0.目錄
- 浮點(diǎn)數(shù)的表示
- 加減
- 存儲(chǔ)格式
- 特殊的數(shù)
1.浮點(diǎn)數(shù)的表示
1.1 表示格式
浮點(diǎn)數(shù)月匣，顧名思義，是小數(shù)點(diǎn)不固定的數(shù)萍悴。計(jì)算機(jī)中寓免，根據(jù)小數(shù)點(diǎn)位置是否固定狡刘，分為兩種數(shù)據(jù)格式，一種小數(shù)點(diǎn)不固定剑按，另一種是定點(diǎn)數(shù)猬腰，小數(shù)點(diǎn)固定姑荷。
書上科學(xué)地對(duì)浮點(diǎn)數(shù)表示法的定義是鼠冕，以適當(dāng)?shù)男问綄⒈壤蜃颖硎驹跀?shù)據(jù)中懈费，讓小數(shù)點(diǎn)的位置根據(jù)需要而浮動(dòng)憎乙。我們計(jì)算機(jī)的容量有限泞边，不可能對(duì)每個(gè)數(shù)都用特別多的位數(shù)來表示阵谚，如2×10^99椭蹄，這種非常大的數(shù)不可能用定點(diǎn)數(shù)來表示绳矩，所以利用浮點(diǎn)數(shù)可以在位數(shù)有限的情況下擴(kuò)大數(shù)的表示范圍翼馆，同時(shí)保持一定的有效精度严沥。
通常情況下消玄，浮點(diǎn)數(shù)表示為：N = r ^ E × M
- r 是浮點(diǎn)數(shù)階碼的底翩瓜，在計(jì)算機(jī)中是隱含的兔跌，通常情況下r=2
- E叫做階碼华望，是帶符號(hào)的定點(diǎn)數(shù)赖舟，E的大小越大建蹄，能表示的數(shù)范圍越大
- M叫做尾數(shù)，是帶符號(hào)的定點(diǎn)數(shù)劲腿，M的位數(shù)越大焦人，數(shù)的有效精度越高
如1.111×2100花椭，1.111是尾數(shù)，100是階碼郭厌，階碼位數(shù)為3位折柠，尾數(shù)位數(shù)是4位前塔。若階碼位數(shù)有4位承冰，尾數(shù)位數(shù)是3位（總占位數(shù)不變）巷懈，那這個(gè)數(shù)表示為1.11×20100凑保，能表示的數(shù)的范圍變大，原來尾數(shù)1.111轉(zhuǎn)變?yōu)?.11損失了0.001芝此，這就是精度的損失婚苹。
浮點(diǎn)數(shù)的一般格式：
這里J是階符谭企，表示階碼的符號(hào)廓译，S是數(shù)符，表示浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)债查，階符J和階碼的m位合起來表示浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍和小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置非区，n位尾數(shù)反映了浮點(diǎn)數(shù)的精度。
1.2 規(guī)格化
同一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)可以有很多表現(xiàn)形式盹廷，如1.111×23征绸，可以表示為0.1111×24或11.11×22。如果尾數(shù)位數(shù)只有4位速和，表示同一個(gè)數(shù)1111可以采取兩種方法歹垫， 0.0111x25 和 0.1111×24（二者最高為是數(shù)符位S）暮芭，可以很清晰地看到砾莱，如果采用階碼為5的方法，我們損失了一位精度，階碼為4的方法表示這個(gè)數(shù)更為精確。
所以，為了提高運(yùn)算精度褪尝，就要充分利用尾數(shù)的有效數(shù)位沙庐，也就是浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化铸抑，即規(guī)定尾數(shù)的最高數(shù)位必須是一個(gè)有效值刁憋。非規(guī)格化數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)格化數(shù)是尖，轉(zhuǎn)變過程就是通過調(diào)整尾數(shù)和階碼的大小，使尾數(shù)最高位保證是一個(gè)有效值凶硅。通常有兩種規(guī)格化操作：
