三門(mén)問(wèn)題（Monty Hall problem）亦稱(chēng)為蒙提霍爾問(wèn)題蒙特霍問(wèn)題或蒙提霍爾悖論，也叫車(chē)羊問(wèn)題错沽，因?yàn)?008年的好萊塢電影《決勝21點(diǎn)》再次引發(fā)關(guān)注簿晓。
這個(gè)問(wèn)題出自美國(guó)的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。問(wèn)題名字來(lái)自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）千埃。
如果你已經(jīng)知道答案憔儿，可以直接跳轉(zhuǎn)到下面新思路部分。
游戲規(guī)則
- 參賽者會(huì)看見(jiàn)三扇關(guān)閉了的門(mén)放可，其中一扇的后面有一輛汽車(chē)谒臼，選中后面有車(chē)的那扇門(mén)可贏得該汽車(chē)算是成功，另外兩扇門(mén)后面則各藏有一只山羊耀里，選中了得山羊算是失敗蜈缤。
- 當(dāng)參賽者選定了一扇門(mén)，但未去開(kāi)啟它的時(shí)候冯挎，節(jié)目主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇底哥，露出其中一只山羊（主持人當(dāng)然知道哪一扇門(mén)后面有汽車(chē)）。
- 主持人其后會(huì)問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門(mén)房官。
問(wèn)題是：換另一扇門(mén)會(huì)否增加參賽者贏得汽車(chē)的機(jī)率趾徽？
我們先空幾行，大家認(rèn)真思考一下翰守，換孵奶，還是不換？換有沒(méi)有意義潦俺？
拒课。
徐勃。
。
早像。
僻肖。
。
卢鹦。
臀脏。
。
冀自。
揉稚。
。
熬粗。
搀玖。
。
驻呐。
灌诅。
。
含末。
猜拾。
如果是我，肯定會(huì)換佣盒，不是因?yàn)槲抑罁Q有什么好處挎袜，而是直覺(jué)告訴我，換沒(méi)什么壞處肥惭，不是嗎盯仪？——但這不是答案。
據(jù)說(shuō)當(dāng)時(shí)一位數(shù)學(xué)博士指出選擇換將讓獲得汽車(chē)的概率翻倍务豺，并洋洋灑灑寫(xiě)了4個(gè)專(zhuān)欄試圖解釋清這個(gè)事情磨总。但他的解答遭到了公眾的強(qiáng)烈反對(duì)，公眾認(rèn)為博士的解答完全違反了常識(shí)笼沥，是完全錯(cuò)誤的蚪燕。
——所以，如果你也認(rèn)為換不換無(wú)所謂奔浅，那么也不用有任何心理壓力馆纳。
概率論
概率的基本定義就是：
勝率=獲勝的可能數(shù)/全部可能數(shù)
從這個(gè)出發(fā)，我們只要對(duì)比一下不換和換兩種情況的勝率就可以知道結(jié)果了汹桦。
如果不換鲁驶，那么就是隨機(jī)三選一問(wèn)題，每個(gè)門(mén)后面是汽車(chē)的可能性都是1/3舞骆。
如果換钥弯，那么就復(fù)雜一點(diǎn)：
- 開(kāi)始選車(chē)門(mén)径荔，主持人開(kāi)了羊門(mén)A，選擇換脆霎，得到羊門(mén)B总处。失敗。
- 開(kāi)始選羊門(mén)A睛蛛，主持人開(kāi)了羊門(mén)B鹦马，選擇換，得到車(chē)門(mén)忆肾。成功荸频。
- 開(kāi)始選羊門(mén)B，主持人開(kāi)了羊門(mén)A客冈，選擇換旭从，得到車(chē)門(mén)。成功场仲。
所以選擇換的成功率是2/3遇绞，是不換（也就是第1個(gè)情況，1/3）的兩倍燎窘。
你可以通過(guò)百度，在很多地方找到這個(gè)經(jīng)典的解答方法蹄咖。
但你有沒(méi)有懷疑過(guò)它褐健？
