這次想討論一下2D情況下顯格式和隱格式的FVM處理唇兑，并說(shuō)三種不同于TDMA的迭代方法剥险！
1. 2D：
有了之前1D的知識(shí)儲(chǔ)備，2D就好理解了数焊。
照貓畫虎，寫出2D情況下的方程：
?
模型參考：
再一次假設(shè)當(dāng)我們把控制體無(wú)窮小分開(kāi)時(shí)崎场，物理量符合線性分布佩耳，這樣利用線性插值來(lái)近似，時(shí)間上采用顯格式形式谭跨，有：
同樣對(duì)于上面的式子干厚，我們寫成系數(shù)的形式：
觀察上面的式子，依然可以利用1D的思想螃宙，中心控制體是受到周圍四個(gè)控制體影響的蛮瞄，是他們的加權(quán)平均值。
????? ? 于是谆扎，考慮以下的問(wèn)題：有一個(gè)3米*2米的矩形挂捅。
我們將這個(gè)面分成5*5的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。
顯式格式：
類似于1D情況燕酷，2D我們也在邊界外側(cè)引入虛擬點(diǎn)籍凝。套用（3）式，先對(duì)于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)進(jìn)行賦值計(jì)算：
對(duì)于T11角節(jié)點(diǎn):
很好理解苗缩，距離縮小一半饵蒂，影響程度擴(kuò)大一半。
對(duì)于T12邊界節(jié)點(diǎn)：
對(duì)于這三類節(jié)點(diǎn)（內(nèi)部節(jié)點(diǎn)酱讶，角節(jié)點(diǎn)退盯，邊界節(jié)點(diǎn)），全部按照各自思路來(lái)計(jì)算泻肯，這樣一共得到25個(gè)公式渊迁。
各個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度，如下圖（當(dāng)然了灶挟，網(wǎng)格越密結(jié)果越精確琉朽。）：
隱格式：
想著重說(shuō)一下隱格式的處理：
同樣的柠傍，利用（4）式將表達(dá)式表示成系數(shù)形式：
將未知量和已知量分開(kāi)表示峭梳，如（6）式：
這樣的話瞧剖，如果你代入數(shù)據(jù)整理积蔚，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的系數(shù)矩陣就是一個(gè)五對(duì)角稀疏矩陣。類比于1D情況耕漱，求解未知的系數(shù)矩陣的方法算色，TDMA是否在2D情況下派上用場(chǎng)呢？答案是否定的螟够，三角追趕法只適用于三對(duì)角矩陣灾梦，所以五對(duì)角稀疏矩陣得另外找方法。
除了三角追趕法妓笙，《數(shù)值分析》中的還有Guass消去法若河，假設(shè)我們的模型網(wǎng)格非常多，千萬(wàn)數(shù)量級(jí)给郊。它和三角追趕法的不同是：消元法隨著方程個(gè)數(shù)的增加牡肉，計(jì)算量超線性增大，但是TDMA算法計(jì)算量和方程個(gè)數(shù)是線性增加的淆九。所以，歸根結(jié)底毛俏，消元法就是普通的手算解決一個(gè)方程組就行炭庙，工程計(jì)算消元法實(shí)在是計(jì)算量太大！
雖然精確解無(wú)望煌寇，那么近似解的迭代法如何焕蹄？
對(duì)于（6）式進(jìn)行修改：
這完全就可以用迭代的思想取求解，同一個(gè)時(shí)間下一共有25個(gè)Tp阀溶，最開(kāi)始假設(shè)一組TE腻脏、TW、TN银锻、TS永品，例如：算出一個(gè)T1，1之后緊接著帶入到T1击纬，2的公式中鼎姐，之后類推同理...直到每個(gè)控制體的溫度迭代前后的值達(dá)到誤差范圍之內(nèi)為止！
?????在這一段過(guò)程中更振，迭代前后的未知量的變化量就是“殘差”炕桨！如果說(shuō)最后的迭代過(guò)程式收斂的，殘差應(yīng)該是越來(lái)越小最后趨于0的肯腕，如果熟悉Fluent等商用軟件献宫，對(duì)這個(gè)概念應(yīng)該不陌生。但是對(duì)于2D情況來(lái)說(shuō)实撒，因?yàn)橐还灿泻芏嗫刂企w在依次迭代姊途，每個(gè)控制體都有自己的殘差帖池，對(duì)于每一個(gè)來(lái)說(shuō)，迭代前后的殘差叫做：絕對(duì)殘差吭净。但是整體來(lái)看睡汹，就本例來(lái)說(shuō)，25個(gè)控制體寂殉，25個(gè)方程囚巴，一共有25個(gè)絕對(duì)殘差。如果將這25個(gè)殘差寫成向量形式友扰，又該如何描述整體的殘差呢彤叉？有兩種表述方法：1.Rmax,n=max(Rabs,n)，即找25個(gè)絕對(duì)殘差中的最大值l村怪；2.Rrms,n將每個(gè)絕對(duì)殘差進(jìn)行均方根計(jì)算秽浇，這叫做均方根殘差。
可以發(fā)現(xiàn)甚负，不管隱格式還是顯格式柬焕，最后的結(jié)果必定是一樣的！
2.幾種迭代的討論：
對(duì)于線性方程組梭域，最常見(jiàn)的就是Jacobi和Guass-Seidel還有SOR法斑举。這里利用之前《數(shù)值傳熱學(xué)》課中的一個(gè)小作業(yè)為例，先用有限差分的思想說(shuō)一下這三種方法病涨。之后再討論一下利用Guass-Seidel在FVM時(shí)的應(yīng)用富玷。
四邊的邊界值已知，給中間6點(diǎn)一個(gè)初始值：假設(shè)給的全部為0.
