在理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃局骤、BFS和DFS一文中攀圈，只是初步講解了一下動(dòng)態(tài)規(guī)劃，理解的并不到位峦甩，這里再加深理解一下赘来。

本文主要參考什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃一文现喳。

一、前言

1.1犬辰、算法問(wèn)題的求解過(guò)程

類似于機(jī)器學(xué)習(xí)的步驟嗦篱，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，可以用不同的模型建模幌缝，然后對(duì)于確定的模型灸促，可以用不同的算法求解。

一般的算法問(wèn)題求解步驟涵卵，分為兩步：

• 1浴栽、問(wèn)題建模：
  對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，可以有不同的模型轿偎。
• 2典鸡、問(wèn)題求解：
  對(duì)于特定的模型，選出一個(gè)合適的算法（時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度滿足要求）坏晦，求解問(wèn)題萝玷。

對(duì)應(yīng)到動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法上，具體分為這兩步：

• 1英遭、問(wèn)題建模：[最優(yōu)子結(jié)構(gòu)]间护，[邊界]，[狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程]挖诸。
• 2汁尺、用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解問(wèn)題。

1.2多律、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想

大事化小痴突，小事化了。把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分階段進(jìn)行簡(jiǎn)化狼荞，逐步化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單的問(wèn)題辽装。

1.3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的步驟

1.3.1 問(wèn)題建模

• 1相味、 根據(jù)問(wèn)題拾积，找到【最優(yōu)子結(jié)構(gòu)】。
  把原問(wèn)題從大化小的第一步丰涉，找到比當(dāng)前問(wèn)題要小一號(hào)的最好的結(jié)果拓巧，而一般情況下當(dāng)前問(wèn)題可以由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行表示。
• 2一死、確定問(wèn)題的【邊界】肛度。
  根據(jù)上述的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，一步一步從大化小投慈，最終可以得到最小的承耿，可以一眼看出答案的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)冠骄，也就是邊界。
• 3加袋、通過(guò)上述兩步凛辣，通過(guò)分析最優(yōu)子結(jié)構(gòu)與最終問(wèn)題之間的關(guān)系，我們可以得到【狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程】锁荔。

1.3.2 問(wèn)題求解的各個(gè)方法（從暴力枚舉 逐步優(yōu)化到動(dòng)歸）

• 暴力枚舉：
  下面的樓梯問(wèn)題蟀给，國(guó)王與金礦問(wèn)題蝙砌，還有最少找零硬幣數(shù)問(wèn)題阳堕，都可以通過(guò)多層嵌套循環(huán)遍歷所有的可能，將符合條件的個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)起來(lái)择克。只是時(shí)間復(fù)雜度是指數(shù)級(jí)的恬总，所以一般 不推薦。

• 遞歸：
  1肚邢、既然是從大到小壹堰，不斷調(diào)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，那么就可以用遞歸骡湖。
  2贱纠、遞歸的時(shí)間復(fù)雜度是由階梯數(shù)和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)決定的。不同的問(wèn)題响蕴，用遞歸的話可能效果會(huì)大不相同谆焊。
  3、在階梯問(wèn)題浦夷，最少找零問(wèn)題中辖试，遞歸的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都比動(dòng)歸方法的差， 但是在國(guó)王與金礦的問(wèn)題中劈狐，遞歸的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都比動(dòng)歸方法好罐孝。這是需要注意的。

每一種算法都沒(méi)有絕對(duì)的好與壞肥缔，關(guān)鍵看應(yīng)用場(chǎng)景莲兢。、

上面這句話說(shuō)的很好续膳，不止于遞歸和動(dòng)歸改艇，一般的算法也是，比如一般的排序算法姑宽，在不同的場(chǎng)景中遣耍，效果也大不相同。

• 備忘錄算法：
  1炮车、在階梯數(shù)N比較多的時(shí)候舵变，遞歸算法的缺點(diǎn)就顯露出來(lái)了：時(shí)間復(fù)雜度很高酣溃。如果畫出遞歸圖（像二叉樹一樣），會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多很多重復(fù)的節(jié)點(diǎn)纪隙。然而傳統(tǒng)的遞歸算法并不能識(shí)別節(jié)點(diǎn)是不是重復(fù)的赊豌，只要不到終止條件，它就會(huì)一直遞歸下去绵咱。
  2碘饼、為了避免上述情況，使遞歸算法能夠不重復(fù)遞歸悲伶，就把已經(jīng)得到的節(jié)點(diǎn)都存起來(lái)艾恼，下次再遇到的時(shí)候，直接用存起來(lái)的結(jié)果就行了麸锉。這就是備忘錄算法钠绍。
  3、備忘錄算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都得到了簡(jiǎn)化花沉。