- 左規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算結(jié)果是非規(guī)格化數(shù)的時(shí)候粹污，要進(jìn)行規(guī)格化操作，將尾數(shù)算術(shù)左移一位，階碼減1（基數(shù)為2時(shí)）杨凑，左規(guī)操作可能要進(jìn)行多次昭躺。
- 右規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算結(jié)果尾數(shù)出現(xiàn)溢出的時(shí)候，將尾數(shù)算術(shù)右移一位，階碼加1。需要右規(guī)操作的時(shí)候只需要操作一次。
規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)M的絕對(duì)值應(yīng)該滿足這樣的關(guān)系：1/r ≤ |M| ≤ 1（r就是我們的階碼的底蝗蛙，也是基數(shù)）壮韭。
以r=2為例：
- 原碼尾數(shù)規(guī)格化后：正數(shù)為0.1xxxxxx形式密任，最大值為0.11......1;最小值為0.100......0。負(fù)數(shù)為1.1xxxxxx形式，最大值表示為1.10......0;最小值表示為1.11......1淤年。
- 補(bǔ)碼尾數(shù)規(guī)格化后：正數(shù)同原碼正數(shù)塔插。負(fù)數(shù)為1.0xxxxxx形式逢倍，最大值表示為1.01......1;最小值表示為1.00......0。
需要注意的是基數(shù)趁怔，剛剛是以基數(shù)為2時(shí)的規(guī)格化形式，補(bǔ)碼規(guī)格化數(shù)的尾數(shù)最高位一定與尾數(shù)符號(hào)位相反秉沼。基數(shù)不同的時(shí)候辜腺，規(guī)格化的形式不同呜投，當(dāng)基數(shù)為4時(shí)，原碼規(guī)格化形式的尾數(shù)最高兩位不全為0亩进；基數(shù)為8時(shí)，原碼規(guī)格化形式的尾數(shù)最高三位不全為0缩歪。
如何判斷一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)是否是規(guī)格化數(shù)：規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的第一位一定是個(gè)非零的數(shù)归薛。因此對(duì)于原碼編碼的尾數(shù)來說，只要看尾數(shù)的第一位是否為1就行匪蝙；對(duì)于補(bǔ)碼表示的尾數(shù)主籍，只要看符號(hào)位和尾數(shù)最高位是否相反。（IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)是用原碼編碼的）
2.加減
浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)是階碼運(yùn)算和尾數(shù)運(yùn)算分開來算逛球。加減運(yùn)算一律采用補(bǔ)碼千元。具體運(yùn)算分為以下幾步。
- 對(duì)階：目的是讓兩個(gè)數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置看齊颤绕，使兩個(gè)數(shù)的階碼相等幸海。顯然1.1×23 和1.1×24 是不能直接相加減的祟身。原則是小階向大階看齊，像這個(gè)例子物独，就是1.1×23 的尾數(shù)右移一位袜硫，階碼加一，直到兩個(gè)數(shù)的階碼相等
- 尾數(shù)求和：階碼對(duì)齊之后直接按照定點(diǎn)數(shù)的加減法則運(yùn)算尾數(shù)
