信號與系統(tǒng)

whye

信號

信號的分類

確定信號與不確定信號

確定信號

可以用函數(shù)表示的信號

不確定信號

不能用確定的函數(shù)表示混稽，只能知道它的統(tǒng)計學性質(zhì)殴泰。

連續(xù)信號和離散函數(shù)

連續(xù)信號通過取樣成為離散信號

離散-》連續(xù)：零階保持/分段線性

連續(xù)函數(shù)

定義域是連續(xù)的

如果函數(shù)值也連續(xù)苇经，則稱為模擬信號

離散函數(shù)

定義域是離散的

取值離散時稱為數(shù)字信號

對于定義點等間隔的稱為序列绵载，其中自變量k稱為序號鞭衩。離散時間信號記f(kT)，也做f(k)

周期和非周期信號

兩個周期信號合成后是否是周期信號

連續(xù)信號

如果信號的周期之比T1/T2都是有理數(shù)位谋，那么合成信號周期為子信號的最小公倍數(shù)。如果多個信號
$T = m_iT_i; m_i = w_i/W(w的最小公倍數(shù))$
如果信號周期之比是無理數(shù)堰燎，則合成信號是非周期信號掏父。

離散信號

$f(k) = f(k+mN);m = ...,-1, 0, 1,...$

判斷離散信號是否是周期信號：判斷相應(yīng)連續(xù)函數(shù)周期是否為有理數(shù)

周期序列之和一定是周期序列

能量信號與功率信號

將信號f(t)施加在1歐姆電阻上，他所消耗的瞬時功率為|f(t)|的平方秆剪，定義能量和平均功率信號為
$E = \int_{-\infty}^{+\infty}|f^2(t)|dt \qquad P = \lim_{T->\infty}\frac1T\int_{-\frac T2}^{+\frac T2}|f^2(t)|dt$
能量有限信號：E<無窮 P=0

功率有限信號：p<無窮 E=無窮

時限信號：在有限范圍不為零
周期信號屬于功率信號
非周期信號可能是能量信號也可能是功率信號
有些信號既不是能量信號也不是周期信號赊淑，如指數(shù)函數(shù)

因果信號的反因果信號

因果信號：t=0時接入信號，即t<0時f(t)<0

反因果信號：t>=0時仅讽，f(t)=0的信號（除0信號）

基本信號

階躍信號

t>0時為1稱為單位階躍函數(shù)
$\xi(t)=\{_{0\qquad t<0}^{1\qquad t>0}$

可以表示分段信號

$f(t)=2\xi(t)-3\xi(t-1)+\xi(t-2)$

表示區(qū)間

$g(t)=f(t)[\xi(t-t_1)-\xi(t-t_2)]$

積分

$\int_{-\infty}^t\xi(t)dt=t\xi(t)$

沖激函數(shù)

階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
$\sigma(t)=\frac {d\xi(t)}{dt}\qquad\xi(t)=\int_{-\infty}^{t}\sigma(t)dt$
高度無窮大陶缺，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖洁灵。高度用（1）表示饱岸。

沖激函數(shù)可以描述斷點處的導(dǎo)數(shù)，稱為奇異函數(shù)

沖激函數(shù)在廣義函數(shù)中的定義
$\int_{-\infty}^{+\infty}\sigma(t)\psi(t)dt=\psi(0) \\ 有\(zhòng)int_{-\infty}^{t}\sigma(t)\psi(t)dt=\psi(0)\xi(t)$
沖激函數(shù)\sigma(t)作用與檢驗函數(shù)\psi(t)的結(jié)果是賦值為\psi(0)徽千，稱為沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)伶贰，即
$\psi(t)\sigma(t)=\psi(0)\sigma(t)$
注意積分區(qū)間是否包含積分時刻t=0

同理有
$\psi(t)\sigma(t-a)=\psi(a)\sigma(t-a)$

函數(shù)定義

普通函數(shù)

y=f(t)，將一維實數(shù)空間的數(shù)t經(jīng)過f所規(guī)定的運算映射為一維實數(shù)空間的數(shù)y罐栈。

廣義函數(shù)

選擇一類性能良好的函數(shù)\psi(t)作為檢驗函數(shù)（相當于自變量），一個廣義函數(shù)g(t)對檢驗函數(shù)空間中的每個函數(shù)\psi(t)賦予一個數(shù)值N的映射泥畅，記
$N_g(\psi(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\psi(t)dt$

沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

\sigma'(t)稱為沖激偶
$[f(t)\sigma(t)]'=f(t)\sigma'(t)+f'(t)\sigma(t)\\ f(t)\sigma'(t)=[f(t)\sigma(t)]'-f'(t)\sigma(t)\\ f(t)\sigma'(t)=[f(0)\sigma(t)]'-f'(0)\sigma(t)\\ f(t)\sigma'(t)=f(0)\sigma'(t)-f'(0)\sigma(t)$
\sigma'(t)的定義
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sigma'(t)dt=-f'(0)$
為什么用上面推導(dǎo)的式子積分結(jié)果比定義式多了一項荠诬，因為\sigma(t)是偶函數(shù)，他的導(dǎo)數(shù)\sigma'(t)是一個奇函數(shù)位仁，在0的對稱區(qū)間上積分為0

