人類進(jìn)步通常是由認(rèn)識(shí)自然的渴望所驅(qū)動(dòng)的。這種探求事物的本質(zhì)望艺、追根溯源的努力躏救，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了單純滿足生存需求和提高生活質(zhì)量的要求唯笙。當(dāng)然，這并不是說所有人都會(huì)主動(dòng)去追尋自然奧秘，研究抽象的數(shù)學(xué)命題崩掘。為了生存而整日奔波忙碌的蕓蕓眾生七嫌，幾乎不可能有時(shí)間奢侈地思考人生的意義。然而呢堰，人類歷史上卻始終不乏先驅(qū)來思考萬事萬物的根源抄瑟，探尋自然界的構(gòu)成方式和法則。
摘錄自《數(shù)學(xué)沉思錄》枉疼，作者M(jìn)ario Livio 1945年出生于羅馬尼亞皮假，1950年定居以色列，耶路撒冷希伯萊大學(xué)本科畢業(yè)骂维，魏茲曼科學(xué)院碩士惹资，特拉維夫大學(xué)博士。
數(shù)學(xué)是對(duì)具象世界的抽象化表示航闺，具象世界包含了萬事萬物褪测。正如英國物理學(xué)家James Jeans表示：“宇宙好像是一位理論數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)的×嗜校”
我們先舉幾個(gè)例子：
l人類胚胎細(xì)胞繁殖速度神速侮措，到了成年以后繁殖速度遞減，為什么乖杠？繁殖速度的函數(shù)關(guān)系和概率分布是怎么樣的分扎？
l甲醛已經(jīng)被世界衛(wèi)生組織確定為致癌和致畸形物質(zhì)，是公認(rèn)的變態(tài)反應(yīng)源胧洒，也是潛在的強(qiáng)致突變物之一畏吓，誘發(fā)白血病。新裝修的房間吹吹風(fēng)三四個(gè)月卫漫，就能安全入住嗎菲饼？甲醛衰減釋放到安全限值以下寞酿，需要多久時(shí)間拄氯？它的衰減函數(shù)是多少涨缚？空氣凈化器能夠加快甲醛衰減漂坏，還是能夠徹底去除甲醛蔓腐？
l有一筆資金100萬宙地，存入連續(xù)復(fù)利計(jì)算的銀行用爪，年利率為4%活鹰，那么6年后漏策，利息本金總余額為多少派哲？
l如果你平均每個(gè)小時(shí)接到2次電話，那么你平均等待每一次電話的時(shí)間是多長時(shí)間掺喻？
l你的手機(jī)中電子元器件過了多少年不能正常工作芭届，那么元器件的壽命分布是什么類型的储矩？
l電蚊拍啪啪啪電死蚊子以后，放開開關(guān)褂乍，電蚊拍電網(wǎng)上殘余的電壓會(huì)多久變?yōu)?持隧，它的函數(shù)是什么樣的？
以上問題看似各不相關(guān)逃片，但是經(jīng)過物理學(xué)家屡拨，化學(xué)家，金融家褥实，生物學(xué)家等科學(xué)家初步抽象化后呀狼，再最終經(jīng)過n層抽象化，發(fā)現(xiàn)他們背后的規(guī)律極其相似损离，都來到了數(shù)學(xué)家的大門哥艇。
這些規(guī)律都涉及到神奇的自然指數(shù)，也叫自然常數(shù)僻澎，自然底數(shù)貌踏，原名雙曲對(duì)數(shù)，是以e為底的對(duì)數(shù)窟勃，其中祖乳，e是一個(gè)無理數(shù)常數(shù)，近似于2.718281828459秉氧。
e是所有連續(xù)增長過程都共有的基本增長率凡资，而負(fù)數(shù)-e，可以理解為所有連續(xù)衰竭過程都共有的基本衰減率谬运。
也就是說常識(shí)上理解的生老病死等具象背后，有著一個(gè)神奇的數(shù)字垦藏，e在規(guī)劃著量的變化梆暖，直到質(zhì)的變化。
先用python畫一個(gè)自然衰減的概率分布曲線：
lam = 0.5
x = np.arange(0, 15, 0.1)
y = lam * np.exp(-lam * x)
plt.plot(x,y)
plt.title('Exponential: $\lambda$ =%.2f' % lam)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability density')
