)在淘寶填問卷還蠻快的，有錢真好）

2.借助已有的客觀尺度
對于某些模糊集合掘猿，我們可以用已經(jīng)有的指標去作為元素的隸屬度病游。例如對于“小康家庭”這個模糊集合，我們想確定100戶家庭的隸屬度，那就可以用“恩格爾系數(shù)”衡量相應(yīng)的隸屬度衬衬。恩格爾系數(shù)=食品支出總額/家庭總支出买猖，顯而易見，家庭越接近小康水平滋尉，其恩格爾系數(shù)應(yīng)該越低玉控，那“1-恩格爾系數(shù)”就越大，我們便可以把“1-恩格爾系數(shù)”看作家庭相對于“小康家庭”的隸屬度狮惜。不過這只是打個比方高诺，畢竟對于富豪家庭，恩格爾系數(shù)很小碾篡，隸屬度很大虱而，但是富豪家庭是不是“小康家庭”，還是有待商榷的开泽。
類似的牡拇，對于“設(shè)備完好”這一模糊集合，我們可以使用設(shè)備完好率來衡量隸屬度穆律，對于“質(zhì)量穩(wěn)定”這一模糊集合惠呼，我們可以使用正品率衡量隸屬度。遇到問題的時候可以先百度一下峦耘，指不定就找到了一個好的指標剔蹋。

不過要注意，隸屬度是在 $[0,1]$ 之間的辅髓，因此尋找指標的時候滩租，也要注意在 $[0,1]$ 之間。不在的話利朵，可以進行歸一化處理律想，之前提到過的。

這種方法建模中可以使用绍弟，看具體題目而定啦

3.指派法
這是一個主觀性比較強的方法技即，即憑主觀意愿，在確定模糊集合的所屬分類后樟遣，給它指派一個隸屬函數(shù)而叼，得到元素的隸屬度。聽上去就很主觀豹悬，但也是比賽中最常用的方法之一葵陵，只需進行選擇，便可輕輕松松得到隸屬函數(shù)瞻佛。
我把常用的函數(shù)形式貼在下面脱篙。

圖片可能不是很清楚娇钱，但基本可以看出，對于偏小型模糊集合绊困，隸屬函數(shù)總體上遞減文搂，也就是元素的某個特征越大，隸屬度越谐永省煤蹭；對于偏大型集合，隸屬函數(shù)總體上遞增取视，也就是元素的某個特征越大硝皂，隸屬度越大；對于中間型集合作谭，隸屬函數(shù)總體上先遞增后遞減吧彪，中間一部分或是某個點取到最大值。

實際建模比賽中丢早，為了計算方便，最常使用的是梯形分布式隸屬函數(shù)（我聽的課是這么說的）秧倾。當然啦怨酝，具體問題還是要具體分析，隸屬函數(shù)平滑一點那先，陡峭一點农猬，中間一部分還是一個點取極值，都要根據(jù)具體的情況去抉擇售淡，但總體上就是這么回事了斤葱。

再看一眼梯形分布式的隸屬函數(shù)圖像。

以上就是確定隸屬函數(shù)的幾種方法了揖闸。還有一些其他的方法揍堕，比如德爾菲法，二元對比排序法汤纸，綜合加權(quán)法等等衩茸，有興趣可以自己查閱。

模糊綜合評價解題步驟

鋪墊了這么久贮泞，總算可以用這個方法進行解題啦楞慈。

首先我們還是要引入幾個概念。

因素集（評價指標集）： $U=\{u_1,u_2,u_3,...,u_n\}$
評語集（評價的結(jié)果）： $V=\{v_1,v_2,v_3,...,v_m\}$
權(quán)重集（指標的權(quán)重）： $A=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$

舉個例子說明啃擦，如果我們要評價一名學(xué)生的表現(xiàn)囊蓝，按照之前提到的層次分析法或者TOPSIS法，都是找到指標后進行一個綜合的打分令蛉，往往是用來比較多名同學(xué)的表現(xiàn)聚霜，給出排名。上述的評價指標，其實就對應(yīng)著這里的因素集俯萎。我們可以令 $U=\{專業(yè)排名傲宜，課外實踐，志愿服務(wù)夫啊，競賽成績\}$ 函卒，使用因素集類的四個指標來評價一名學(xué)生的綜合表現(xiàn)。