同理有
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sigma'(t-a)dt=-f'(a)$
對n階導(dǎo)數(shù)的推廣
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sigma^{(n)}(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0)$

沖激函數(shù)的尺度變化

注意柑贞，沖激函數(shù)的尺度變化時，沖擊強度也要變化

一般的聂抢，有
$\sigma(at)=\frac{1}{|a|}\sigma(t)\\ \sigma^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|a^n}\sigma^{(n)}(t)$

$對于a>0钧嘶，有\(zhòng)\ \int_{-\infty}^{+\infty}\sigma(at)\psi(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\sigma(x)\psi(\frac{x}a)\frac{dx}{|a|}=\frac1{|a|}\psi(0)\\a<0同理$

同理有
$\sigma(at-t_0)=\sigma[a(t-\frac{t_0}a)]=\frac1{|a|}\sigma(t-\frac{t_0}a)$

$當a=-1時，有\(zhòng)\ \sigma^{(n)}(-t)=(-1)^n\sigma^{(n)}(t)$

基本序列

單位階躍序列和單位脈沖序列

和信號類似
$\xi(k)=\{_{0\qquad k<0}^{1\qquad k\geq0} \\ \sum_{k={-\infty}}^{k}f(k)\sigma(k-k_0)=f(k_0)\sigma(k-k_0)$
注意節(jié)約序列k=0是取值為1
$\sigma(k)=\xi(k)-\xi(k-1) \\ \xi(k)=\sum_{i=-\infty}^k\sigma(i) \\ or \\ \xi(k)=\sum_{j=0}^k\sigma(k-j)$

加減乘運算和反轉(zhuǎn)

同一t和k進行加減乘

反轉(zhuǎn)

由f(t)得到f(-t)

以y軸為對稱軸做鏡像處理

注意平移和反轉(zhuǎn)都是對變量t進行操作
$先反轉(zhuǎn)再平移\\\qquad f(t)->f(-t)->f(-(t-2)) \\ 先平移再反轉(zhuǎn)\\\qquad f(t)->f(t+2)->f(-t+2)$

尺度變化

$f(t)->f(at)\\ a>1琳疏，收縮\\ 0<a<1有决，展開$

系統(tǒng)

信號定義：由若干相關(guān)事物組合而成具有特定功能的整體。

給定一個輸入（激勵）空盼，產(chǎn)生一個輸出（響應(yīng)）

系統(tǒng)的作用：將激勵進行加工和處理书幕，產(chǎn)生需要的輸出。

集中參數(shù)系統(tǒng)：電路尺寸<<波長

分布參數(shù)系統(tǒng)：電路尺寸與波長相近揽趾，如微波線路

系統(tǒng)的狀態(tài)：可能會被過去的輸入所影響台汇。由狀態(tài)和輸入就可以產(chǎn)生輸出。

輸入和狀態(tài)都會對輸出產(chǎn)生響應(yīng)，因此有了零輸入響應(yīng)苟呐、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)痒芝。

線性和非線性系統(tǒng)

線性：齊次性、可加性
$齊次性：y(af(t))=ay(f(t)) \\ 可加性：y(f_1(t)+f_2(t))=y(f_1(t))+y(f_2(t)) \\ 即\\ y(af_1(t)+bf_2(t))=ay(f_1(t))+by(f_2(t))$
記憶系統(tǒng)：響應(yīng)會被過去的狀態(tài)影響的系統(tǒng)

對于一個即時系統(tǒng)牵素，可由上面的方式判斷是否線性严衬，對于一個記憶系統(tǒng)，可將其分為零狀態(tài)和零輸入
$完全響應(yīng)：y(t)=T[\{f(t)\},\{x(0)\}] \\ 零狀態(tài)：y_{zs}(t)=T[\{f(t)\},\{0\}] \\ 零輸入：y_{zi}(t)=T[\{0\},\{x(0)\}]$
注意f代表激勵两波，x代表狀態(tài)瞳步，t代表時間

動態(tài)系統(tǒng)的線性判斷：

可分解性：可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的和
零狀態(tài)線性
零輸入線性

時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)

時不變系統(tǒng)：輸入延遲多久，那么輸出也延遲多久腰奋，即系統(tǒng)不隨時間改變
$y(f(t+t_0))=y_{t+t_0}$
例
$y_{zs}(t)=f(-t)\\ 令g(t)=f(t-t_0)\\ T[g(t),\{0\}]=g(-t)=f(-t-t_0)\neq y_{zs(t-t_0)}\\ 即反轉(zhuǎn)系統(tǒng)為時變系統(tǒng)$
理解f是輸入单起，t是時間是關(guān)鍵。

簡單判斷方式：

如果在輸入前出現(xiàn)變系數(shù)劣坊，或者時間上存在反轉(zhuǎn)嘀倒、展縮變換，那么為時變系統(tǒng)局冰。

線性時不變系統(tǒng)稱為LTI系統(tǒng)

積分特性和微分特性

微分特性
$y(f(t))=y(t)测蘑，有\(zhòng)\ y(f'(t))=y'(t)$
積分特性：
$y(f(t))=y(t)，有\(zhòng)\ y(f^{(-1)}(t))=y^{(-1)}(t)$