- 規(guī)格化：尾數(shù)求和后的結(jié)果如果不是規(guī)格化數(shù)需要規(guī)格化议纯，以雙符號(hào)位運(yùn)算為例父款，如果運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，規(guī)格化的形式應(yīng)該是00.1xxx......x瞻凤，如果運(yùn)算結(jié)果為負(fù)數(shù)憨攒，規(guī)格化后的形式應(yīng)該是11.0xxx......x，不符合這種形式的數(shù)要進(jìn)行左規(guī)或者右規(guī)的操作讓其變成這種形式阀参。（在尾數(shù)沒有溢出的情況下肝集，即尾數(shù)結(jié)果的雙符號(hào)為不是10或01的時(shí)候，操作都是左規(guī)操作蛛壳，左規(guī)操作可能不止進(jìn)行一次杏瞻，倘若雙符號(hào)位為01或10則表明尾數(shù)已經(jīng)溢出了，就要進(jìn)行右規(guī)操作衙荐，右規(guī)只需要進(jìn)行一次）
- 舍入：在對(duì)階和右規(guī)的操作中都是將尾數(shù)右移捞挥，階碼加一，由于位數(shù)是有限的忧吟，在右移的操作過程中很有可能就將低位的尾數(shù)丟失砌函，引起誤差和精度問題。常用的減小誤差的方法有“0”舍“1”入法：即在尾數(shù)右移時(shí)溜族，被移去的最高數(shù)值位為0則舍去讹俊，如果被移去的最高數(shù)值位為1則在尾數(shù)末位加1，如果加1之后又產(chǎn)生溢出則再右規(guī)操作一次煌抒。恒置“1”法：看名字就可以知道仍劈，無論丟掉的最高數(shù)值位是1還是0，都使右移后的尾數(shù)末位置1寡壮。這種方法可能使尾數(shù)變大或者變小贩疙。
- 溢出判斷：既然定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算可能溢出，浮點(diǎn)數(shù)同樣也會(huì)溢出况既，我們已經(jīng)知道浮點(diǎn)數(shù)的表示方法和加減運(yùn)算規(guī)則屋群，既然是溢出，那么肯定是超出了浮點(diǎn)數(shù)能表示的范圍坏挠，浮點(diǎn)數(shù)的范圍主要是由階碼決定的芍躏，如果運(yùn)算結(jié)果規(guī)格化后階碼產(chǎn)生了溢出，那才是浮點(diǎn)數(shù)的溢出降狠。浮點(diǎn)數(shù)的溢出與否是由階碼的符號(hào)決定的对竣。以雙符號(hào)位的補(bǔ)碼為例庇楞，如果階碼的符號(hào)位出現(xiàn)01或10則說明階碼溢出了，01表示階碼大于最大階碼否纬，上溢吕晌，進(jìn)入中斷處理；10表示階碼小于最下階碼临燃，下溢睛驳，按機(jī)器零處理。（溢出時(shí)真值的符號(hào)位和高位符號(hào)位保持一致）還要注意的一點(diǎn)是尾數(shù)之和（差）可能會(huì)造成尾數(shù)的溢出膜廊，這并不代表整個(gè)的溢出乏沸，需要右規(guī)一次看階碼是否溢出才能判斷。
3.存儲(chǔ)格式
IEEE754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定爪瓜，浮點(diǎn)數(shù)由“符號(hào)”蹬跃、“指數(shù)”和“尾數(shù)”3部分構(gòu)成：
下表列出C++中不同精度浮點(diǎn)數(shù)內(nèi)存布局：
| 精度 | C++類型 | 長度 | 符號(hào)位數(shù) | 指數(shù)位數(shù) | 尾數(shù)位數(shù) | 有效位數(shù) | 指數(shù)偏移 | 隱含位 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 單精度浮點(diǎn)數(shù) | float | 32 | 1 | 8 | 23 | 24 | 127 | 1個(gè)隱含位 |
| 雙精度浮點(diǎn)數(shù) | double | 64 | 1 | 11 | 52 | 53 | 1023 | 1個(gè)隱含位 |
| 擴(kuò)展雙精度浮點(diǎn)數(shù) | long double | 80 | 1 | 15 | 64 | 64 | 16383 | 無隱含位 |
float的規(guī)格化表示為：±1.f×2E?127，f是尾數(shù)铆铆，E是指數(shù)蝶缀。以float為例：
比如十進(jìn)制數(shù)123.125，其二進(jìn)制表示為：1111011.001薄货，規(guī)格化表示為：1.111011001×26翁都，也就是1.111011001×2133?127，f = 111011001谅猾，E = 133柄慰，二進(jìn)制為10000101，圖示如下：