評語集撇眯，即是相應(yīng)對象的評價結(jié)果报嵌，類似于上面提到的“打分結(jié)果”。不同之處在于熊榛，評語集并非是分數(shù)的集合锚国，而是由模糊概念組成的評語。例如評定學(xué)生的表現(xiàn)玄坦，我們就可以把評語集設(shè)定為 $V=\{優(yōu)秀血筑，良好，差\}$ 煎楣。評語集中的這三個評語豺总，都是模糊的概念，不過在處理具體問題時择懂，我們也可以把方案放在評語集中喻喳，以選擇最佳的方案。

權(quán)重集困曙，就是你想的那個權(quán)重表伦，給每個指標進行賦權(quán)，用來進行綜合評價慷丽，就不多說了蹦哼。在這里，我們可以取權(quán)重集 $A=\{0.5,0.1,0.1,0.3\}$ 要糊，作為因素集中四個指標的權(quán)重翔怎。

那模糊綜合評價模型解決的是什么問題呢？嗯杨耙，其實就是給定對象赤套，用因素集的指標一番評價之后，從評語集中找到一個最適合它的評語珊膜。如果評語集中是方案的話容握，就是選出一個最恰當?shù)姆桨浮Ｄ沁@種“合適”用什么來衡量呢车柠？顯而易見嘛剔氏，就是隸屬度塑猖，隸屬于某個模糊集合的程度。

ok谈跛，舉例概括一下羊苟，我們現(xiàn)在有一個學(xué)生，有一個因素集 $U=\{專業(yè)排名感憾，課外實踐蜡励，志愿服務(wù)，競賽成績\}$ 阻桅，有一個權(quán)重集 $A=\{0.5,0.1,0.1,0.3\}$ 凉倚，有一個評語集 $V=\{優(yōu)秀，良好嫂沉，差\}$ 稽寒。我們的目的就是一番操作之后，給學(xué)生一個合適的評語趟章。明白了吧~