因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)：零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)在響應(yīng)的激勵之前的系統(tǒng)

例
$y(f(t))=f(t-1)$
非因果系統(tǒng)：零狀態(tài)響應(yīng)會出現(xiàn)在響應(yīng)的激勵之前的系統(tǒng)，即響應(yīng)為未來的激勵

例
$y(f(t))=f(t+1)饮怯，即y(f(1))=f(2)\\ y(f(t))=f(2t)丸冕，即y(f(1))=f(2)$

解LTI系統(tǒng)

例
$某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，初始狀態(tài)為X(0\_)挨约。已知：\\ 若X(0\_)=1，輸入因果信號f_1(t)時产雹，全響應(yīng)為\\ y_1(t)=e^{-t}+cos(\pi t)诫惭，t>0；\\ 若X(0\_)=2蔓挖，輸入因果信號f_2(t)=3f_1(t)時夕土，全響應(yīng)為\\ y_2(t)=-2e^{-t}+3cos(\pi t)，t>0瘟判；\\ 求全響應(yīng)和f_3(t)=f'_1(t)+2f_1(t-1)時怨绣，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)\\ 解：\\ 由于系統(tǒng)為LTI連續(xù)因果系統(tǒng)，有y=y_{zs}+y_{zi}\\ y=y_{zi}(x)+y_{zs}(f)\\ 即\\ y_1=y_{zi}(X(0\_))+y_{zs}(f_1(t))=y_{zi}(1)+y_{zs}(f_1)\\ y_2=y_{zi}(X(0\_))+y_{zs}(f_2(t))=y_{zi}(2)+y_{zs}(3f_1(t))=2y_{zi}(1)+3y_{zs}(f_1)\\ 即可解得y_{zi}和y_{zs}拷获，y=y_{zi}+y_{zs}\\ y_{zs}=[-4e^{-t}+cos(\pi t)]\xi(t)梨熙；乘上\xi(t)表示因果系統(tǒng)\\ 那么y_{zs}(f'_1(t))=y'_{zs}(f_1(t))=-3\sigma(t)+[4e^{-t}-\pi sin(\pi t)]\xi(t)$
注意因果系統(tǒng)中，要在結(jié)果中乘上\xi(t)刀诬。

連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

加法器咽扇、乘法器邪财、積分器

求和器表示了等式關(guān)系，從框圖寫出方程要從求和器開始质欲。

求微分方程經(jīng)典解

：齊次解+特解
$齊次解：\\ a_ny^{(n)}(t)+...+a_1y^{(1)}(t)=0\\ 有特征根方程\\ a_n\lambda^n+...+a_1\lambda^1=0\\ 解得根\lambda_n,...,\lambda_1\\ 每個\lambda構(gòu)成一個解树埠，每個解求和得到齊次解\\ 每個解得形式和根有關(guān)\\ 對于單根\lambda_k=r，解為Ce^{rt}\\ 對于二重根\lambda_m=\lambda_n=r嘶伟，解為(C_1t+C_2)e^{rt}\\ 特解：\\ f(t)=t^m怎憋，特解形式為P_mt^m+P_{m-1}t^{m-1}+...+P_0\\ f(t)=e^{\alpha t}，特解形式為：\\ Pe^{\alpha t}\qquad \alpha 不等于特征根\\ (P_1t+P_0)e^{\alpha t}\qquad \alpha 等于單重特征根\\ (P_rt^r+...+P_1t+P_0)e^{\alpha t}\qquad \alpha 等于r重特征根$

齊次解由系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定與輸入的激勵無關(guān)九昧，稱為自由響應(yīng)/固定響應(yīng)绊袋；特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強迫響應(yīng)铸鹰。

求初值

$已知微分方程癌别，y(0_-),y'(0_-)，求y(0_+),y'(0_+)或者反過來給出y(0_+)求y(0_-)\\ 例：y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)\\ y(0_-)=2\qquad y'(0_-)=0\qquad f(t)=\xi(t)\\ 求y(0_+)和y'(0_+)\\ 第一步：帶入f(t),得\\ y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2\sigma(t)+6\xi(t)\\ 方程右側(cè)含有\(zhòng)sigma(t)那么方程左邊最高階導(dǎo)數(shù)中也含\sigma(t)\\ 因此y''(t)含\sigma(t)蹋笼，y'(t)含\xi(t)展姐，y(t)連續(xù)\\ 第二步：對方程兩邊同時在(0_-,0_+)上積分,得：\\ y'(0_+)-y'(0_-)+3y(0_+)-3y(0_-)+2Y(0_+)-2Y(0_-)=2\xi(0_+)-2\xi(0_-)\\ 由于只有y''(t)中含\sigma(t)，因此只有y'(t)在t=0處發(fā)生階躍剖毯，得\\ y(0_-)=y(0_+),Y(0_-)=Y(0_+)圾笨，帶入原方程，有\(zhòng)\ y'(0_+)-y'(0_-)=2,y'(0_+)=2\\ y(0_-)=y(0_+)=2$

零輸入響應(yīng)

和輸入沒關(guān)系逊谋，由狀態(tài)產(chǎn)生擂达，因此y_zi(0+)=y(0-),f(t)=0,求零輸入響應(yīng)也就是求狀態(tài)為y(0-)的齊次解，解出零輸入響應(yīng)后要注明t>0胶滋。

