為什么會(huì)有泰勒公式
對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究火欧，往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表達(dá)棋电。
由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù)，只要對(duì)自變量苇侵，進(jìn)行有限次加赶盔、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算榆浓，便能求出它的函數(shù)值來于未，因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)。
——《高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)七版
舉個(gè)例子陡鹃，cosx = 鄰邊/斜邊烘浦，所以cos35°，我們很難求出它的值萍鲸，最多只能判斷出它介于1到(√2)/2之間闷叉。
如果我們要較為準(zhǔn)確地求出cos35°的話，就可以使用泰勒公式（cos35° = c1 + c2x + c3x^2 + ...）脊阴，即用多項(xiàng)式來逼近原函數(shù)片习。
可能你會(huì)說，cos35°有什么難求的蹬叭，計(jì)算器一鍵搞定（其實(shí)計(jì)算器在計(jì)算cos35°的時(shí)候藕咏，也是用了泰勒公式）。
泰勒公式和麥克勞林
泰勒(Taylor)中值定理1：如果函數(shù)f(x)在x0處具有n階導(dǎo)數(shù)秽五，那么存在x0的一個(gè)鄰域孽查，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一x，有f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)坦喘，其中Rn(x) = o((x*x0)^n)盲再。
泰勒(Taylor)中值定理2：如果函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)具有n+1階可導(dǎo)西设，那么對(duì)于任一x∈U(x0)，有f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)答朋，其中Rn(x) = f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)贷揽，這里 ξ是x0與x之間的某個(gè)值。
在 泰勒中值定理1 中梦碗，如果取x0 = 0禽绪， 那么有帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林(Maclaurin)公式，f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n)(0)/n!*x^n + o((x)^n)洪规。
在?泰勒中值定理2中印屁，如果取x0 = 0， 那么有帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林(Maclaurin)公式斩例，f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)? (x0< ξ <x)雄人。
——《高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)七版
我們歸納一下，總而言之就是：如下圖2-1念赶。
幾何直觀理解
為什么f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)能近似地表達(dá)原函數(shù)础钠？泰勒公式的本質(zhì)到底是什么？
為了回答這個(gè)問題叉谜，我們需要借助幾何工具來直觀地理解泰勒公式珍坊。
先以展開點(diǎn) = 0為例（x0 = 0），即麥克勞林公式正罢，也以文章開頭提到的cosx為例，即cos0處的泰勒展開驻民。
因?yàn)樘├盏脑硎怯?b>多項(xiàng)式來逼近原函數(shù)翻具，所以設(shè)：cosx = c1 + c2x + c3x^2 +...（c1、c2回还、c3...皆為常數(shù)）裆泳。
現(xiàn)在我們用c1 + c2x + c3x^2 +...這個(gè)式子來層層逼近cosx在0處的情況。
（1）∵當(dāng)x=0時(shí)cosx的零階導(dǎo)數(shù)（即cox自己） = 1 ∴c1 + c2x + c3x^2 +... 的零階導(dǎo)數(shù)= 1柠硕，推出c1 = 1工禾。
（2）∵當(dāng)x=0時(shí)cosx的一階導(dǎo)數(shù) = -sinx = 0?∴c1 + c2x + c3x^2 +...的一階導(dǎo)數(shù) = c2 + 2*c3x?+... = 0，推出c2 = 0蝗柔。
（3）∵當(dāng)x=0時(shí)cosx的二階導(dǎo)數(shù) = -cosx = -1 ∴c1 + c2x + c3x^2 +...的二階導(dǎo)數(shù) = 2*c3 + 3*c4x?+... = 0闻葵，推出c3 = 1/2。
（4）以此類推癣丧，∵當(dāng)x=0時(shí)cosx的n階導(dǎo)數(shù) = a?∴c1 + c2x + c3x^2 +... 的n階導(dǎo)數(shù) = a槽畔，推出n!*c(n+1) + ...= a，則c(n+1) = a/n!
這種做法的原理是什么呢胁编？就是根據(jù)不斷地對(duì)cosx求導(dǎo)厢钧，來獲取更多關(guān)于cosx的信息鳞尔，通過這些信息從而模擬出cosx的函數(shù)，從而近似計(jì)算cosx在某點(diǎn)的值早直。
如圖3-1所示：
第（1）步推出c1 = cosx寥假，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0這個(gè)點(diǎn)上的值是一樣的。
第（2）步推出c2 = -sinx霞扬，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0這個(gè)點(diǎn)上的斜率是一樣的糕韧，即你遞增的時(shí)候，我也遞增祥得。（為了方便觀看兔沃，我把藍(lán)線畫很直，看著好像不可導(dǎo)级及，不要在意這個(gè)乒疏。）
第（3）步推出c3 = -cosx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0這個(gè)點(diǎn)上的凹凸性是一樣的饮焦，即你凸起來的地方怕吴，我也凸起來。（甚至曲率也是一樣的县踢，即曲線的不平坦程度转绷，曲率公式為K = |y''|/(1+y'^2)^(3/2)。）
以此類推硼啤，證明了這種做法的原理议经，就是通過不斷地求導(dǎo)，獲取更多的信息谴返，從而逼近原函數(shù)煞肾。
現(xiàn)在我不再以展開點(diǎn) = 0為例，即x0 ≠ 0嗓袱，這時(shí)就不再是麥克勞林公式了籍救，而是真正的泰勒公式。
繼續(xù)用cosx來當(dāng)小白鼠渠抹，設(shè)展開點(diǎn) = a蝙昙，即x0 = a，則我們現(xiàn)在就要層層逼近當(dāng)x = a時(shí)cosx的情況梧却。
還記得初中的時(shí)候奇颠，我們初學(xué)函數(shù)幾何，老師教了我們一些東西（旋轉(zhuǎn)和平移）放航，f(x)的幾何圖形如果想要往左平移a個(gè)單位大刊，則x要減去a，即f(x)要變成f(a-x)。
如圖3-2所示缺菌，這就是cosx向左平移了a個(gè)單位的結(jié)果葫辐。
和之前的展開點(diǎn)為0的例子一樣，只不過這次的展開點(diǎn)為a伴郁，但是我們照樣也搬用展開點(diǎn)為0的做法耿战，只要我們把cosx向左平移a個(gè)單位就好了，即cosx變成了cos(x-a)焊傅。
剩下的步驟剂陡，我就不一一寫出了。
故狐胎，麥克勞林公式是長成這樣的：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n)(0)/n!*x^n + Rn(x)
而鸭栖，泰勒公式卻是長成這樣的：f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)
