專題：正定矩陣分解與直和

正定矩陣分解

例題

例2.1若 $A$ 為實(shí)對稱正定矩陣肯尺，則存在唯一的正定矩陣 $S$ 病线，使得 $A=S^2$ .
四種解法
例2.4（華東師大07）存在唯一的正定矩陣 $C$ 使得 $A=C^m$ 伺糠，其中 $m$ 為任意自然數(shù).
兩種解法

參考文獻(xiàn)

http://www.52gd.org/?p=334

直和

例題

例2.5（西南師大03伯病，上海大學(xué)05柜候，華中科技04）設(shè) $A$ 為 $n$ 階方陣， $W_{1}=\left\{x \in R^{n} | A x=0\right\}, W_{2}=\left\{x \in R^{n} |(A-E) x=0\right\}$
證明 $A$ 為冪等矩陣的充要條件為 $R^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ .
例2.8（江蘇大學(xué)04灰羽，大連理工02，南京理工08）設(shè) $V_1鱼辙，V_2$ 分別為齊次線性方程組 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 與 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ 的解空間.證明 $R^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ .
例2.12（浙江師大03）設(shè) $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{t}$ 為 $n$ 維線性空間 $V$ 的線性變換廉嚼，滿足
（1） $\sigma_{i}^{2}=\sigma_{i}, i=1,2, \cdots, t$ .
（2） $\sigma_{i} \sigma_{j}=0, i \neq j, i, j=1,2, \cdots, t$ 證明
$V=I m \sigma_{1} \oplus I m \sigma_{2} \oplus \cdots \oplus I m \sigma_{t} \oplus \bigcap_{i=1}^{n} \operatorname{ker} \sigma_{i}$

參考文獻(xiàn)

http://www.52gd.org/?p=300

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