零狀態(tài)響應(yīng)

和狀態(tài)無關(guān)谍婉，即y_zs(0-)=y_zs'(t)=0，再求經(jīng)典解即可镀钓。同樣注明t>0，使\sigma(t)=0镀迂，\xi(t)=1

響應(yīng)分類：

固有/自由響應(yīng)：齊次解產(chǎn)生的響應(yīng)丁溅，和特征根有關(guān)的響應(yīng)
強迫響應(yīng)：特解產(chǎn)生的響應(yīng)
暫態(tài)響應(yīng)：時間趨近于無窮大的時候，響應(yīng)趨近于0的響應(yīng)
穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)定的響應(yīng)如周期響應(yīng)和階躍響應(yīng)

沖激響應(yīng)

h(t),由單位沖激信號產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)
$y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t),f(t)=\sigma(t)\\ 分為兩步：\\ x''(t)+5x'(t)+6x(t)=f(t)\\ y(t)=x''(t)+2x'(t)+3x(t)\\ 依次求解即可\\ 這里求解時$

階躍響應(yīng)

g(t),由單位階躍信號產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)
$兩種解法探遵，法一和沖激響應(yīng)相同\\ 法二：\\ \xi(t)=\int_{-\infty}^t\sigma(\tau)d\tau\qquad \sigma(t)=\xi'(t)\\ 可以直接使用沖激/階躍響應(yīng)通過積分/微分求出另一個$

卷積

信號分解：將f(t)分解為基本信號的組合

卷積：將普通信號分割為無窮份窟赏，再積分
$\hat{f}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n\Delta)\Delta p(t-n\Delta)\\ \lim_{\Delta \to 0} \hat{f}(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\sigma(t-\tau)d\tau=f(t)*\sigma(t)\\ 將f(t)*\sigma(t)定義為卷積運算\\ \sigma(t)產(chǎn)生的響應(yīng)為h(t)\\ 那么f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\sigma(t-\tau)d\tau產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)y_{zs}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ =f(t)*h(t)$
卷積積分的嚴格定義
$已知定義在區(qū)間(-\infty,+\infty)上的兩個函數(shù)f_1(t)和f_2(t)，則定義積分\\ f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\\ 為f_1(t)與f_2(t)的卷積積分箱季，記\\ f_1(t)*f_2(t)\\ 有f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$
卷積圖解法

傅里葉變換和頻率分析

信號正交的定義
$在(t_1,t_2)區(qū)間內(nèi)定義的涯穷；兩個函數(shù)\psi_1(t),\psi_2(t)，若滿足\\ \int_{t_1}^{t_2}\psi_1(t)\psi_2^*(t)dt=0\\ 就認為\psi_1(t)和\psi_2(t)內(nèi)積為0\\ 即\psi_1(t)和\psi_2(t)在(t_1,t_2)內(nèi)正交\\ 其中\(zhòng)psi^*(t)表示\psi(t)的共軛函數(shù)藏雏，實函數(shù)的共軛函數(shù)就是它本身$

正交函數(shù)集

若n個函數(shù)在(t_1,t_2)區(qū)間內(nèi)任意兩個函數(shù)都正交拷况，則稱此函數(shù)集為區(qū)間(t_1,t_2)上的正交函數(shù)集。

標準正交函數(shù)集

若一個正交函數(shù)集中的任意一個函數(shù)與自身的內(nèi)積為1，則稱該函數(shù)集為標準正交函數(shù)集赚瘦。

完備正交函數(shù)集

在一個正交函數(shù)集外粟誓，不存在一個不為0的函數(shù)滿足該函數(shù)與該函數(shù)集中任意一個函數(shù)正交，則稱這個函數(shù)集為完備正交函數(shù)集起意。
$兩個典型的在區(qū)間(t_0,t_0+T)(T=2\pi/\Omega )上的完備正交函數(shù)集\\ 三角函數(shù)集：\{1, cos(n\Omega t), sin(n\Omega t), n=1,2,3...\}\\ 虛指數(shù)函數(shù)集：\{e^{jn\Omega t}, n=0,-1,1,-2,2...\}$

信號的分解

$對于一個(t_1,t_2)上的正交實函數(shù)集\{\psi_1(t), \psi_2(t),... \}\\ 可以將任意函數(shù)分解為該函數(shù)集中函數(shù)的正交和\\ f(t)=C_1\psi_1(t)+C_2\psi_2(t)+...+C_j\psi_j(t)+...=\sum_{j=1}^\infty C_j\psi_j(t)\\ 如何確定每一個系數(shù)C鹰服，由矢量分解推廣\\ C_j=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\psi_j(t)d(t)}{\int_{t_1}^{t_2}\psi_j^2(t)dt}=\frac 1 {K_j}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\psi_j(t)dt\\ 其中K_j=\int_{t_1}^{t_2}\psi_j^2(t)dt，對于一個標準正交函數(shù)集揽咕，K_j=1\\ 分解的項數(shù)越多悲酷，均方誤差越小，若n->\infty亲善，則均方誤差=0\\ 上述分解得到的級數(shù)稱為廣義傅里葉級數(shù)设易，系數(shù)C稱為廣義傅里葉系數(shù)$