規(guī)格化表示的浮點(diǎn)數(shù)赊瞬，整數(shù)位固定為1，可以省略贼涩，所以用23位可以存儲(chǔ)24位的尾數(shù)巧涧。這里可以得出一個(gè)結(jié)論：任意一個(gè)int值（二進(jìn)制表示），只要存在這樣的序列：從最低位開始找到第一個(gè)1遥倦，然后從這個(gè)1向高位數(shù)移動(dòng)24位停下谤绳，如果更高的位上不再有1，那么該int值即可被float精確表示袒哥，否則就不行缩筛。簡(jiǎn)單說，就是第一個(gè)1開始到最后一個(gè)1為止的總位數(shù)超過24堡称，那么該int值就不能被float類型精確表示瞎抛，例：
圖中能被丟棄的0，在指數(shù)上體現(xiàn)出來却紧，丟棄一個(gè)0桐臊，指數(shù)就加1胎撤，丟棄n個(gè)0，指數(shù)就加n断凶，并沒有損失精度伤提。
很容易得出，從1開始的連續(xù)整數(shù)里面第一個(gè)不能被float精確表示的整數(shù)认烁，其二進(jìn)制形式為：1 00000000 00000000 00000001肿男，即16777217：1.00000000 00000000 00000001×224，f有24位却嗡，最后一個(gè)1只能舍棄舶沛，也就是 1.00000000 00000000 0000000×224，即1.0×224稽穆，這個(gè)數(shù)實(shí)際上是16777216冠王。也就是說16777217和16777216的內(nèi)存表示是一樣的：
那么16777217之后的下一個(gè)可以被float精確表示的int值是多少呢？很簡(jiǎn)單舌镶，向16777217上不斷的加1柱彻，直到滿足“第一個(gè)1開始到最后一個(gè)1為止的總位數(shù)為24位”：
1 00000000 00000000 00000010就是16777218，規(guī)格化表示為：
1.00000000 00000000 0000001×224=1.00000000 00000000 0000001×2151?127
其f是23位（最后一位是1）餐胀。
2.原理
二進(jìn)制的浮點(diǎn)數(shù)哟楷，其科學(xué)記數(shù)法的形式為：
其中只能是0或1。規(guī)格化表示為：
即約定小數(shù)點(diǎn)位于最高位的1之后否灾，因此不能是0卖擅。既然整數(shù)位只能是1，那么這一位可以不用存儲(chǔ)墨技，稱之為隱含位惩阶。好處是可以多存儲(chǔ)一位小數(shù)部分，但是在作浮點(diǎn)運(yùn)算時(shí)需要特殊處理扣汪，運(yùn)算之前要補(bǔ)齊這一位断楷，運(yùn)算之后又得略去這一位，會(huì)有一點(diǎn)性能損耗崭别；如果有效位本來就足夠多冬筒，省去整數(shù)位也賺不了多少便宜，這可能是擴(kuò)展雙精度浮點(diǎn)數(shù)不采用這種方案的原因茅主。
指數(shù)n是一個(gè)普通的整數(shù)舞痰，可正可負(fù)（負(fù)指數(shù)表示純小數(shù)），在計(jì)算機(jī)科學(xué)诀姚，整數(shù)編碼一般采用補(bǔ)碼（負(fù)數(shù)是其正數(shù)的反碼+1）响牛，最高位是符號(hào)位（0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)），但I(xiàn)EEE754標(biāo)準(zhǔn)中娃善，浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)使用了“真值 + 偏移值”的編碼方式论衍，將原碼空間分成兩部分，小的部分表示負(fù)數(shù)聚磺，大的部分表示正數(shù)坯台。一般的，全0和全1都有特殊用途瘫寝，以float為例蜒蕾，其指數(shù)部分有8位，原碼空間就是0 ~ 255焕阿，不算0和255（全0和全1）咪啡，剩下254個(gè)數(shù)，對(duì)半分即127暮屡，則N位指數(shù)的編碼和原值有下列關(guān)系：
