第十三講常微分方程

這一講有四個部分的內(nèi)容
$\begin{cases} 微分方程的概念(用概念解題)\\ \color{red}{一階微分方程的求解}\\ \color{red}{二階可降階微分方程的求解}\\ \color{red}{高階線性微分方程的求解} \end{cases}$

微分方程的概念

微分方程：含有未知函數(shù)及其導數(shù)(或者微分)的方程成為微分方程涡拘，一般寫成
$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0$ 或者 $y^{(n)}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)})$

微分方程的階：方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階

常微分方程：未知函數(shù)是一個一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程

微分方程解出來的解是一個函數(shù)，將這個函數(shù)代入微分方程使等式恒成立，則稱該函數(shù)為微分方程的解

通解：若微分方程的解中含有的獨立常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)户秤，則稱該解稱為微分方程的通解

初始條件與特解：初始條件用于確定通解中的各個獨立常數(shù)玖详，將這些獨立常數(shù)代入通解中得到的就是特解

一階微分方程的求解

這里將一階微分方程分成了下面四種類別，實際問題中需要按照相應(yīng)的類別進行解決
$\begin{cases} 變量可分離型\\ 可化為變量可分離型\\ 一階線性微分方程\\ 伯努利方程 \end{cases}$

變量可分離型
能寫成 $y'=f(x)\cdot g(y)$ 形式的方程稱為變量可分離型方程坞笙，其解法為：
$\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$
例如： $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}=e^x\cdot e^{-y}\Rightarrow\int e^ydy=\int e^xdx$
$e^y=e^x+C$ (隱式解)
$y=\ln(e^x+C)$ (顯式解)
需要注意的是，當時用這種方法進行求解微分方程的時候就默認忽略了 $g(y) = 0$ 的情況氓辣，因此，可能會漏掉一些答案

例題
求 $y\sin\frac{x}{2}dx - \cos\frac{x}{2}dy = 0$ 的通解
$\frac{dy}{dx}=y\tan\frac{x}{2}$
$\int\frac{dy}{y}=\int\tan\frac{x}{2}dx$
$\ln |y| = -2\ln|\cos \frac{x}{2}| + C$
$\ln |y| = \ln C_1- \ln(\cos\frac{x}{2})^2,(C_1 \gt 0)$
$|y| = \frac{C_1}{\cos^2\frac{x}{2}}$
$y = \frac{\pm C_1}{\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{C_2}{1+\cos x},(C_2\ne 0)$
所以這個解中 $y\ne 0$ 粒没，但這并不意味著 $y\ne 0$ 不是這個微分方程的解
將 $y = 0$ 代入原微分方程中可得
$y = 0\Rightarrow dy = 0$ 筛婉，故微分方程恒等
即 $y=0$ 也是這個微分方程的解
所以該微分方程的解為 $\frac{C}{1+\cos x},(C\in R)$

需要注意的是只要通解中的獨立常數(shù)個數(shù)等于微分方程的次數(shù)，那么這個通解就是合格的
$\color{red}{微分方程中的通解并不意味著全部解癞松！}$

可化為變量可分離型
這類題型的解題思路一般是換元法爽撒，而換元法也具有兩個兩種思路：

換元法，形如 $\frac{dy}{dx} = f(ax+by+c),(a,b\ne 0)$ 的方程响蓉，其解法為令 $u=ax+by+c$ 硕勿，則 $\frac{du}{dx} = a+b\frac{dy}{dx}$ ，再將原方程代入可得 $\frac{du}{dx} = a + bf(u)$

例題
求微分方程 $dy = \sin(x+y+100)dx$ 的通解
$\frac{dy}{dx}=\sin(x+y+100)$
令 $u = x+y+100$ 枫甲，則
$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$
$\frac{du}{dx} - 1 = \sin u$
$\frac{du}{\sin u+1} = dx$
$\int\frac{du}{\sin u + 1} = \int dx$
$\tan u + \sec u = x + C$
$\tan(x+y+100) - \sec(x+y+100) = x + C$ (隱式通解)

齊次微分方程源武，比如下面的這個微分方程
$(x+y\cos\frac{y}{x})dx-x\cos\frac{y}{x}dy=0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y\cos\frac{y}{x}}{x\cos\frac{y}{x}} = \frac{1+\frac{y}{x}\cos\frac{y}{x}}{\cos\frac{y}{x}}=\varphi(\frac{y}{x})$
將形如 $\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$ 的方程叫做齊次型微分方程扼褪，其解法是令 $u=\frac{y}{x}$ ，則
$y=ux\Rightarrow\frac{dy}{dx} = u+x\frac{du}{dx}$
$\therefore \varphi(u) = u + x\frac{du}{dx}$
$\frac{dx}{x} = \frac{du}{\varphi(u) - u}$