周期信號的傅里葉級數(shù)

三角形式的傅里葉級數(shù)

$設(shè)周期信號f(t)，其周期為T逗爹，角頻率\Omega=2\pi/T\\ 當它滿足狄里赫利條件時亡嫌，它可以分解為如下的傅里葉級數(shù)\\ f(t)=\frac {a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_ncos(n\Omega t)+\sum_{n=1}^\infty b_nsin(n\Omega t)\\ 狄里赫利條件：\\ 在一個周期內(nèi)，函數(shù)只存在有限個第一類間斷點和極值點掘而，且在一周期內(nèi)函數(shù)絕對可積\\ 其中直流分量\frac {a_0} 2=\frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)dt\\ 余弦分量系數(shù)a_n=\frac 2 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)cos(n\Omega t)dt\\ 正弦分量系數(shù)b_n=\frac 2 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)sin(n\Omega t)dt\\ 由輔助角公式有：\\ f(t)=\frac {A_0} 2+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(n\Omega t+\psi_n)$

指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

$由歐拉公式將三級形式的傅里葉級數(shù)變換為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)\\ f(t)=\frac 1 2\sum_{n=-\infty}^\infty A_ne^{j\psi_n}e^{jn\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}\\ F_n=\frac 1 2A_ne^{j\psi_n}=\frac 1 2(a_n-jb_n)=\frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ F_n稱為復(fù)傅里葉系數(shù)$

兩種傅里葉級數(shù)的轉(zhuǎn)換

$三角到指數(shù)\\ F_n=\frac 1 2(a_n-jb_n)\\ 指數(shù)到三角\\ A_n=2|F_n|\\ \psi_n=\psi_n$

周期信號的頻譜

振幅/相位在頻率上的函數(shù)挟冠，稱為振幅譜/相位譜，自變量為

三角形式中的n取值為n>0袍睡，那么頻譜圖分布在正半軸知染，稱為單邊譜，指數(shù)形式中n取值為負無窮到正無窮斑胜，稱為雙邊譜

單邊譜：
$f(t)=\frac {A_0} 2+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(n\Omega t+\psi_n)$
雙邊譜：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}$
關(guān)系
$|F_n|=\frac 1 2A_n\\ \psi_n=-arctan \frac {b_n} {a_n}\\ |F_n|是n的偶函數(shù)控淡，雙邊譜的高度是單邊譜的一半；但是直流分量不變\\ \psi_n是n的奇函數(shù)止潘，雙邊相位譜由單邊相位譜直接關(guān)于零點對稱$

parseval等式

$\frac 1 T\int_0^Tf^2(t)dt=(\frac {A_0} 2)^2+\sum_{n=1}^\infty\frac 1 2A_n^2=\sum_{n=-\infty}^\infty|F_n|^2$

傅里葉變換

$對于周期信號掺炭，有F_n=\frac 1 T\int _{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ 對于非周期信號，其周期T->\infty凭戴，F(xiàn)_n->0\\ \Omega->d\omega\qquad n\Omega->\omega\\ 引入一個新的函數(shù)：頻譜密度函數(shù)\\ F(j\omega)=\lim_{T \to \infty}F_nT\\ 其含義為單位頻率上的頻譜數(shù)量\\ F(j\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt\\ 即傅里葉變換\\ F(j\omega)一般為復(fù)函數(shù)涧狮，因此記作\\ F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\psi(\omega)}\\ 其中|F(j\omega)|~\omega稱為幅度頻譜，是\omega的偶函數(shù)\\ \psi(\omega)~\omega稱為相位頻譜么夫，是\omega的奇函數(shù)$

$反傅里葉變換\\ f(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$

幾個常見函數(shù)的傅里葉變換

$f(t)=\{_{0, |t|>\frac \tau 2}^{1,|t|<\frac \tau 2}=g_\tau(t)\\ F(j\omega)=\tau Sa(\frac {\omega \tau}2)=\frac 2 \omega sin(\frac {\omega t} 2)$

$f(t)=\sigma(t)\qquad F(j\omega)=1\\ f(t)=1\qquad F(j\omega)=2\pi\sigma(\omega)\\ f(t)=\xi(t)\qquad F(j\omega)=\pi\sigma(\omega)+\frac 1{j\omega}\\ f(t)=sgn(t)\qquad F(j\omega)=\frac 2 {j\omega}\\ f(t)=\sigma'(t)\qquad F(j\omega)=j\omega$

性質(zhì)

線性

$若f_1(t)<->F_1(j\omega),f_2(t)<->F_2(j\omega)\\ 則af_1(t)+bf_2(t)<->aF_1(j\omega)+bF_2(j\omega)$

奇偶性

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 則f(-t)<->F(-j\omega)$

對稱性

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 則F(jt)<->2\pi f(-\omega)$

尺度變化

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 則f(at)<->\frac 1 {|a|}F(j\frac \omega a)\\ 其中a為非0實數(shù)$

時移特性

$若f(t)<->F(j\omega)\qquad 則f(t+t_0)<->e^{+j\omega t_0}F(j\omega)\\ 若F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\psi(\omega)}\qquad則f(t+t_0)<->|F(j\omega)|e^{j[\psi(\omega)+\omega t_0]}\\ 時移不影響幅度只影響相位者冤，相位頻譜相移\omega t$