其中撤摸，E：指數(shù)編碼；e：指數(shù)真值 褒纲。float類型的指數(shù)編碼就是：E=e+127准夷，[ 1,127 ) 是負(fù)數(shù)， [ 127, 254 ] 是正數(shù)莺掠，0和255有特殊用途衫嵌。
3.分類
IEEE標(biāo)準(zhǔn)定義了6類浮點(diǎn)數(shù)：
| 指數(shù) | 分類 | 隱含位 | 尾數(shù) | 說明 |
|---|---|---|---|---|
| xx…xx | 有限數(shù) | 1 | xx…xx | 指數(shù)非全0，非全1彻秆，有隱含位 |
| 00…00 | 0 | 0 | 0 | 尾數(shù)為0 |
| 00…00 | 弱規(guī)范數(shù) | 無 | xx…xx | 尾數(shù)不是0 |
| 11…11 | ±∞ | 1 | 0 | 尾數(shù)不為0 |
| 11…11 | QNaN | 1 | 1xx…xx | 尾數(shù)高位為1楔绞，但尾數(shù)不為0 |
| 11…11 | SNaN | 1 | 0xx…xx | 尾數(shù)高位為0，但尾數(shù)不為0 |
3.1 有限數(shù)
有限數(shù)就是遵循規(guī)格化的常規(guī)數(shù)唇兑，其指數(shù)在最小數(shù)和最大數(shù)之間酒朵，且整數(shù)位恒為1，其形式為：
例如float扎附，其指數(shù)E有8位蔫耽，取值范圍為 ( 0, 255 ) 也就是 [ 1, 254 ] 。有限數(shù)在運(yùn)算過程中最常見的問題就是溢出帕棉，即運(yùn)算結(jié)果無法用有限數(shù)表示针肥。
3.2 零
0饼记，有一位隱含位（為0）香伴，除符號(hào)位可能不為0外，其它所有位都為0具则，也就是說存在正0和負(fù)0即纲，其形式為：
數(shù)學(xué)上，0沒有正負(fù)之說博肋，但按IEEE754標(biāo)準(zhǔn)低斋，卻有正負(fù)0之分（由符號(hào)位標(biāo)識(shí)）蜂厅，注意：正0應(yīng)該和負(fù)0相等，而不應(yīng)正0大于負(fù)0膊畴。
3.3 弱規(guī)范數(shù)
弱規(guī)范數(shù)的指數(shù)和0一樣掘猿，都是全0，但沒有隱含位唇跨，尾數(shù)部分不為0稠通，其形式為：
弱規(guī)范數(shù)的整數(shù)位是尾數(shù)的最高位。由于弱規(guī)范數(shù)沒有隱含位买猖，在向有限數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)改橘，要向高位移一位，以產(chǎn)生隱含位玉控，但指數(shù)不變（不減1）飞主；從有限數(shù)形式轉(zhuǎn)換成弱規(guī)范數(shù)形式時(shí)，正好相反高诺，向低位移1位碌识，指數(shù)仍不變。
在計(jì)算過程中懒叛，如果中間結(jié)果小于最小的有限數(shù)卻不是0丸冕，即出現(xiàn)下溢烹植，如果當(dāng)做0處理许饿，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算終止，引入“弱規(guī)范數(shù)”之后者蠕，在0和最小的有限數(shù)之間有相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)可以表示為“弱規(guī)范數(shù)”诅迷，從而提高了計(jì)算能力佩番。
3.4 無窮大
±∞，指數(shù)部分為全1（即最大值）罢杉，整數(shù)位是1（是隱含位）趟畏，尾數(shù)是0，其形式為：
float類型即：
產(chǎn)生∞的情形一般有：
- 自身運(yùn)算滩租，例如∞+1.0=∞
- 被0除赋秀，例如1/0=∞，1/?0=?∞
- 上溢律想，即計(jì)算結(jié)果超出了類型范圍
3.5 NaN
NaN猎莲，即Not a Number，和∞一樣技即，指數(shù)部分為全1（最大值）著洼，整數(shù)位是1（是隱含位），但尾數(shù)部分不為0，其形式為：