plt.show()
l人類胚胎細(xì)胞繁殖速度神速掂骏，到了成年以后繁殖速度遞減轰驳，為什么？繁殖速度的函數(shù)關(guān)系和概率分布是怎么樣的弟灼？
例如細(xì)胞或細(xì)菌的繁殖级解，也會(huì)經(jīng)歷指數(shù)增長期這個(gè)階段，大量快速繁殖田绑，然而如果一直按照這個(gè)速度持續(xù)下去勤哗，可能地球都無法承擔(dān)一個(gè)成人的重量，如果沒有死亡掩驱，也無法承擔(dān)人口數(shù)量的指數(shù)增長芒划。所以又有了新的限制性設(shè)計(jì)冬竟，即控制增長常數(shù)k來實(shí)現(xiàn)對(duì)生長繁殖的限制。
美國學(xué)者海爾弗利在1961年提根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)動(dòng)物胚胎細(xì)胞在成長過程中民逼，其分裂的次數(shù)是有規(guī)律的泵殴，到一定階段就出現(xiàn)衰老和死亡。2009年的諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)獲得者是三位長期從事染色體研究的科學(xué)家拼苍，發(fā)現(xiàn)了端粒(telomere)和端粒酶(telomerase)笑诅，端粒酶的作用是維持端粒的長度。出生前端粒酶很活躍疮鲫，到四吆你、五歲時(shí)就基本停止活動(dòng)，端粒開始隨著時(shí)間而退化棚点，導(dǎo)致細(xì)胞衰老并最終停止分裂早处。
l甲醛已經(jīng)被世界衛(wèi)生組織確定為致癌和致畸形物質(zhì)，是公認(rèn)的變態(tài)反應(yīng)源瘫析，也是潛在的強(qiáng)致突變物之一砌梆，誘發(fā)白血病。新裝修的房間吹吹風(fēng)三四個(gè)月贬循，就能安全入住嗎咸包？甲醛衰減釋放到安全限值以下，需要多久時(shí)間杖虾？它的衰減函數(shù)是多少烂瘫？空氣凈化器能夠加快甲醛衰減，還是能夠徹底去除甲醛奇适？
例如甲醛污染物的濃度隨時(shí)間的變化符合指數(shù)函數(shù)的變化趨勢(shì):
ct=c0*exp(-k*t)
通過實(shí)際測(cè)量坟比，可以通過回歸分析，計(jì)算出甲醛的k衰減常數(shù)嚷往，得出甲醛污染物隨時(shí)間t的曲線葛账。而空氣凈化器本質(zhì)上是通過改變k衰減常數(shù)，加速甲醛污染物的衰減速度皮仁，經(jīng)過比較短的時(shí)間后籍琳，如果產(chǎn)品能力足夠強(qiáng)大，使得人們?cè)谙鄬?duì)有限空間的房間內(nèi)能夠相對(duì)安全的居住贷祈。而不是從根本上殺死或去除污染物趋急，所以如果新裝修的房間檢測(cè)出甲醛等污染源，而又無法通過其他方式從根本上降解轉(zhuǎn)化為安全化學(xué)物的化势誊，凈化器要常開常用才能實(shí)現(xiàn)“消除”污染物的目的呜达。
l有一筆資金100萬，存入連續(xù)復(fù)利計(jì)算的銀行粟耻，年利率為4%闻丑，那么6年后漩怎，利息本金總余額為多少？
對(duì)比下兩者復(fù)利計(jì)算的差異：
簡單復(fù)利計(jì)息的計(jì)算公式：本利和=本金×（1+利率）^期數(shù)嗦嗡。如果是簡單復(fù)利計(jì)算勋锤，F(xiàn)V=126.53萬。
如果連續(xù)復(fù)利計(jì)息侥祭，即無時(shí)無刻不在計(jì)息叁执，也就是時(shí)間進(jìn)行無線細(xì)分后，在有理數(shù)和無理數(shù)的t數(shù)軸上連續(xù)計(jì)息矮冬。
連續(xù)復(fù)利計(jì)息的計(jì)算公式：投資的終值FV=C0×e^(rt)谈宛，這里r=0.04，t=6胎署，C0=100萬吆录，則六年后127.12萬，比簡單復(fù)利計(jì)算多了5900琼牧。
其他兩個(gè)問題或類似問題恢筝，基本上也都是按照類似函數(shù)關(guān)系進(jìn)行展開分析。