一級模糊綜合評價模型

一級模糊綜合評價模型杏糙，也就是因素集中的評價指標只有一層，不存在一層又嵌套一層的情況蚓土，也是最基本的情況宏侍。

解決這種問題，主要分為這么幾步北戏。

確定因素集 $U$ 。也就是確定評價指標嘍漫蛔，這個在層次分析法中就提到過嗜愈，不多說
確定各因素的權(quán)重 $A$ 。就是賦權(quán)啦莽龟，結(jié)合生活常識蠕嫁，題目條件，使用之前提到的層次分析法毯盈，熵權(quán)法（回頭提）剃毒，或者是搜索相關(guān)論文，使用人家的權(quán)重向量給評價指標賦權(quán)搂赋，不多說赘阀。
確定評語集 $V$ 。也就是要給出相應(yīng)的評語脑奠，例如“好基公、較好、中等宋欺、差轰豆、很差”胰伍，或者“優(yōu)秀、良好酸休、差”骂租。評語集中的評語往往是模糊概念，這也是使用模糊綜合評價的原因斑司。
確定模糊綜合判斷矩陣渗饮。判斷矩陣我們在層次分析法也講過，這里的判斷矩陣有所不同陡厘。對于因素集中的某個指標 $u_i$ 而言抽米，我們想要得出研究對象依據(jù) $u_i$ 在評語集中各個評語的隸屬度。舉個例子糙置，評價學(xué)生時不是有個指標叫專業(yè)排名嗎云茸。我們假設(shè)A同學(xué)的專業(yè)排名是10/50，那么單從專業(yè)排名這個指標來看谤饭，A同學(xué)相對于“優(yōu)秀”的隸屬度可能是0.8标捺，相對于“良好”的隸屬度可能是0.6，相對于“差”的隸屬度可能是0.1揉抵。這樣我們就得到專業(yè)排名這一指標相對于評語集的隸屬度向量亡容， $R_1=[0.8,0.6,0.1]$ 。這么說就明白了吧冤今。
類似的闺兢，我們也可以得到該同學(xué)在其他三個指標方面相對于評語集的隸屬度向量，可以分別記為 $R_2,R_3,R_4$ 戏罢。我們將這四個隸屬度向量拼接起來屋谭，令 $R=[R_1,R_2,R_3,R_4]^T$ ，R則是一個 $4×3$ 的矩陣龟糕，四行代表著四個指標桐磁，三列代表著三個評語。而R中的任何一個元素 $r_{ij}$ 讲岁，則代表著我擂，但從指標 $u_i$ 的角度去看，我們的研究對象相對于評語 $v_j$ 的隸屬度缓艳。這么說校摩，應(yīng)該比較清楚了吧。
嗯阶淘， $R$ 就是我們需要尋找的判斷矩陣秧耗。
進行綜合評判。我們已經(jīng)得到了判斷矩陣 $R$ 舶治，如果有 $n$ 個評價指標分井， $m$ 個評語车猬，則 $R$ 是一個 $n×m$ 的矩陣。其中尺锚，R的第 $j$ 列珠闰，從上往下分別代表著，從不同指標的角度去看瘫辩，研究對象相對于第 $j$ 個評語 $v_j$ 的隸屬度伏嗜。那如何得到研究對象相對于該評語的綜合隸屬度呢？相信你已經(jīng)曉得了伐厌，加權(quán)求和唄承绸，不然我們的權(quán)重集是干嘛的。因此挣轨，研究對象相對于評語 $v_j$ 的綜合隸屬度军熏，就是 $\sum_{i=1}^n (a_i*r_{ij})$ 。是不是有種熟悉的感覺卷扮？
其實就是這個樣子荡澎，這幾種評價類模型，說來說去都是加權(quán)求和打分晤锹，只不過這里的“分數(shù)”就是綜合隸屬度罷了摩幔。我們可以直接使用矩陣乘法求出相對于所有評語的綜合隸屬度， $B=A*R$ 鞭铆，其中 $A$ 是 $1×n$ 的矩陣或衡， $R$ 是 $n×m$ 的矩陣，那么 $B$ 就是 $1×m$ 的矩陣车遂，其中的任意一個值 $b_j$ 封断，其實也就是研究對象相對于評語集 $v_j$ 的隸屬度了。
那如何找到最合適的評語呢艰额？肯定就是找隸屬度最大的那一個澄港，作為最終的評語嘛椒涯。

嗯柄沮，到此為止，我們已經(jīng)學(xué)會了一級模糊綜合評價的解題步驟废岂。那應(yīng)該也意識到了祖搓，最重要的就是明確判斷矩陣和權(quán)重向量，兩個一乘湖苞，綜合隸屬度向量就出來了拯欧，選擇最大的就是。權(quán)重向量之前已經(jīng)說過财骨，那判斷矩陣镐作，或者說判斷矩陣中的 $n*m$ 個隸屬度藏姐，怎么求呢？上面也提到了確定隸屬函數(shù)的方法该贾。有了隸屬函數(shù)羔杨，隸屬度也就可以求出來了。實際建模中杨蛋，我們常常使用“指派法”兜材，指定一個符合實際問題的隸屬函數(shù)，使用其他方法也是可以滴逞力。只要知道判斷矩陣和權(quán)重向量曙寡，評價問題就基本解決了。

其實解題步驟還蠻簡單的吧寇荧，只不過前面鋪墊的太多举庶，所以我寫的也比較多，真做起來倒也不是很復(fù)雜砚亭。下面我就找一個中國大學(xué)MOOC上的例子灯变，展示一下解題過程。嗯捅膘，全部手打太浪費時間添祸，我就貼圖啦。
這個是題目寻仗，也就是給出了污染物的濃度以及每個污染物在空氣質(zhì)量等級評定時的權(quán)重刃泌，讓我們確定這一天的空氣質(zhì)量等級。

下圖是評價標準署尤。

污染物的濃度就是本題的因素集揭芍，空氣質(zhì)量的四個等級就是評語集，也是一種模糊概念软能。例如當TSP的濃度為0.20時饰潜，我們無法確定單從TSP的角度，空氣質(zhì)量等級是一級還是二級箕别，但我們可以確定相對于每個等級的隸屬度铜幽。