其中身笤，f不為0豹悬。NaN有SNaN（Signal NaN）和QNaN（Quiet NaN）之分，IEEE標(biāo)準(zhǔn)要求：SNaN參與運(yùn)算要觸發(fā)異常液荸，而QNaN則不觸發(fā)異常瞻佛。兩者的區(qū)別在于，SNaN的尾數(shù)最高位是0娇钱，而QNaN的尾數(shù)最高位是1涤久。
IEEE標(biāo)準(zhǔn)只規(guī)定NaN的尾數(shù)不為0，并沒有限定應(yīng)該是什么忍弛，這就給予具體實(shí)現(xiàn)一定的空間响迂。比如可以在計(jì)算出問題時(shí)，在尾數(shù)部分設(shè)置一些特殊的值细疚，有利于調(diào)試蔗彤。
NaN有一些晦澀的運(yùn)算規(guī)則：
- 0×∞=NaN，因此“0乘任何數(shù)都是0”不是恒成立的
- NaN參與的所有邏輯運(yùn)算疯兼，只有NaN!=NaN為真然遏，其它的都不為真，即使NaN==NaN的結(jié)果也為false吧彪，因此在浮點(diǎn)數(shù)的邏輯運(yùn)算中待侵，編譯器沒有辦法做積極的優(yōu)化，因?yàn)槿绻蠳aN參與邏輯運(yùn)算姨裸，比如x=NaN秧倾，那么!(x<y)和x>=y就不等價(jià)了。
令人無語的是傀缩，編譯器不一定遵循IEEE標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定那先，可想而知，浮點(diǎn)運(yùn)算有多難搞赡艰。
4.特殊的數(shù)
4.1 最小的正float有限數(shù)
根據(jù)有限數(shù)的規(guī)格化形式售淡，指數(shù)取最小值1，隱含位是1慷垮，尾數(shù)取最小值0（23位都是0）：
如果浮點(diǎn)運(yùn)算的結(jié)果小于這個(gè)數(shù)揖闸，就出現(xiàn)下溢，一般將其結(jié)果轉(zhuǎn)換為最小的有限數(shù)料身，或者弱規(guī)范數(shù)汤纸，如果弱規(guī)范數(shù)也不能表示，那么將轉(zhuǎn)換成0惯驼。
4.2 最大的float有限數(shù)
根據(jù)有限數(shù)的規(guī)格化形式蹲嚣，指數(shù)取最大值254，隱含位是1祟牲，尾數(shù)取最大值（23位都是1）：
如果浮點(diǎn)運(yùn)算的結(jié)果超過這個(gè)數(shù)隙畜，就出現(xiàn)上溢，一般將其結(jié)果轉(zhuǎn)換為最近的有限數(shù)或∞说贝。
4.3 最小的正float弱規(guī)范數(shù)
根據(jù)弱規(guī)范數(shù)的規(guī)格化形式议惰，尾數(shù)取最小值：
f是23位，且最高位是整數(shù)位乡恕，因此小數(shù)點(diǎn)之后只有22位言询，最后一位為1，即可得出該數(shù)傲宜。
4.4 FLT_EPSILON
FLT_EPSILON是C++定義的一個(gè)float數(shù)运杭，該數(shù)是滿足1.0+FLT_EPSILON!=1.0的最小的float有限數(shù)，比該數(shù)還小的float有限數(shù)會(huì)有：1.0+x=1.0函卒。根據(jù)這個(gè)定義辆憔，從比1.0大的最小float有限數(shù)開始推導(dǎo)：
它的規(guī)格化表示：1.0×2e(104?127)，E = 104报嵌，f = 0虱咧。注意，該數(shù)遠(yuǎn)不是最小的正float有限數(shù)锚国，它比最小的正float有限數(shù)還要“大很多”腕巡，它的指數(shù)是-23，而最小的正float有限數(shù)的指數(shù)是-126血筑。這個(gè)數(shù)并沒有什么特別的意義绘沉，在代碼中無條件的使用 fabs (x ? y) < FLT_EPSILON判斷兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)是否相等，可能會(huì)導(dǎo)致問題豺总。如果你的系統(tǒng)中浮點(diǎn)數(shù)很小梆砸，極端來說，甚至小于FLT_EPSILON园欣，那你用fabs (x ? y) < FLT_EPSILON來判斷相等帖世，顯然是錯(cuò)誤的，你應(yīng)該自己定義一個(gè)可以接受的誤差范圍來輔助判斷相等問題沸枯。