我們可以將指數(shù)函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開巨坊，或加入歐拉公式撬槽，發(fā)現(xiàn)將e拆分后，是有極有規(guī)律的數(shù)值合成的趾撵，可以由冪函數(shù)展開侄柔。
而在復(fù)數(shù)平面空間，則可以將指數(shù)函數(shù)展開為三角函數(shù)占调，也就是正弦和余弦函數(shù)暂题，
如果將x的n次方作為一組函數(shù)基底，即相互垂直的n維坐標(biāo)軸究珊，而將1/n!作為系數(shù)薪者，則e^x函數(shù)可以看作是矩陣[0,1/1!,1/2!,…1/n!]和[x^0,x^1,x^2…x^n]的乘積。
其中第一個(gè)矩陣也可以成為n維行向量苦银，第二個(gè)矩陣看作n維列向量，即轉(zhuǎn)換為向量空間的數(shù)量積（又叫內(nèi)積赶站、點(diǎn)積）幔虏。
如果將n設(shè)定為無窮大，則e^x函數(shù)可以展開為無窮維空間的向量運(yùn)算贝椿，數(shù)學(xué)家們對(duì)無限維度函數(shù)空間的概念和運(yùn)算想括，展開為一門新的數(shù)學(xué)分支，泛函分析（functional analysis）烙博，從而打開了另外一個(gè)天地瑟蜈。
泛函分析研究的主要對(duì)象是函數(shù)構(gòu)成的空間烟逊，是由對(duì)變換（如傅立葉變換等）的性質(zhì)的研究和對(duì)微分方程以及積分方程的研究發(fā)展而來的。
那么問題來了铺根，如果將e^x函數(shù)作為第一層抽象宪躯，而將泰勒冪函數(shù)展開作為第二層抽象，將向量空間和其算子作為第三層抽象的話位迂，那么泛函分析這種經(jīng)過n重抽象之后的純數(shù)學(xué)計(jì)算有什么價(jià)值和意義呢访雪？
泛函分析是
舉一個(gè)最簡單的具象例子：
一個(gè)圓球在重力加速度作用下，從A點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)B點(diǎn)掂林，如果不計(jì)摩擦力臣缀，問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短。
也就是著名的最速曲線問題泻帮。
如果任意作圖精置，A點(diǎn)到B點(diǎn)之間可以畫直線，也可以做任意的曲線锣杂，這些曲線如果用函數(shù)表示脂倦，則可以為無窮個(gè)函數(shù)。
那么這無窮個(gè)函數(shù)中蹲堂，圓球沿著哪個(gè)函數(shù)的曲線狼讨，時(shí)間最短呢？
通過泛函分析柒竞，計(jì)算得出歐拉－拉格朗日方程政供。這個(gè)方程稱為極值函數(shù)。
泛函分析也廣泛應(yīng)用于圖像降噪處理等現(xiàn)實(shí)商業(yè)技術(shù)領(lǐng)域朽基，在理論學(xué)科例如數(shù)學(xué)物理方程布隔、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)稼虎、信號(hào)與系統(tǒng)衅檀、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用霎俩。
我們?cè)倩氐竭@個(gè)函數(shù)哀军，這里自然對(duì)數(shù)函數(shù)是由x^n函數(shù)，即冪函數(shù)組合而成打却。
冪函數(shù)在自然和社會(huì)現(xiàn)象中杉适，又有哪些應(yīng)用呢？
股市中有80％的投資者只想著怎么賺錢柳击，僅有20％的投資者考慮到賠錢時(shí)的應(yīng)變策略猿推。但結(jié)果是只有那20％投資者能長期盈利，而80％投資者卻常常賠錢捌肴。