隸屬度如何確認呢？這里我們可以使用指派法串稀，指定四個模糊集合的隸屬函數(shù)除抛，采用最常用也比較符合題意得梯形分布式隸屬函數(shù)∧附兀可以發(fā)現(xiàn)到忽，“一級”應(yīng)該是一個偏小型的模糊概念，即污染物濃度越低清寇，隸屬于“一級”的程度越大喘漏；“二級”和“三級”應(yīng)該是中間型的概念护蝶，污染物濃度處于中間的某個范圍時，相應(yīng)的隸屬度越大翩迈；“四級”是個偏大型概念滓走，污染物濃度越大，隸屬于“四級”的程度也越大帽馋。我們確定了評語集中模糊概念的類型后搅方，就可以給出相應(yīng)的梯形分布隸屬函數(shù)了。如下圖绽族。

這里 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 對應(yīng)的就是上表中每個污染物濃度恰好在一二三四這四個等級時的數(shù)值姨涡。從隸屬函數(shù)的角度來看，當污染物濃度等于這表中的數(shù)值時吧慢，相對于相應(yīng)空氣質(zhì)量等級的隸屬度剛好為1涛漂。應(yīng)該不是很難理解，想一想就大概明白了检诗。

確定了隸屬函數(shù)匈仗，直接把這一天的每個污染物的濃度帶進隸屬函數(shù)，就可以求出隸屬度逢慌，得到判斷矩陣了悠轩。

有了判斷矩陣，也有了權(quán)重向量攻泼，就可以直接計算綜合隸屬度向量 $B$ 啦火架。

顯而易見，這一天的空氣質(zhì)量隸屬于二級的程度最大忙菠，所以我們認為這一天空氣質(zhì)量等級為二級何鸡。

嗯，例題也講好了牛欢。大家可以去中國大學(xué)MOOC上搜華中農(nóng)業(yè)大學(xué)的數(shù)學(xué)建模課骡男，里面有模糊綜合評價更加詳細的講解。這個例題也來自該課程傍睹。嗯隔盛，還有其他的建模方法。

多級模糊綜合評價

多級模糊綜合評價焰望，其實就相當于多了幾層因素集骚亿。例如我們同時要處理20個評價指標已亥，確定權(quán)重會比較麻煩熊赖，那我們就可以把20個指標分為四類，在每個類之內(nèi)確定一次指標的權(quán)重虑椎，之后再確定四個大類的權(quán)重震鹉。這樣子就會比較方便俱笛。如果有很多指標，就可以多嵌幾層传趾，也就是多級模糊綜合評價了迎膜。

看上圖這個學(xué)生評價模型，就是一個二級的綜合評價模型浆兰，指標后面的數(shù)字代表在相應(yīng)那一層的權(quán)重磕仅。這個時候我們?nèi)绾未_定判斷矩陣呢？肯定是不能一上來就確定第一層的判斷矩陣簸呈，需要從最后一層榕订，一步一步推上來。

例如我們考察學(xué)習(xí)成績這一指標對應(yīng)的隸屬度向量時蜕便，就需要先考察它的下一層指標劫恒，也就是專業(yè)課成績和非專業(yè)課成績這兩個指標。例如Z同學(xué)專業(yè)課成績是90轿腺，那從這一指標來看两嘴，Z同學(xué)的隸屬度向量是 $x_1=[0.8,0.2,0]$ ，評語集還是“優(yōu)秀族壳、良好憔辫、差”。之后再看看非專業(yè)課成績仿荆，得到一個隸屬度向量 $x_2=[0.7,0.3,0]$ 螺垢。我們用這兩個向量，就可以構(gòu)造出一個矩陣 $X_1=[x_1,x_2]^T$ 赖歌，這是一個 $2×3$ 矩陣枉圃，代表著學(xué)習(xí)成績這一指標下兩個二級指標組成的判斷矩陣。那如何得到學(xué)習(xí)成績這個一級指標相對于評語集的隸屬度向量呢庐冯？很簡單呀孽亲，不是有權(quán)重向量 $A_1=[0.6,0.4]$ 了嗎。我們用 $A*X_1$ 展父，就可以得到一個 $1×3$ 的向量返劲，自然就是從學(xué)習(xí)成績這一指標來看，Z同學(xué)相對于評語集的隸屬度向量了栖茉。嗯篮绿，拆開了看，就是把兩個二級指標的隸屬度加權(quán)求和罷了吕漂，應(yīng)該不難理解亲配。