• 正經(jīng)的動(dòng)歸算法：
  1柳爽、上述的備忘錄算法，盡管已經(jīng)不錯(cuò)了碱屁，但是依然還是從最大的問(wèn)題磷脯，遍歷得到所有的最小子問(wèn)題，空間復(fù)雜度是O(N)娩脾。
  2赵誓、為了再次縮小空間復(fù)雜度，我們可以自底向上的構(gòu)造遞歸問(wèn)題晦雨，通過(guò)分析最優(yōu)子結(jié)構(gòu)與最終問(wèn)題之間的關(guān)系架曹，我們可以得到【狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程】。
  然后從最小的問(wèn)題不斷往上迭代闹瞧，即使一直到最大的原問(wèn)題绑雄，也是只依賴于前面的幾個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)。這樣奥邮，空間復(fù)雜度就大大簡(jiǎn)化万牺。也就得到了正經(jīng)的動(dòng)歸算法。

下面通過(guò)幾個(gè)例題洽腺，來(lái)具體了解動(dòng)歸問(wèn)題脚粟。

二、例題

例1：Climbing Stairs

leetcode原題：你正在爬一個(gè)有n個(gè)臺(tái)階的樓梯蘸朋，每次只能上 1個(gè) 或者 2個(gè)臺(tái)階核无，那么到達(dá)頂端共有多少種不同的方法？

1.1藕坯、 建立模型：

• 最終問(wèn)題F(N)：
  假設(shè)從0到達(dá)第N個(gè)臺(tái)階的方法共有F(N)個(gè)团南。
• 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)F(N-1)噪沙，F(xiàn)(N-2)：
  到達(dá)N個(gè)臺(tái)階，有兩種可能吐根，第一種可能是從第 N-1 個(gè)臺(tái)階上1個(gè)臺(tái)階到達(dá)終點(diǎn)正歼，第二種可能是從第 N-2 個(gè)臺(tái)階上2個(gè)臺(tái)階到達(dá)終點(diǎn)。
• 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)與最終問(wèn)題之間的關(guān)系：
  按照上述表達(dá)拷橘，那么可以歸納出F(N) = F(N-1) + F(N-2) (n>=3)

結(jié)束條件為F(1) = 1,F(2) = 2

1.2局义、 問(wèn)題求解：

1.2.1、 解法1：遞歸

先用比較容易理解的遞歸求解（結(jié)束條件已知冗疮，遞歸公式已知萄唇，可以直接寫代碼了）

class Solution:
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 1:
            return 1
        elif n == 2:
            return 2
        else:
            return self.climbStairs(n-1) + self.climbStairs(n-2)

回想前面所說(shuō)，遞歸的時(shí)間復(fù)雜度是由階梯數(shù)和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)決定的赌厅。這里的階梯數(shù)是 N 穷绵，最優(yōu)子結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)是 2 。如果想象成一個(gè)二叉樹特愿，那么就可以認(rèn)為是一個(gè)高度為N-1，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)接近 2 的 N-1 次方的樹勾缭，因此此方法的時(shí)間復(fù)雜度可以近似的看作是O(2^N) 揍障。

1.2.2、 解法2：備忘錄算法

參考什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中遞歸的圖俩由，發(fā)現(xiàn)有很多相同的參數(shù)被重復(fù)計(jì)算毒嫡，重復(fù)的太多了。

所以這里我們想到了把重復(fù)的參數(shù)存儲(chǔ)起來(lái)幻梯，下次遞歸遇到時(shí)就直接返回該參數(shù)的結(jié)果兜畸，也就是備忘錄算法了，這里需要用到一個(gè)哈希表碘梢，解決方法就是對(duì)類用init進(jìn)行初始化咬摇。

class Solution:
    def __init__(self):
        self.map = {}
        
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        
        if n == 1:
            return 1
        if n == 2:
            return 2
        if n in self.map:
            return self.map[n]
        else:
            value  =  self.climbStairs(n-1) + self.climbStairs(n-2)
            self.map[n] = value
            return value

這里哈希表里存了 N-2 個(gè)結(jié)果，時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都是O(N)煞躬。程序性能得到了明顯優(yōu)化肛鹏。

1.2.3、 解法3：動(dòng)態(tài)規(guī)劃

之前都是自頂向下的求解恩沛，考慮一下自底向上的求解過(guò)程在扰。從F(1)和F(2)邊界條件求，可知F(3) = F(1)+F(2)雷客。不斷向上芒珠，可知F(N)只依賴于前兩個(gè)狀態(tài)F(N-1)和F(N-2)。于是我們只需要保留前兩個(gè)狀態(tài)搅裙，就可以求得F(N)皱卓。相比于備忘錄算法总放，我們?cè)僖淮魏?jiǎn)化了空間復(fù)雜度。