為什么沒(méi)有第4種情況：
- 開(kāi)始選車(chē)門(mén)，主持人開(kāi)了羊門(mén)B澜汤，選擇換蚜迅，得到羊門(mén)A。失敗俊抵。
如果這樣谁不，那么選擇換的獲勝可能就變成了1/2，要低于上面的2/3徽诲。
情況4其實(shí)是第一種情況的變體刹帕。但情況3也明顯是2的變體啊，為什么就要計(jì)算谎替？
事情并沒(méi)有結(jié)束偷溺，為什么我們只考慮【車(chē)門(mén)-羊門(mén)A-羊門(mén)B】這個(gè)情況，而似乎沒(méi)有考慮其他順序钱贯，比如【羊門(mén)A-車(chē)門(mén)-羊門(mén)B】的情況挫掏？
這是三個(gè)門(mén)的問(wèn)題，情況也不多秩命，我們可以直接羅列一下尉共，數(shù)數(shù)就知道概率褒傅。如果是5門(mén)8門(mén)256門(mén)怎么辦？
這些問(wèn)題大概都要好好學(xué)習(xí)概率論才能弄明白了袄友。我學(xué)的不太好殿托，至今沒(méi)有完全想清楚，希望大家可以在下面留言一起討論杠河。
新思路
大家一定是來(lái)找答案的碌尔，而且要找到清晰簡(jiǎn)單透徹的答案，至少要比上面的經(jīng)典解答要好的東西券敌。
三門(mén)問(wèn)題實(shí)際是一個(gè)會(huì)變化的概率的計(jì)算方法唾戚。概率的變化是整個(gè)世界運(yùn)作的最基本表象。
我們先看極簡(jiǎn)的概率變化例子：
孩子把雙手握著拳頭藏在背后待诅，讓你猜唯一的糖果在左手還是右手里面叹坦。
我們都知道左手握著糖果的的概率是50%，右手也是50%卑雁，相加是100%募书。
不管你是否猜對(duì)甚至根本就沒(méi)猜，這時(shí)候孩子把左手伸出來(lái)張開(kāi)测蹲，是空的莹捡。那么請(qǐng)問(wèn)，此時(shí)孩子右手握著糖果的概率是多少扣甲？
100%篮赢！
什么？你沒(méi)感到驚訝嗎琉挖？
剛才右手的概率還是50%启泣，怎么突然變成100%了？難道還不夠神奇嗎示辈？
如果你沒(méi)感覺(jué)到神奇寥茫，那么你來(lái)解釋一下為什么概率會(huì)突然增加了。
概率遷移
我不知道這個(gè)問(wèn)題在概率論里面應(yīng)該怎么描述或者求解矾麻∩闯埽——因?yàn)槲腋怕收摯_實(shí)學(xué)的不好，也正是因?yàn)檫@個(gè)射富，恰好讓我可以用更普通的思路來(lái)談?wù)撍?/p>
我的觀點(diǎn)是膝迎，在概率的定義范圍內(nèi)，各個(gè)對(duì)象或情況之間的概率是會(huì)遷移的胰耗。概率的遷移就是世界的未知和已知的轉(zhuǎn)換過(guò)程限次。
比如上面的猜手里糖果的問(wèn)題，概率的定義范圍是兩只手，每只50%概率卖漫，一旦其中一只空著的手打開(kāi)费尽，那么它就從未知變?yōu)橐阎颈硎舅淮_定性的概率就會(huì)向其他未知對(duì)象遷移羊始。我們可以從下面的公式看明白這個(gè)過(guò)程：
左手（已經(jīng)張開(kāi)旱幼，空）的概率減少50%，變?yōu)?%突委。
右手（還沒(méi)張開(kāi)柏卤，未知）的概率增加50%，變?yōu)?00%匀油。
雙手相加仍然是100%缘缚，符合概率定義的范圍內(nèi)所有可能相加是100%的公理。
我們把問(wèn)題推進(jìn)那么一點(diǎn)點(diǎn)敌蚜，比如說(shuō)孩子有三只手（...就算是個(gè)基因突變的孩子吧）桥滨，同樣只有一顆糖握在其中一只手里面。我們猜中的概率就變?yōu)?/3弛车。如果孩子三只手其中的一只張開(kāi)齐媒，是空的，那么這只手原本的1/3概率將平均轉(zhuǎn)移到另外兩只手纷跛，每只有糖的概率就是1/2喻括。
手A（張開(kāi)，空）的概率減少1/3贫奠；