頻移性質(zhì)

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 則e^{-j\omega_0t}f(t)<->F(j(\omega+\omega_0))\\ 其中\(zhòng)omega_0為常實數(shù)$

卷積定理

時域卷積定理

$若f_1(t)<->F_1(j\omega)\qquad f_2(t)<->F_2(j\omega)\\ 則f_1(t)*f_2(t)<->F_1(j\omega)F_2(j\omega)$

頻域卷積定理

$若f_1(t)<->F_1(j\omega)\qquad f_2(t)<->F_2(j\omega)\\ 則f_1(t)f_2(t)<->\frac 1 {2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)$

時域微積分特性

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 則f^{(n)}(t)<->(j\omega)^nF(j\omega)\\ \int_{-\infty}^tf(x)dx<->\pi F(0)\sigma(\omega)+\frac {F(j\omega)}{j\omega}\\ 其中F(0)=F(j\omega)|_{\omega=0}\int_{-\infty}^\infty f(t)dt$

頻域微積分性質(zhì)

$若f(t)<->F(j\omega)\\ 則(-jt)^nf(t)<->F^{(n)}(j\omega)\\ \pi f(0)\sigma(t)+\frac {f(t)}{-jt}<->\int_{-\infty}^\omega F(jx)dx\\ 其中f(0)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)d\omega$

能量譜

$時間(-\infty,+\infty)上信號的能量\\ E=\lim_{T \to \infty}\int_{-T}^T|f(t)|^2dt\\ 若能量有限，即0<E<\infty档痪，則稱該信號為能量信號\\ 有帕斯瓦爾方程：\\ E=\lim_{T \to \infty}\int_{-T}^T|f(t)|^2dt=\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2dt=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(j\omega)|^2d\omega\\ 有能量密度譜： E(\omega)=|F(j\omega)|^2\\ 即能量有限信號的能量譜E(\omega)與自相關(guān)函數(shù)R(\tau)是一對傅里葉變換$

功率譜

$P=\lim_{T \to \infty}\frac 1 T\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}|f(t)|^2dt\\ 若功率有限涉枫，即0<P<\infty，則稱該信號為功率信號$

周期信號的傅里葉變換

正余弦的傅里葉變換

$1<->2\pi \sigma(\omega)\\ e^{j\omega_0t}<->2\pi\sigma(\omega-\omega_0)\qquad e^{-j\omega_0}<->2\pi\sigma(\omega+\omega_0)\\ cos(\omega_0t)=\frac 1 2(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})<->\pi[\sigma(\omega-\omega_0)+\sigma(\omega+\omega_0)]$

一般信號的傅里葉變換

$f_T(t)<->2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\sigma(\omega-n\Omega)$

LTI系統(tǒng)的頻域分析

基本信號e^{j\omega t}作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

$傅里葉分析：將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和\\ 周期信號：f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}\qquad基本信號e^{jn\Omega t}\\ 非周期信號：f(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{n=-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ 頻域分析中腐螟，基本信號的定義域為(-\infty,\infty)愿汰，而t=-\infty時總可認為系統(tǒng)狀態(tài)為0\\ 因此此時的響應(yīng)均為零狀態(tài)響應(yīng)$

$設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)困后，當激勵時腳本里\omega的基本信號e^{j\omega t}時，其相應(yīng)為\\ y(t)=h(t)*e^{j\omega t}\\ y(t)=H(j\omega)e^{j\omega t}\\ 其中H(j\omega)為h(t)的傅里葉變換尼桶，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)$

一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

$f(t)<->y(t)={\scr F^{-1}}[F(j\omega)H(j\omega)]<->F(j\omega)H(j\omega)$

傅里葉變換分析法（重點）

$一個f(t)操灿，經(jīng)過一個LTI系統(tǒng)，產(chǎn)生一個y(t)泵督，如何計算y(t)\\ 求出輸入f(t)的傅里葉變換F(j\omega)\\ 求出系統(tǒng)函數(shù)H(j\omega)\\ 求零狀態(tài)響應(yīng)y(t)的傅里葉變換Y(j\omega)=F(j\omega)H(j\omega)\\ 求Y(j\omega)的傅里葉逆變換y(t)={\scr F^{-1}}[F(j\omega)H(j\omega)]\\ 對于非周期信號趾盐，{\scr F}(f(t))=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt\\ {\scr F^{-1}}(F(j\omega))=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\$

$對于周期信號，有傅里葉級數(shù)法：\\ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t}\\ y(t)=h(t)*f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n[h(t)*e^{jn\Omega t}]=\sum_{n=-\infty}^\infty F_nH(jn\Omega)e^{jn\Omega t}\\ 若f_T(t)=\frac {A_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(n\Omega t+\psi_n)\qquad H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\theta(\omega)}\\ 則有： y(t)=\frac {A_0}2H(0)+\sum_{n=1}^\infty A_n|H(jn\Omega)|cos[n\Omega t+\psi_n+\theta(n\Omega)]$

