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如果將數(shù)學(xué)比作一棵大樹钧大，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根翰撑，繁雜的數(shù)學(xué)分支就是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分啊央。準(zhǔn)確的說眶诈，人類能夠踏入工業(yè)化時代，微積分是最重要的基石瓜饥。沒有微積分逝撬，就沒有工業(yè)革命。
對于人類的孩子來說乓土，越早接觸微積分的概念球拦，理解并能夠運(yùn)用微積分的方式來分析數(shù)學(xué)/物理問題，就能夠在人生的初期就打開一扇大窗帐我，看見人類社會這兩三百年的科學(xué)進(jìn)步坎炼。
在大部分家長眼中，數(shù)學(xué)教師就是一個“工匠活”拦键。好的教師谣光，好的課外輔導(dǎo)班，過分看重解題技巧的灌輸芬为，而不注重數(shù)學(xué)知識體系的完整性萄金，不注重從更高的觀點講授蟀悦。絕大部分學(xué)生接觸到的都是初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，或者課外的基本就是數(shù)學(xué)競賽那一套氧敢，在學(xué)校里面很難接觸到微積分以后的數(shù)學(xué)——微積分也是三百年前的數(shù)學(xué)了日戈。而大多數(shù)人，哪怕接受過大學(xué)教育孙乖，終其一生浙炼，也沒能接觸到近現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
當(dāng)代教育系統(tǒng)的大綱唯袄，一般都是在高中的最后階段開始引入公式化的微積分內(nèi)容弯屈。事實上已經(jīng)太晚了。孩子們已經(jīng)被灌輸了十幾年的古典數(shù)學(xué)的思維方式恋拷，接受創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思維的通道已經(jīng)開始減弱资厉。作為當(dāng)代的虎爸虎媽，敢于創(chuàng)新蔬顾，大膽嘗試新的教育方式宴偿，就能夠取得出其不意的成果。
以下為實戰(zhàn)的成功例子：
知識預(yù)備：孩子要有一定的函數(shù)相關(guān)的運(yùn)算知識诀豁。
首先跟孩子明確數(shù)學(xué)源自定義和公理窄刘。只有我們最初定義了1+1=2，才能推導(dǎo)出2+2=4且叁，4+4=8...等等加法運(yùn)算的邏輯合理性。同樣秩伞，人類首先定義了“長度”逞带。當(dāng)發(fā)現(xiàn)需要描述幾個線段連接到一起形成的2D圖形的時候，發(fā)明了“面積”的概念纱新。并定義了測量“面積”的方法 --- 當(dāng)長寬各為單位“1”的時候展氓，組合成的正方形的面積為1*1。
這個表述“面積”的方法脸爱，應(yīng)用在正方形與長方形上遇汞，都非常容易測量與計算。但是當(dāng)用到其它圖形的時候簿废，比如三角形空入，圓形，橢圓形等等族檬，就因為無法將它們分割成小正方形來count歪赢，導(dǎo)致直觀上沒法子求的準(zhǔn)確“面積”。
以三角形為例：孩子提到单料，除非在三角形里面畫出無數(shù)個無窮小的正方形埋凯，不然按照定義沒法算面積点楼。同時，即使能夠畫出“無數(shù)個無窮小的正方形”白对，又因為“無窮小的正方形”的數(shù)量“無窮多”掠廓，不能計算(此處留下伏筆)。
在初等數(shù)學(xué)中甩恼，我們都是用“技巧”來推導(dǎo)出三角形的面積公式的蟀瞧。首先由特殊的直角三角形入手，然后擴(kuò)展到一般三角形媳拴。通過畫輔助線黄橘，得出無論什么形狀的三角形，都可以用底*高/2來計算面積屈溉。推導(dǎo)方式簡單直觀塞关，容易理解。但是只有一個缺點子巾，該方法只能用在三角形求面積上面帆赢，對解決其它類似問題沒有太大普遍意義。
這個時候家長提到：”大多數(shù)人因為想到“無窮小的正方形”的數(shù)量“無窮多”线梗，不能計算椰于，于是放棄按照這個思路繼續(xù)思考。只有牛頓一直想了下去仪搔，結(jié)果找到了計算方法瘾婿，發(fā)明了微積分。并且烤咧，盡管微積分方法看起來不夠簡潔偏陪，步驟繁瑣，但卻具有普遍意義煮嫌。所有的不能夠由正方形組合成的圖形面積笛谦，都可以由微積分用同樣的思路來求出“
我們先設(shè)定一個三角形，底邊為a昌阿，高為h饥脑。我們將三角形水平等距分成n份。這樣整個三角形的面積懦冰，就等于所分的每一分的面積之和灶轰。當(dāng)n趨向無窮大的時候，所有份數(shù)面積只和就越趨向于三角形的實際面積刷钢。
為了方便理解框往，我們先做一個小的變形，以三角形左為邊闯捎，將n份進(jìn)行左對齊椰弊。左對齊之后的三角形與原三角形等面積许溅。根據(jù)三角形的特性，由三角形頂點向下秉版，第一層可以看成一個小長方形（寬為a/n贤重，高為h/n）；第2層以及以后各層順勢增加...
經(jīng)過化簡清焕，三角形的面積被表達(dá)為一種基本的排列組合形式并蝗。這里家長用了特殊的”技巧“將排列組合轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式。實際上可以采用更具有一般意義的微積分解法得到同樣的函數(shù)表達(dá)式秸妥。
最后當(dāng)n變成無窮大的時候滚停，后面項的值無限趨近于0，被忽略粥惧。于是得出三角形的面積公式的表達(dá)式键畴。
同樣的方法，不僅僅可以運(yùn)用在三角形求面積上突雪，圓形起惕、橢圓、球體咏删、圓錐體惹想、棱柱體...等等都可以推導(dǎo)出公式。所以督函，誰才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的”屠龍寶刀“嘀粱，不言而喻。