這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃了好爬。（具體的細(xì)節(jié)看漫畫比較好理解局雄。）

具體代碼實(shí)現(xiàn)中，可以令F(N-2)=a存炮，F(xiàn)(N-1)=b炬搭，則temp等于a+b，然后把a(bǔ)向前挪一步等于b穆桂，b向前挪一步等于temp宫盔。那么下一次迭代時(shí)，temp就依然等于a+b享完。

代碼如下：

class Solution:
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 1:
            return 1
        if n == 2:
            return 2
        a = 1
        b = 2
        for i in range(3,n+1):
            temp = a + b
            a = b
            b = temp
        return temp

例2： Making change using the fewest coins.

參考Dynamic Programming中灼芭，用最少的硬幣數(shù)目找零錢的一個(gè)例子。

問(wèn)題描述：
假設(shè)你是一家自動(dòng)售貨機(jī)制造商的程序員般又。你的公司正設(shè)法在每一筆交易 找零時(shí)都能提供最少數(shù)目的硬幣以便工作能更加簡(jiǎn)單彼绷。已知硬幣有四種（1美分，5美分茴迁，10美分寄悯，25美分）。假設(shè)一個(gè)顧客投了1美元來(lái)購(gòu)買37美分的物品 堕义，你用來(lái)找零的硬幣的最小數(shù)量是多少猜旬？
（這個(gè)問(wèn)題用貪心算法也能解，具體細(xì)節(jié)看參考文獻(xiàn)）

2.1倦卖、 建立模型：

就以動(dòng)歸作為解題的算法來(lái)建立模型吧洒擦。

• 邊界：當(dāng)需要找零的面額正好等于上述的四種整額硬幣時(shí)，返回1即可
• 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)：回想找到最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的方法怕膛，就是往后退一步熟嫩，能夠得到的最好的結(jié)果。這里有四個(gè)選擇嘉竟，1 + mincoins(63-1)邦危，1 + mincoins(63-5)，1 + mincoins(63-10) 或者 1 + mincoins(63-25)舍扰，這四個(gè)選擇可以認(rèn)為是63的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)倦蚪。
• 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：按照 上述的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，mincoins(63)也就等于上述四個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的最小值边苹。于是陵且，方程可以表示為：

2.2、 問(wèn)題求解：

模型已經(jīng)得到，接下來(lái)就運(yùn)用算法進(jìn)行求解慕购。
這里依然可以按照例1的解法聊疲，由模型，很自然的想到用遞歸求解沪悲。

2.2.1获洲、解法1，遞歸

邊界條件已知殿如，模型已知贡珊，可以直接寫代碼了。

def recMC(coinValueList,change):
    minCoins = change
    if change in coinValueList:
        return 1
    else:
        for i in [c for c in coinValueList if c <= change]:
            numCoins = 1 + recMC(coinValueList,change-i)
        if numCoins < minCoins:
            minCoins = numCoins
    return minCoins
print(recMC([1,5,10,25],63)

但是涉馁，對(duì)于每一個(gè)大于25的數(shù)目门岔，都有四個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，然后對(duì)于每個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)烤送，還有大量相同重復(fù)的參數(shù)（具體細(xì)節(jié)看參考）寒随。所以這個(gè)解法并不合適。

2.2.2帮坚、解法2妻往，動(dòng)態(tài)規(guī)劃

首先要有自底向上的思想，從change等于1時(shí)叶沛，開始往上迭代蒲讯，參考最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，記錄下來(lái)最少硬幣數(shù)灰署。一直迭代到63。

1==>1
2==>min(2-1) + 1 = 2
3==>min(3-1) + 1 = 3
4==>min(4-1) + 1 = 4
5==>min（min(5-1) + 1 = 5局嘁， min(5-5) + 1 = 1）= 1
6==>min（min(6-1) + 1 = 2溉箕， min(6-5) + 1 = 2）= 2
7==>min（min(7-1) + 1 = 3， min(7-5) + 1 = 3）= 3

由此可以推下去悦昵，每一個(gè)change對(duì)應(yīng)的最少硬幣數(shù)肴茄，都可以由前面的若干個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)（有幾個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，由change是多少?zèng)Q定但指，change大于5就有兩個(gè)子結(jié)構(gòu)寡痰，大于10就有三個(gè)。棋凳。）得到拦坠。這樣一直迭代到63，那么就可以得到63的最少硬幣數(shù)剩岳。

因此贞滨，需要一個(gè)循環(huán)來(lái)從頭到尾遍歷。
需要一定需要一個(gè)map來(lái)記錄部分結(jié)果拍棕。
每一個(gè)change晓铆，我們可以根據(jù)上面的式子遍歷最優(yōu)子結(jié)構(gòu)勺良，并將每個(gè)子結(jié)構(gòu)的結(jié)果都添加到一個(gè)list中，在遍歷完最有子結(jié)構(gòu)以后骄噪，選擇最小的那一個(gè)尚困，添加到map中去。