取樣

通過周期脈沖序列在連續(xù)信號上抽取出一系列離散樣本值的過程稱為取樣小腊，經(jīng)過取樣得到的信號稱為取樣信號救鲤。

沖激取樣

通過周期為T的沖激信號s(t)進行取樣，是理想的取樣方式
$s(t)=\sigma_{T_s}=\sum_{n=-\infty}^\infty \sigma(t-nt_s)<->\omega_s\sigma_{\omega_s}(\omega)=\omega_s\sum_{n=-\infty}^\infty \sigma(\omega-n\omega_s)\\ \omega_s=\frac {2\pi}{T_s}\\ F_s(j\omega)=(\frac 1{2\pi})F(j\omega)*\omega_s\sigma_{\omega s}(\omega)=\frac 1 {T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty F[j(\omega-n\omega_s)]$

矩形取樣

通過周期為T的矩形脈沖序列p(t)進行取樣秩冈，稱為矩形脈沖取樣本缠。
$s(t)=p_{T_s}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty g_\tau(t-nT_s)\\ S(j\omega)=P(j\omega)=\frac {2\pi\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac {n\omega_s\tau}2)\sigma(\omega-n\omega_s)\\ \omega_s=\Omega=\frac {2\pi}T\\ F_s(j\omega)=\frac 1 {2\pi}F(j\omega)*\frac {2\pi\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac {n\omega_s\tau}2)\sigma(\omega-n\omega_s)\\ =\frac \tau T_s\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac {n\omega_s\tau}2)F[j(\omega-n\omega_s)]$

時域取樣定理

頻域取樣定理

連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

拉普拉斯變換

定義：對于一些不滿足絕對可積的函數(shù)，不能求傅里葉變換入问，那么選擇一個合適的衰減因子e^{-\sigma t}乘以信號f(t)丹锹，使f(t)可積，從而使f()e^{-\sigma t}得傅里葉變換存在芬失。
$F_b(\sigma+j\omega)={\scr F}[f(t)e^{-\sigma t}]=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dt\\ 相應(yīng)的傅里葉逆變換\\ f(t)e^{-\sigma t}=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F_b(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ f(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty F_b(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}d\omega\\ 令s=\sigma+j\omega楣黍，d\omega=ds/j，有\(zhòng)\ F_b(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}dt\\ f(t)=\frac 1{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_b(s)e^{st}ds\\ 分別稱為雙邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯反變換棱烂，合稱為雙邊拉普拉斯變換對$

收斂域

使f(t)拉氏變換存在的\sigma取值范圍
$對于因果信號f(t)=e^{\alpha t}\xi(t)租漂，它的\sigma取值為\sigma>\alpha，收斂于\frac 1 {s-\alpha}\\ 對于反因果信號f(t)=e^{\beta t}\xi(-t)颊糜，它的\sigma取值為\sigma<\beta哩治，收斂于\frac 1{-(s-\beta)}\\ 記Re(s)為求收斂域運算\\ 一個f(t)可能對應(yīng)多個不同收斂域的F_b(s)\\ 通過F_b(s)和收斂域可以和f(t)建立一一對應(yīng)的關(guān)系$

單邊拉普拉斯反變換

對于t<0,f(t)=0的函數(shù)，有單邊拉氏變換：
$F(s)=\int_{0_-}^\infty f(t)e^{-st}dt\\ f(t)=[\frac 1{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_b(s)e^{st}ds]\xi(t)\\ 單邊拉氏變換中衬鱼，f(t)和F(s)是一一對應(yīng)的$

拉普拉斯變換的性質(zhì)

$若f_1(t)<->F_1(s)\qquad Re(s)>\sigma_1\\ f_2(t)<->F_2(s)\qquad Re(s)>\sigma_2\\ f(t)<->F(s)\qquad Re(s)>\sigma\\ 線性：\\ a_1f_1(t)+a_2f_2(t)<->a_1F_1(s)+a_2F_2(s)\qquad Re(s)>max(\sigma_1,\sigma_2)\\ 尺度變換：\\ f(at)<->\frac 1 aF(\frac s a)\qquad Re(s)>a\sigma\\ 時移：\\ 對t_0>0业筏，有\(zhòng)\ f(t-t_0)\xi(t-t_0)<->e^{-st_0}F(s)，Re(s)>\sigma\\ 復(fù)頻域特性：\\ 對復(fù)常數(shù)s_a=\sigma_a+j\omega_a鸟赫，有\(zhòng)\ f(t)e^{s_at}<->F(s-s_a)\qquad Re(s)>\sigma+\sigma_a\\ 時域微分：\\ f'(t)<->sF(s)-f(0_-)\qquad Re(s)>\sigma\\ 時域積分：\\ 對于因果信號蒜胖，若f^{(n)}(t)<->F(s)\\ 則f(t)<->\frac {F(s)}{s^n}\\ s域微分積分：\\ -tf(t)<->\frac {dF(s)}{ds}\\ \frac {f(t)}t<->\int_s^\infty F(\eta)d\eta\\ 時域卷積定理：\\ f_1(t)*f_2(t)<->F_1(s)F_2(s)\\ 復(fù)頻域卷積定理：\\ f_1(t)f_2(t)<->\frac 1 {2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F_1(\eta)F_2(s-\eta)d\eta\\ 初值定理：\\ 若f(t)不含\sigma(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，那么有：\\ f(0_+)=\lim_{t \to 0_+}f(t)=\lim_{s \to \infty}sF(s)\\ 終值定理：\\ 若f(t)當t->\infty時存在惯疙，且\sigma<0，那么有：\\ f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$