手B（未知）概率增加1/3的一半双妨，即1/3+1/6=1/2;
手C（未知）概率增加1/3的一半，即1/3+1/6=1/2;
當(dāng)我們把概率定義范圍當(dāng)做一個(gè)系統(tǒng)來(lái)考慮的時(shí)候叮阅，情況就清晰了。
三門(mén)問(wèn)題的新解答
我們用概率遷移來(lái)思考這個(gè)三門(mén)問(wèn)題就簡(jiǎn)單了泣特。
開(kāi)始選擇之后浩姥，三個(gè)門(mén)都沒(méi)有打開(kāi)，所以有車(chē)的勝率都是1/3状您。
然后主持人在剩下的兩個(gè)門(mén)中選擇一個(gè)羊門(mén)打開(kāi)勒叠，就仿佛孩子把藏在身后的兩只手打開(kāi)那個(gè)空著的手一樣，被打開(kāi)的門(mén)的概率會(huì)完全遷移到另外一個(gè)未知的門(mén)上膏孟，那個(gè)門(mén)的勝率一下子飆升到2/3眯分。
可能還會(huì)有另外一個(gè)疑問(wèn)，為什么打開(kāi)的羊門(mén)的概率只會(huì)向另外一個(gè)未選的未知門(mén)遷移柒桑，而不是平均遷移給其他兩個(gè)門(mén)（已選門(mén)+未選未知門(mén)）弊决？
這個(gè)就是概率的定義范圍問(wèn)題了，因?yàn)橹鞒秩耸菑氖Ｏ碌膬蓚€(gè)門(mén)中選擇打開(kāi)一個(gè)，這個(gè)定義范圍并不包含已經(jīng)被我們選擇的那個(gè)飘诗，所以當(dāng)然不會(huì)遷移過(guò)去与倡。
兩個(gè)未選的門(mén)的總概率是1/3+1/3=2/3;
我們把2/3當(dāng)做一個(gè)整體來(lái)考慮，無(wú)論如何處理昆稿，這個(gè)2/3都不會(huì)變纺座。
實(shí)際上，當(dāng)主持人打開(kāi)一個(gè)羊門(mén)（孩子張開(kāi)一個(gè)空拳頭）的時(shí)候溉潭，這個(gè)羊門(mén)的概率2/3x50%就會(huì)完全轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)未選未知門(mén)上净响，得到2/3x50%+2/3x50%=2/3這樣的大概率。
換而言之喳瓣，如果主持人是從三個(gè)門(mén)（包含你選的那個(gè)門(mén)）中選擇一個(gè)羊門(mén)打開(kāi)馋贤，那么問(wèn)你剩下兩個(gè)門(mén)選哪個(gè)交換，那么這時(shí)候不管選哪個(gè)門(mén)交換夫椭，你的勝率肯定是50%掸掸。這種情況，打開(kāi)的羊門(mén)會(huì)把自身的1/3概率平均轉(zhuǎn)移到兩個(gè)未開(kāi)門(mén)上蹭秋∪鸥叮——實(shí)際這個(gè)玩法和直接給你一個(gè)羊門(mén)一個(gè)車(chē)門(mén)來(lái)猜是一毛一樣的。
同樣仁讨，我們也可以用這個(gè)思路去解決更加復(fù)雜的5門(mén)8門(mén)128門(mén)甚至選8次開(kāi)9次等等問(wèn)題羽莺。
三個(gè)囚犯問(wèn)題
和三門(mén)問(wèn)題相似的一個(gè)問(wèn)題是三個(gè)囚犯問(wèn)題：
1 有ABC三個(gè)死囚要被處決，但是其中有一個(gè)人會(huì)被赦免洞豁。
1 處決前A囚犯來(lái)問(wèn)獄警盐固，誰(shuí)會(huì)被處死。
1 獄警說(shuō)丈挟，我不可以透露關(guān)于你生死的事情刁卜，但是我可以告訴你BC中，B會(huì)被處死曙咽。
1 問(wèn)題是蛔趴，這時(shí)候A被赦免的概率有多大？C被赦免的概率又有多大例朱。