著名的20/80原則蹬叭，也稱為帕累托分布藕咏，長尾分布就是冪函數(shù)分布，也就是冪律分布秽五，其廣泛存在于物理學(xué)孽查、地球與行星科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)筝蚕、生物學(xué)卦碾、生態(tài)學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)與社會(huì)科學(xué)起宽、經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)等眾多領(lǐng)域中,且表現(xiàn)形式多種多樣.在自然界與日常生活中,包括地震規(guī)模大小的分布洲胖、月球表面上月坑直徑的分布、行星間碎片大小的分布 坯沪、太陽耀斑強(qiáng)度的分布 绿映、計(jì)算機(jī)文件大小的分布 、戰(zhàn)爭(zhēng)規(guī)模的分布腐晾、人類語言中單詞頻率的分布 叉弦、大多數(shù)國家姓氏的分布 、科學(xué)家撰寫的論文數(shù)的分布藻糖、論文被引用的次數(shù)的分布淹冰、網(wǎng)頁被點(diǎn)擊次數(shù)的分布 、微博的粉絲數(shù)量巨柒、不公平社會(huì)中的財(cái)富分配樱拴、書籍及唱片的銷售冊(cè)數(shù)或張數(shù)的分布、每類生物中物種數(shù)的分布洋满、甚至電影所獲得的奧斯卡獎(jiǎng)項(xiàng)數(shù)的分布等,都是典型的冪律分布晶乔。
既然提到了分布，我們不能不提大名鼎鼎的正態(tài)分布（高斯分布）牺勾。這個(gè)分布和e又有什么關(guān)系呢正罢？
我們看一個(gè)簡單的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，就知道它的底依然是e驻民，也就是自然對(duì)數(shù)翻具。這里函數(shù)依然可以通過泰勒展開為冪函數(shù)的組合。
同樣有關(guān)分布回还，我們?cè)倩氐竭@個(gè)問題：
l如果你平均每個(gè)小時(shí)接到2次電話裆泳，那么你平均等待每一次電話的時(shí)間是多長時(shí)間？
對(duì)于接電話這個(gè)事件發(fā)生的頻率和次數(shù)懦趋，經(jīng)研究任務(wù)是泊松分布晾虑。而等待一次電話的平均間隔時(shí)間疹味，則又變成了指數(shù)形式仅叫。
當(dāng)一個(gè)隨機(jī)事件帜篇，例如某電話交換臺(tái)收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客诫咱、某放射性物質(zhì)發(fā)射出的粒子笙隙、顯微鏡下某區(qū)域中的白血球等等，以固定的平均瞬時(shí)速率λ（或稱密度）隨機(jī)且獨(dú)立地出現(xiàn)時(shí)坎缭，那么這個(gè)事件在單位時(shí)間（面積或體積）內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)或個(gè)數(shù)就近似地服從泊松分布P(λ)竟痰。
p(τ)=λe^-λτ
而時(shí)間間隔，則呈現(xiàn)指數(shù)形式掏呼，而且底數(shù)為e!
如果耐心看到這里坏快，也許會(huì)有一個(gè)直觀的疑問，即這些復(fù)雜的各種各樣的分布背后憎夷，函數(shù)背后莽鸿，既然都和e有關(guān)，是否存在一種或若干種變換拾给，或一個(gè)空間祥得，能夠?qū)⑺蟹植己透怕蕟栴}統(tǒng)一為更一般性或簡單化的規(guī)律呢？
這個(gè)問題有賴于數(shù)學(xué)家們的進(jìn)一步抽象化和創(chuàng)新蒋得，也有賴于人們對(duì)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用级及。
小結(jié)：
數(shù)學(xué)因其高度抽象思維的特征，廣泛應(yīng)用于各種理論學(xué)科和現(xiàn)實(shí)實(shí)踐當(dāng)中额衙，數(shù)學(xué)理論工具的應(yīng)用和遷移饮焦，也帶來了更多的創(chuàng)新。
引申閱讀：