例題
設(shè)L是一條平面曲線粱栖，其上任意一點 $P(x,y),(x\gt 0)$ 到坐標原點的距離恒等于該點處的切線在y軸上的截距话浇，且L經(jīng)過點 $(\frac{1}{2},0)$ ，試求曲線 $L$ 的方程
點 $(x,y)$ 的切線方程為 $Y-y=\frac{dy}{dx}(X-x)$
根據(jù)題意得:
$\sqrt{x^2+y^2} = y-x\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}$
設(shè) $u = \frac{y}{x}$ 闹究，則 $y=ux$
$\frac{dy}{dx} = x\frac{du}{dx}+u$
$u - \sqrt{1+u^2} = x\frac{du}{dx}+u$
$\frac{dx}{x} = -\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}$
$\int\frac{1}{x}dx = -\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}$
$\ln|x| = - \ln(u+\sqrt{u^2+1}) +\ln C$
$x = \frac{C}{u+\sqrt{u^2+1}}$
$y + \sqrt{x^2+y^2} = C$
再將點 $(\frac{1}{2},0)$ 代入得幔崖， $C=\frac{1}{2}$
所以該微分方程的隱式通解為 $y+\sqrt{x^2+y^2} = \frac{1}{2}$

一階線性微分方程
形如 $y' +p y = q$ 形式的微分方程稱為一階線性微分方程，其中 $p,q$ 為已知函數(shù)
這類微分方程的解法的原理就是 $(uv)' = uv'+u'v$
$y' + py = q$
$e^{\int pdx}y' + e^{\int pdx}py=qe^{\int pdx}$
$(e^{\int pdx}y)' = qe^{\int pdx}$
然后兩邊積分
$e^{\int pdx}y = \int qe^{\int pdx}dx + C$
$y=e^{-\int pdx}(\int qe^{\int pdx}dx + C)$
雖然這里的公式看起來很復雜渣淤，但實際上 $\int pdx$ 只是函數(shù) $p$ 的原函數(shù)

例題 $\color{red}{(經(jīng)典例題)}$
求微分方程 $y'+1=e^{-y}\sin x$ 的通解
這個微分方程既不是變量可分離型的也是一階線性的赏寇，所以需要進一步變形
$e^y\cdot y'+e^y = \sin x$
$(e^y)' + e^y = \sin x$
令 $u=e^y$ ，則由上面的公式可得
$u = e^{-x}(\int\sin x e^xdx + C)$
$u = e^{-x}(\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C)$
$e^y = e^{-x}(\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x) +C)$
$y=\ln[\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)+Ce^{-x}]$

伯努利方程
將形如 $y'+py = qy^n,(n\ne 0,1)$ 的微分方程稱為伯努利方程价认，其中 $p,q$ 為已知的連續(xù)函數(shù)嗅定。
(這里的n如果等于0，那么這個方程就是一階線性微分方程用踩；如果等于1渠退，那么這個方程就可以使用變量可分離進行求解)
對于這類微分方程的解法為：
先變形為 $y^{-n}\cdot y'+py^{1-n}=q$
再令 $z=y^{1-n}$ ，則 $\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} = (1-n)y^{-n}y'$
代入原式得脐彩， $\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+pz=q$
即 $\frac{1}{1-n}z'+pz=q$
解上述關(guān)于 $z$ 的一階線性微分方程即可

例題
求 $ydx=(1+x\ln y)xdy,(y\gt 0)$ 的通解
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{(1+x\ln y)x}$
則對于函數(shù) $y$ 的反函數(shù)而言
$\frac{dx}{dy} = \frac{(1+x\ln y)x}{y}$
$x' = \frac{1}{y}x+\frac{\ln y}{y}x^2$
$x'x^{-2} -\frac{1}{xy} = \frac{\ln y}{y}$
令 $\frac{1}{x}=z$ 則智什， $\frac{dz}{dy} = -\frac{1}{x^2} x'$
即 $x' = -\frac{x^2 dz}{dy} = -x^2z'$
代入原式得
$-z'-\frac{1}{y}z = \frac{\ln y}{y}$
$z'\cdot e^{\ln y} + e^{\ln y}\cdot \frac{1}{y}\cdot z = -e^{\ln y}\cdot \frac{\ln y}{y}$
$(z\cdot e^{\ln y})' = -e^{\ln y}\frac{\ln y}{y}$
$z\cdot e^{\ln y} = -\int e^{\ln y} \frac{\ln y}{y}dy$
$z y=y-y\ln y+C$
$\frac{y}{x} - y + \ln y +C = 0$