這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于獄警并沒(méi)有談?wù)摰紸的生死孝情，所以，最后A的赦免概率不會(huì)變?nèi)匀皇?/3洒嗤，但B是死定了箫荡，赦免概率是0，那么按照整體系統(tǒng)概率是1的算法渔隶，C被赦免的概率是1-1/3=2/3羔挡。
但是矛盾分歧就在于獄警透露的信息是否真的無(wú)關(guān)A的生死呢？
有人認(rèn)為A詢(xún)問(wèn)得知B被處死時(shí)候，A的赦免概率會(huì)增長(zhǎng)為1/2婉弹，但這是不可能的睬魂，因?yàn)锽C一定有一個(gè)被處死（也可能兩個(gè)都死），換句話說(shuō)镀赌，A問(wèn)或者不問(wèn)氯哮，獄警都可以從BC中說(shuō)一個(gè)會(huì)處死，這是100%概率商佛。
那么就是說(shuō)喉钢，A問(wèn)或者不問(wèn)，根本對(duì)A自己的不確定性概率不產(chǎn)生影響良姆，獄警講話也可以完全不考慮A是否發(fā)問(wèn)肠虽，因?yàn)楠z警只關(guān)注BC，從里面選一個(gè)死的說(shuō)出來(lái)玛追。
——就是說(shuō)税课，A這個(gè)門(mén)一開(kāi)始就被獄警排除了，獄警只是在BC兩個(gè)門(mén)中打開(kāi)一個(gè)死門(mén)給A看痊剖。A是局外人韩玩。
而對(duì)于局內(nèi)人C來(lái)說(shuō)就不同，因?yàn)锽C這個(gè)占2/3存活概率的系統(tǒng)中有50%變?yōu)橐阎˙死定）陆馁，概率發(fā)生轉(zhuǎn)移找颓，C的存活概率直接提高到2/3x(50%+50%)=2/3。
當(dāng)然叮贩，這個(gè)聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)不合常理击狮，其實(shí)只是我們不習(xí)慣把BC當(dāng)做一個(gè)子系統(tǒng)考慮。如果獄警只是隨機(jī)從ABC中說(shuō)出一個(gè)死的B益老，那么概率就會(huì)平均轉(zhuǎn)移到AC彪蓬，每人各1/2。這種玩法比較難操作：
- A要求獄警在三個(gè)紙條上寫(xiě)好每個(gè)人名字及生死捺萌，然后獄警把要處死的兩個(gè)拿出來(lái)寞焙。
- 閉上眼兩個(gè)選一個(gè)打開(kāi)給A看。
- A看到紙條上寫(xiě)著：B處死互婿。
- 這時(shí)候A的存活概率是1/2，C也是1/2辽狈。
注意到了嗎慈参，這個(gè)玩法A在不在場(chǎng)完全沒(méi)有關(guān)系啊，獄警自己玩就夠了刮萌。把三個(gè)紙條拿出一個(gè)死掉的驮配，然后自己猜另外兩個(gè)紙條的每個(gè)存活率。
認(rèn)知建模
有同學(xué)問(wèn)我，人是怎么學(xué)習(xí)的壮锻。我想可以這樣講琐旁，任何學(xué)習(xí)都是建模過(guò)程。
我們不停地試圖對(duì)現(xiàn)實(shí)中遇到的各種情況建立因果模型猜绣，然后不斷地用已經(jīng)建立的因果模型來(lái)預(yù)測(cè)新的情況灰殴，然后再不斷修正完善這個(gè)因果模型。
人類(lèi)有個(gè)特殊的能力就是推理掰邢，簡(jiǎn)單說(shuō)就是用模型建造模型的能力牺陶。比如說(shuō)用數(shù)條數(shù)學(xué)公理推導(dǎo)出一大堆各式各樣的數(shù)學(xué)定理。根據(jù)這個(gè)我把模型分為兩類(lèi)：
基礎(chǔ)模型：基于現(xiàn)實(shí)的辣之、基礎(chǔ)的掰伸，公理性的、常識(shí)性的怀估，無(wú)法用其他模型推導(dǎo)出的那些模型狮鸭。
高級(jí)模型：無(wú)需現(xiàn)實(shí)參照就可以被基礎(chǔ)模型直接推導(dǎo)出來(lái)的那些模型。
