第一章 集合與函數(shù)的概念

1.1 集 合

• 集合：元素組成的主體叫做集合拷窜，集合常用大寫字母 A,B,C....表示敷存，元素常用小寫字母 a,b,c.... 表示

• 集合的性質：

  確定性：要么屬于該集合劈愚，要么不屬于該集合。
  互異性：同一個集合中邻梆，相同的元素只能出現(xiàn)一次。
  無序性：集合中的元素沒有先后順序斤吐。
  
  注意：（應用廣泛，求值時厨喂，用互異性判斷所求值是否符合題意）
  

• 集合表示法：

  注意：
  ①：在使用列舉法時臼婆，元素用，號隔開幌绍，不可以有重復的元素，只要元素相同故响，那么兩個集合就相等傀广，不在意順序的。
  ②：若彩届，用列舉法表示很多元素伪冰，那么一定要元素間的規(guī)律列舉出來之后，才可以寫······

• 元素與集合的關系：屬于 ∈ 樟蠕，不屬于 ?贮聂。

• 集合的分類：

  集合：
      按元素屬性分：
                數(shù)集（元素是數(shù)）
                點集（元素時點）
                其他集合
  
      按元素的多少分：
                有限集（元素的個數(shù)是有限個）
                無限集（元素的個數(shù)是無限個）
  

• 數(shù)集符號：
• N*：正整數(shù)集，也記作N₊
• N：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）寨辩。
• Z：整數(shù)集（所有整數(shù)）吓懈。
• Q：有理數(shù)集。
• R：實數(shù)集靡狞。
• C：負數(shù)集耻警。

• 子集：若任意的 x ∈ A，都有 x ∈ B 甸怕，則A是B的子集甘穿，記作 A ? B。

• 真子集：若 A ? B梢杭，且B存在元素 b ? A温兼，b ∈ B ，則 A是B的真子集武契，記作 A ? B募判。

  ∈ ? 只能表示元素和集合之間的關系荡含。
  ? ? = 只能表示集合與集合之間的關系。
  
  兩個集合 如果 A ∈ B 兰伤，且 B ∈ A内颗，則這兩個集合相等 A = B 。
  

• 空集：不含任何元素的集合叫做空集敦腔，記作?均澳。

  注意在集合運算中別漏了 ?。
  空集是任何集合的子集符衔。      ? ∈ A
  空集和任何非空集合的真子集找前。 ? ∈ A (A ≠ ?)
  

• Venn圖：用平面上封閉曲線的內部代表集合，這樣的圖稱為 Venn 圖判族。

• 交集：由屬于集合 A 且屬于集合 B 的所有元素組成的集合叫做 A B 的交集躺盛。記作 A ∩ B 。

  A ∩ B = { x | x ∈ A, 且x ∈ B }
  每個集合的交集是它本身形帮。
  任何集合與空集的交集是空集槽惫。
  A 與 B 的交集 ，∈ A 也∈ B辩撑。
  

• 并集：由屬于集合 A 界斜，和屬于集合 B 的所有元素組成的集合叫做 A B 的并集。記作 A ∪ B合冀。

  并集也就是兩個集合的所有元素加起來各薇，并去除重復的元素就是并集。
  每個集合和空集的并集是它本身君躺。
  A U B 峭判，A 和 B  都∈ A ∪ B。
  

• 全集：如果一個集合包含我們研究問題匯總涉及的所有元素棕叫，那么就稱這個集合為全集林螃。記作 U。

• 全集性質：全集是相對于所研究問題而言的一個相對概念谍珊。它含有所研究問題有關的各個集合的全部元素治宣。

  在研究數(shù)集時，常吧實數(shù)集R看做是全集砌滞。
  在研究三維空間時侮邀，平面是全集的一個子集。
  在研究平面集合中贝润，整個平面可以看做是一個子集绊茧。
  

• 補集：設U是一個全集，A 是 U 的一個子集打掘，（即A ∈ U）华畏，由U中所有不屬于 A 的元素組成的集合叫做鹏秋，子集 A 在全集 U 中的補集，記作 CuA,即 CuA = { x | x ∈ U 亡笑，且 x ? A}侣夷。

• 補集的性質：

  (1)：A ∪ CuA = U            集合A + 集合A 的 補集 = U  (一個集合和本身補集的 并集 等于 全集)
  (2)：A ∩ CuA = ?             集合A與集合A補集的交集 = ?
  (3)：Cu（CuA） = A           t集合A的補集的補集等于它本身。
  (4)：Cu（A∪B） = （CuA）∩（CuB）  集合A與集合B的并集的補集 = 集合A的補集 與 集合B的補集的 交集
  (5)：Cu（A∩B） = （CuA）∪（CuB）  集合A與集合B的交集的補集 = 集合A的補集 與 集合B的補集的 并集
  (6)：Cu? = U                 ?的補集 = U
  (7)：CuU = ?                 U的補集 = ?
  

• 集合的運算律：

  交換律：
  A∩B = B∩A          A∪B = B∪A
  結合律：
  A∩(B∩C) = (A∩B)∩C          A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
  分配率：
  A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)          A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
  德·摩根定律
  Cu（A∪B） = （CuA）∩（CuB）      Cu（A∩B） = （CuA）∪（CuB）
  

• 集合中元素的個數(shù)：

  有限集合A的元素個數(shù)記作：card(A)
  card(A)∪card(B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)
  如果集合A仑乌、B的交集為?百拓，那么：
  card(A)∪card(B) = card(A) + card(B)
  因為 card(空集) = 0
  

• 集合中子集的個數(shù)：

  首先要明白，子集包括：集合所有元素不同組合（不包括順序不同）晰甚、?和本身衙传。
  然后，空集是任何集合的子集厕九，是任何非空集合的真子集蓖捶。（?不是?的真子集）
  A的子集個數(shù)是22
  A的真子集個數(shù)是22 - 1（前提是A不是?，減去的1是A集合的本身）
  A的非空子集個數(shù)是22 - 1（這個沒什么好說的扁远，集合A的本身也是集合A的子集俊鱼，減去的1是?）
  A的非空真子集個數(shù)是22 - 2（減去 本身 和 ?）
  
  注意：
  平凡子集：就是自身及空集這兩種特殊情形。因為每一個集合都有這兩種子集畅买，常稱之為平凡子集亭引。
  

• 奇/偶數(shù)集：

  Z是全體整數(shù)組成的集合
  奇數(shù)集 = { x|x = 2n-1,n∈Z}
  偶數(shù)集 = { x|x = 2n,n∈Z}
  

• 化簡集合：

  在解決集合問題時，要學會化簡集合：
  1.等式條件皮获，要化簡等式
  2.大小關系，畫數(shù)軸
  3.多個集合纹冤，涉及到集合之間的關系洒宝，就畫venn圖
  4.利用集合的性質：確定性，互異性萌京，無序性雁歌。
  5.補集思想：也就是正難則反，當正面解決比較困難的時候知残，就采取從反面突擊解決問題靠瞎。
  

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