二階可降階微分方程求解

$y''=f(x,y')$ 型(方程中不顯含未知函數(shù) $y$ )
這種類型的二階微分方程的解法為
令 $y' = p(x)$ ，則 $y'' = p'$
原式變?yōu)橐浑A微分方程 $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$
設(shè)該一階微分方程的解為 $p = \varphi(x,C_1)$ 丁屎，則原方程的通解為 $y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2$

例題
求 $y''=\frac{2xy'}{1+x^2}$ 的通解
令p(x) = y'，則原式為
$p' = \frac{2xp}{1+x^2}$
$\frac{dp}{dx} = \frac{2xp}{1+x^2}$
$\int\frac{1}{p}dp = \int\frac{2x}{1+x^2}dx$
$\ln |p| = \ln(1+x^2) + \ln C_1$
$p = \pm C_1(1+x^2)$
$p=C_2(1+x^2)$
$y=C_3 +\int C_2(1+x^2)dx$
$y=C_3 +C_2(x+\frac{1}{3}x^3)$

$y''=f(y,y')$ 型(方程中不顯含自變量 $x$ )
這種類型的微分方程的解法為:
令 $y'=p,y''=\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot p$
所以原式變?yōu)橐浑A微分方程：
$p\cdot \frac{dp}{dy} = f(y,p)$
若上述一階微分方程的解為 $p=\varphi(y,C_1)$ 旱眯，則由 $p=\frac{dy}{dx}$ 可得 $\frac{dy}{dx} = \varphi(y,C_1)$
分離變量
$\frac{1}{\varphi(y,C_1)}dy = dx$
兩邊同時積分可得
$\int\frac{1}{\varphi(y,C_1)}dy = x+C_2$
從而求解

例題
求微分方程 $2yy''+(y')^2=0$ 的通解晨川，其中 $y\gt 0$
令 $p=y'$ ，則原式
$2y\frac{dp}{dy}\cdot p = -p^2$
$\frac{1}{p}dp=-\frac{1}{2y}dy$
$\int\frac{1}{p}dp = -\int\frac{1}{2y}dy$
$\ln |p| = -\frac{1}{2}\ln y+\ln C_1$
$p = C_1\frac{\sqrt{y}}{y}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{C1\sqrt{y}}{y}$
$\int C_2\sqrt{y}dy=x+C_3$
$\frac{C_2}{3}(y)^{\frac{3}{2}} = x+C_3$

高階線性微分方程的求解

常見的概念：

形如 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的微分方程稱為二階變系數(shù)線性微分方程删豺，其中 $p(x),q(x)$ 叫做系數(shù)函數(shù)共虑， $f(x)$ 叫做自由項，均為已知的連續(xù)函數(shù)
當 $f(x)\equiv 0$ 時呀页， $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 叫做齊次方程妈拌；否則稱其為非齊次方程
形如 $y''+py'+qy=f(x)$ 的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程，其中 $p,q$ 為常數(shù)蓬蝶， $f(x)$ 叫做自由項
當 $f(x)\equiv 0$ 時尘分， $y''+py'+qy=0$ 叫做齊次方程；否則稱其為非齊次方程

解的結(jié)構(gòu)

若 $y_1(x),y_2(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x)y = 0$ 的兩個解丸氛，且 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 不為常數(shù)培愁，則稱 $y_1(x),y_2(x)$ 是該方程的兩個線性無關(guān)的解，且 $y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的通解
若 $y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的通解缓窜， $y^*(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的一個特解定续，則 $y(x)+y^*(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的通解
若 $y^*_1(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)$ 的解谍咆， $y^*_2(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x) = f_2(x)$ 的解，則 $y^*_1(x)+y^*_2(x)$ 是 $y''+p(x)y'+q(x) = f_1(x) + f_2(x)$ 的解

二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解
對于微分方程 $y''+py'+qy=0$ 私股，其中 $p,q$ 為常數(shù)摹察，試令 $y=e^{\lambda x}$ ，(因為只有指數(shù)函數(shù)的二階微分常系數(shù)線性方程才能得0)倡鲸，代入得
$e^{\lambda x}(\lambda ^2+p\lambda + q) = 0$
$\lambda ^2+p\lambda + q= 0$
將上面的二次方程稱為二階常系數(shù)微分方程的特征
考慮特征的根的三種情況：

$\Delta\gt 0,\frac{e^{\lambda_1 x}}{e^{\lambda_2 x}}$ 不為常數(shù)供嚎，則微分方程的通解為 $C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}$
$\Delta=0,\frac{e^{\lambda_1x}}{e^{\lambda_2x}} = 1$ ，這種情況下旦签，微分方程的通解為 $e^{\lambda x}(C_1+C_2x)$
$\Delta\lt 0,\lambda_{1,2} = \frac{-p\pm\sqrt{4p-q^2}\cdot i}{2}$ 查坪，令 $\lambda_{1,2} = \alpha\pm\beta i$ ，這種情況下宁炫，微分方程的通解為 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