最簡(jiǎn)單的建模是建造圖式（Pattern,翻譯過(guò)來(lái)是模式多搀、圖案)歧蕉，比如我們的機(jī)器學(xué)習(xí)識(shí)別人臉，就是計(jì)算機(jī)試圖把所有人臉圖片統(tǒng)一成一個(gè)抽象的圖案酗昼，用來(lái)指導(dǎo)“人臉”這個(gè)抽象概念的對(duì)應(yīng)實(shí)體信息廊谓。
對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)，好的模型就是易于理解的麻削，也就是易于用基礎(chǔ)模型推導(dǎo)證明的蒸痹，當(dāng)然最好就是用大家都知道的公理來(lái)推導(dǎo)的，因?yàn)楣硎侨祟?lèi)認(rèn)知的最基礎(chǔ)最根本的模型呛哟。
而不友好的模型則是推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜叠荠，或者使用大量高級(jí)模型來(lái)推導(dǎo)的，如果你還沒(méi)知道其中的某個(gè)高級(jí)模型環(huán)節(jié)扫责，那么這個(gè)推導(dǎo)就無(wú)法理解榛鼎。
比如要搞機(jī)器學(xué)習(xí)，就要學(xué)一大堆的算法鳖孤、定理者娱、公式，什么貝葉斯苏揣，馬爾科夫黄鳍，blablabla...這些就是不夠友好的模型，學(xué)起來(lái)比較亂比較難平匈，需要好好梳理分類(lèi)框沟，拆分成比較簡(jiǎn)單一些的模型來(lái)學(xué)習(xí)藏古。
相對(duì)來(lái)說(shuō)，深度學(xué)習(xí)就好一些忍燥，因?yàn)樗噲D用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決幾乎所有問(wèn)題拧晕，而且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身的算法也幾乎都是基于常識(shí)性的數(shù)學(xué)建立的。當(dāng)然梅垄，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也延伸出更多的高級(jí)模型CNN厂捞，RNN等等，要學(xué)好也是極難的哎甲。
薛定諤貓
可以百度到薛定諤貓的具體描述蔫敲。
簡(jiǎn)單說(shuō)，就是有個(gè)箱子炭玫，放了一只貓和一個(gè)足以殺死貓的厲害武器（核武器奈嘿？），這個(gè)武器由一個(gè)量子來(lái)控制是否觸發(fā)吞加，由于量子的不確定性裙犹，所以可能觸發(fā)了也可能沒(méi)觸發(fā)，也就是說(shuō)箱子里的貓一直處于50%死亡50%存活的狀態(tài)衔憨。
雖死猶生貓叶圃。
這種貓是不能存在的，我們常識(shí)認(rèn)為盒子里的貓一定處于某種唯一的狀態(tài)践图，要么死要么活掺冠。但量子力學(xué)認(rèn)為這種不確定性的半死半活貓本身就是一種合理的狀態(tài)，是世界的本質(zhì)狀態(tài)码党。
聽(tīng)起來(lái)就比較扯德崭。但這是事實(shí)。
我們上面提到的概率遷移揖盘，也適合各種情況之間的轉(zhuǎn)移（打開(kāi)一瞬眉厨，存活狀況概率消失，完全轉(zhuǎn)移到死亡情況了）兽狭。但也只是解決開(kāi)箱之后的情況憾股，并不能干涉開(kāi)箱之前。就仿佛在孩子張開(kāi)一只手之前箕慧，我們腦海中的認(rèn)知就是每只手都是50%有糖50%無(wú)糖的狀態(tài)服球。
我相信，概率的變化是個(gè)很麻煩的事情颠焦，也是整個(gè)世界運(yùn)作的根本斩熊，是個(gè)很值得玩味研究的有趣東西。
致力于讓一切變得簡(jiǎn)單
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