?????對(duì)于拉普拉斯離散方程的求解既穆，可以運(yùn)用Jacobi迭代或者Gauss-Seidel迭代赎懦，還有SOR法。
2.1? Jacobi:
先用假設(shè)的值計(jì)算6點(diǎn)溫度幻工，利用公式：
?????將每一個(gè)點(diǎn)都計(jì)算一遍励两。這時(shí)，每個(gè)點(diǎn)的溫度都得到了一次更新但還不是穩(wěn)定時(shí)候的結(jié)果会钝，仍然需要第二次更新伐蒋，同樣利用的（1）式。就這樣迁酸，每一次迭代更新先鱼，都會(huì)得到一組新計(jì)算出來(lái)的值，直到迭代前后的數(shù)值之間的誤差非常小奸鬓，滿足誤差要求為止焙畔，所以迭代法就是近似解而非精確解。
這里我設(shè)置的誤差為（10^-6）,可以看到Jacobi迭代的結(jié)果：34次迭代完畢：
2.2? Guass-Seidel迭代
同樣上述例子串远，同樣內(nèi)部點(diǎn)的初始值為0宏多。
第一次迭代儿惫，我要計(jì)算1點(diǎn)的值，利用公式（1）伸但，算完之后肾请，計(jì)算2點(diǎn)的值，仍然利用（1）只不過(guò)計(jì)算2點(diǎn)的公式中要將剛剛算出的1點(diǎn)值立馬用起來(lái)帶入到2點(diǎn)計(jì)算里更胖；計(jì)算3點(diǎn)铛铁，要立馬將1，2點(diǎn)剛剛算出的值帶入用來(lái)計(jì)算3點(diǎn)却妨；往后每個(gè)點(diǎn)都如此饵逐；
?????第一次迭代結(jié)束之后的每個(gè)點(diǎn)數(shù)值肯定不會(huì)是最終的解，那么就得第二次彪标、第三次倍权、.....迭代，直到迭代前后的數(shù)值之間的誤差非常小捞烟，滿足誤差要求為止薄声，所以迭代法就是近似解而非精確解。
（可以明顯發(fā)現(xiàn)坷襟，Guass-Seidel的計(jì)算要明顯快于Jacobi＜榧怼）
2.3? SOR
關(guān)于松弛因子取決于具體的問(wèn)題：當(dāng)他介于0和1之間-稱為亞松馳；介于1和2之間-稱為超松馳法婴程。
可以發(fā)現(xiàn)，SOR法比高斯-賽德?tīng)柕€要快抱婉，這里我的松弛因子設(shè)的是1.29档叔。關(guān)于松弛因子的最佳值，也許目前有方法了蒸绩，但我不知道衙四？我的想法就是一直試，看哪個(gè)最佳患亿。
回到FVM中：
?????想一下传蹈，在計(jì)算機(jī)輔助的情況下，計(jì)算的方向是：x軸從左向右步藕，y軸從下往上惦界。在計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)的值的時(shí)候，可以參考Jacobi的思路咙冗，每一點(diǎn)的計(jì)算利用上一次迭代的結(jié)果沾歪；也可以利用Guass迭代的思路，算完T11雾消，在算T21或者T12的時(shí)候灾搏，將本次迭代之前的計(jì)算結(jié)果（T11）值立馬帶入挫望，因?yàn)榻?jīng)過(guò)新一次迭代后的值更接近于最終解，所以Guass迭代的思路要更快狂窑！