例題：求 $y''+4y=0$ 的通解
特征方程 $\lambda^2+4=0$
$\lambda = \pm2i$
故該微分方程的通解為
$y = C_1\cos2x+C_2\sin_2x$

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解
對于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 $y''+py'+qy=f(x)$ 的特解

如果 $f(x) = P_n(x)e^{\alpha x}$ 偿曙，則設(shè)其特解為 $y^*(x) = e^{\alpha x}\cdot Q_n(x)\cdot x^k$
其中 $Q_n(x)$ 為n階的一般方程(形如 $ax^2+bx+c$ )，而k的取值取決于該微分方程的特征根：
$k=\begin{cases}0,\alpha\ne\lambda_1,\alpha\ne\lambda_2\\1,\alpha=\lambda_1 or\space\alpha=\lambda_2\\2,\alpha=\lambda_1=\lambda_2\end{cases}$
最后再將形如 $e^{\alpha x}(ax^2+bx+c)x^k$ 的解代入原微分方程解出未知系數(shù) $a,b$ 羔巢，即可得到最終的特解

例題望忆，求微分方程 $y''-4y'+3y=xe^{3x}$ 的特解
根據(jù)上面的步驟，設(shè)特解 $y^* = e^{3x}(ax+b)x^k$
因為 $\lambda_1 = 1,\lambda_2=3,\alpha = 3$ 竿秆，所以 $k=1$
將 $e^{3x}(ax+b)x$ 代入原式得
$2a-b=(1+2a)x$
故 $a=-\frac{1}{2},b=-1$
該微分方程的一個特解為
$y=-e^{3x}(\frac{1}{2}x^2+x)$

如果 $f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$ 启摄，則設(shè)其特解為 $e^{\alpha x}\cdot [A_l(x)\cos\beta x+ B_l(x)\sin\beta x]\cdot x^k$
其中 $l = max\lbrace n,m\rbrace$ ， $A,B$ 均為一般多項式幽钢，而k的取值依然取決于特征方程的根
$k=\begin{cases}0,\alpha\pm\beta i\ne\lambda_{1,2}\\1,\alpha\pm\beta i=\lambda_{1,2}\end{cases}$

例題歉备，求微分方程 $y''-4y'+3y=e^x\cos x$ 的一個特解
設(shè)特解 $y=e^x\cdot(A\cos x+B\sin x)x^k$
因為 $\lambda_1 = 1,\lambda_2 = 3$ ，故 $k=0$
即 $y = e^x(A\cos x+B\sin x)$
將這個解代入原微分方程可得一特解 $A=\frac{-1}{5},B=\frac{-1}{10}$
該微分方程的一個特解為 $y=-e^x(\frac{1}{5}\cos x+\frac{1}{10}\sin x)$

根據(jù)微分方程的概念解題*

已知微分方程的解匪燕，反解系數(shù)

例題
設(shè) $y_1,y_2$ 是一階非齊次線性微分方程 $y'+p(x)y=q(x)$ 的兩個特解蕾羊，若常數(shù) $\lambda,\mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是該方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是該方程對應(yīng)的齊次方程的解帽驯，求 $\lambda,\mu$
將兩個方程的解分別代入可得
$\lambda y'_1+\mu y'_2+p(x)(\lambda y_1+\mu y_2)=q(x)$
$\lambda y'_1-\mu y'_2+p(x)(\lambda y_1-\mu y_2)=0$
兩式相加得 $2\lambda(y'_1+p(x)y_1) = q(x)$
兩式相減得 $2\mu(y'_2+p(x)y_2)=q(x)$
而由題意得
$y'_1+p(x)y_1=q(x)$
$y'_2+p(x)y_2=q(x)$
故 $\lambda = \mu =\frac{1}{2}$

不解微分方程龟再，而利用方程中所包含的信息解題

例題
設(shè) $y=f(x)$ 是方程 $y''-2y'+4y=0$ 的一個解，若 $f(x_0)\gt 0$ 尼变，且 $f'(x_0) = 0$ 利凑，則函數(shù) $f(x)$ 在點 $x_0$ 處有( )
A. 取得極大值
B. 取得極小值
C. 某個領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)增加
D. 某個領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)減少
解：討論微分方程在點 $x_0$ 處的情況，
$f''(x_0)-2f'(x_0)+4f(x_0) = 0$
$f''(x_0) = -4f(x_0)\lt 0$
故函數(shù) $f(x)$ 在點 $x_0$ 處取得極大值