拉普拉斯逆變換

$對于一個有理分式F(s)妖啥，有：\\ F(s)=\frac{a_ms^m+...+a_0s^0}{b_ns^n+...+b_0s^0}\\ 若m>=n霉颠，即F(s)為假分式，有：\\ F(s)=P(s)+\frac{B(s)}{A(s)}\\ P(s)可以反變換后由沖激函數(shù)組成荆虱，這里討論\frac{B(s)}{A(s)}的反變換\\ 首先令A(yù)(s)=0蒿偎，求出n個特征根朽们，這n個特征根p_i稱為F(s)的極點\\ 若F(s)沒有重根，那么有\(zhòng)\ \frac{B(S)}{A(S)}=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+...+\frac{K_i}{s-p_i}+...+\frac{K_n}{s-p_n}\\ K_i=(s-p_i)F(s)|_{s=p_i}\qquad {\scr L}^{-1}[\frac 1{s-p_i}]=e^{p_it}\xi(t)$

復(fù)頻域分析

微分方程的變換解

$第一步：兩邊同時取拉氏變換\\ 求出Y_{zs}和Y_{zi}\\ 逆變換求出y_{zs}和y_{zi}$

系統(tǒng)函數(shù)

$H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{F(s)}=\frac{B(s)}{A(s)}\\ 它只與系統(tǒng)的固有特性有關(guān)诉位，與輸入骑脱、初始狀態(tài)無關(guān)\\ H(s)={\scr L}[h(t)]$

系統(tǒng)函數(shù)

$對于系統(tǒng)函數(shù)H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}，\\ A(s)=0的解稱為系統(tǒng)的極點\\ B(s)=0的解稱為系統(tǒng)的零點$

若系統(tǒng)函數(shù)的極點在左半開平面

t->\infty時苍糠，響應(yīng)趨近于0叁丧，屬于暫態(tài)響應(yīng)
單極點在虛軸上p=0或p=+-j\beta

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)
r重極點在虛軸上

遞增函數(shù)
極點在右半平面

遞增函數(shù)

穩(wěn)定系統(tǒng)的判斷

三個充要條件
- 絕對可積
- 極點都在左半平面
- 收斂域包含虛軸
一個必要條件
$H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}\\ A(s)=a_ns^n+...+a_0s^0\\ 要求a_i>0$

流圖

節(jié)點：變量/信號
支路：有向線段
支路增益：支路上的放大倍數(shù)
源點：只有支出沒有匯入的點
匯點：只有匯入沒有支出的點
通路：路徑
閉通路：環(huán)
不接觸回路：沒有公共節(jié)點的回路
前向通路：從源點到匯點的開通路

梅森公式
$H(s)=\frac 1 \Delta\sum_{i}p_i\Delta_i\\ 其中i為前向通路數(shù)量\\ p_i為第i條通路的前向增益\\ \Delta=1-\sum_jL_j+\sum_{m,n}L_mL_n-...稱為特征行列式 \\ L_j為為第i條回路的增益，L_mL_n為兩條不相交回路的增益積 \Delta_i為第i條通路的剩余特征行列式$

零極點配置的作用

極點增益作用
零點抑制作用

信號與系統(tǒng)

信號

信號的分類

確定信號與不確定信號

確定信號

不確定信號

連續(xù)信號和離散函數(shù)

連續(xù)函數(shù)

離散函數(shù)

周期和非周期信號

連續(xù)信號

離散信號

能量信號與功率信號

因果信號的反因果信號

基本信號

階躍信號

沖激函數(shù)

函數(shù)定義

普通函數(shù)

廣義函數(shù)

沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

沖激函數(shù)的尺度變化

基本序列

單位階躍序列和單位脈沖序列

加減乘運算和反轉(zhuǎn)

反轉(zhuǎn)

尺度變化

系統(tǒng)

線性和非線性系統(tǒng)

時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)

積分特性和微分特性

因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

解LTI系統(tǒng)

連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

求微分方程經(jīng)典解

求初值

零輸入響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)

響應(yīng)分類：

沖激響應(yīng)

階躍響應(yīng)

卷積

傅里葉變換和頻率分析

信號的分解

周期信號的傅里葉級數(shù)

三角形式的傅里葉級數(shù)

指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

兩種傅里葉級數(shù)的轉(zhuǎn)換

周期信號的頻譜

parseval等式

傅里葉變換

幾個常見函數(shù)的傅里葉變換

性質(zhì)

線性

奇偶性

對稱性

尺度變化

時移特性

頻移性質(zhì)

卷積定理

時域卷積定理

頻域卷積定理

時域微積分特性

頻域微積分性質(zhì)

相關(guān)定理

能量譜

功率譜

周期信號的傅里葉變換

正余弦的傅里葉變換

一般信號的傅里葉變換

LTI系統(tǒng)的頻域分析

基本信號e^{j\omega t}作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

傅里葉變換分析法（重點）

取樣

沖激取樣

矩形取樣

時域取樣定理

頻域取樣定理