求解一個(gè)新的 i 的最優(yōu)解的過(guò)程是很方便的链蕊，從最優(yōu)子結(jié)構(gòu)中挑選最小的值然后加1即可事甜。
最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的值，可以用minCoin[i-j]得到示弓。其中j為有效硬幣面額讳侨。

實(shí)現(xiàn)代碼：

def dpMakeChange(coinValueList,change):
    minCoins = { }

    for cents in range(change+1):
        #cents小于等于1時(shí)，coinCount會(huì)為空奏属，沒(méi)法執(zhí)行min跨跨。
        #因此這里先填上
        if cents <= 1:
            minCoins[cents] = cents
            continue
        #遍歷cents的每個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)并且添加到list中，等待篩選
        coinCount = [ ]
        for j in coinValueList:
            if cents >= j:
                coinCount.append(minCoins[cents - j] + 1)
        minCoins[cents] = min(coinCount)
    return minCoins[change]

result = dpMakeChange([1,5,10,25],63)
print(result)

當(dāng)然這個(gè)函數(shù)是有瑕疵的囱皿，因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)只告訴我們最少的硬幣數(shù)勇婴，并不能告訴我們應(yīng)該找零的面額。所以我們可以擴(kuò)展一下函數(shù)嘱腥，跟蹤記錄我們使用的硬幣即可耕渴。具體細(xì)節(jié)可以看參考。

例3： 國(guó)王與金礦問(wèn)題

只講一下大致的思路齿兔。
問(wèn)題中需要注意的地方：

• 國(guó)王與金礦的問(wèn)題中橱脸，因?yàn)槊總€(gè)金礦需要的人不同，所含金礦數(shù)量也不同分苇。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題添诉，這里第 i 個(gè)金礦所含的金礦數(shù)量和所需要的工人都是 特定不變的。
• 在實(shí)現(xiàn)自底向上的遞推時(shí)医寿，因?yàn)閱?wèn)題的參數(shù)有兩個(gè)栏赴，那么存在兩個(gè)輸入維度。為此靖秩，可以畫一個(gè)表格來(lái)做分析须眷。
• 在實(shí)現(xiàn)自底向上的遞推時(shí)，為了比較快的找到規(guī)律沟突，最好把從邊界不斷地往上迭代花颗，結(jié)合最優(yōu)子結(jié)構(gòu)和存儲(chǔ)的結(jié)果，慢慢的找到規(guī)律事扭。

3.1捎稚、問(wèn)題建模

這里著重講解一下最后一點(diǎn)，也就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃最重要的地方妈经。

最優(yōu)子結(jié)構(gòu)：對(duì)于5個(gè)金礦乔询，10個(gè)工人的情況耘沼，往后退一步存在兩種情況功戚。（第五個(gè)金礦的金礦數(shù)量為350丁存，所需工人為3人）

• 情況1：國(guó)王選擇不挖第五個(gè)金礦蛾绎，那么此時(shí)最大化的金礦數(shù)量就是在有4個(gè)金礦群发，10個(gè)工人的情況下镊屎，能夠挖到的最多金礦數(shù)量宰睡。
• 情況2：國(guó)王選擇挖第五個(gè)金礦蒲凶，那么此時(shí)用3個(gè)工人挖得350的金礦數(shù)量是已知的，還剩4個(gè)金礦與7個(gè)工人拆内。
  那么最優(yōu)解相當(dāng)于在4個(gè)金礦與7個(gè)工人的情況下能夠挖得的最多金礦數(shù)量 + 350旋圆。

最優(yōu)子結(jié)構(gòu)與最終問(wèn)題之間的關(guān)系：5個(gè)金礦10個(gè)工人的最優(yōu)選擇，就是上述兩個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的最大值麸恍。

于是我們可以得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

最重要的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程已經(jīng)得到灵巧，至于剩下的邊界條件，現(xiàn)實(shí)中會(huì)遇到的各種特殊情況抹沪，這里就不贅述了刻肄。細(xì)節(jié)參考漫畫。

3.2融欧、問(wèn)題求解

3.2.1 解法1敏弃、遞歸

程序 ：把狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程翻譯成遞歸程序，遞歸的結(jié)束條件就是方程式中的邊界即可噪馏。
復(fù)雜度：因?yàn)槊總€(gè)狀態(tài)有兩個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)麦到，所以遞歸的執(zhí)行流程類似于一個(gè)高度為N的二叉樹。所以方法的時(shí)間復(fù)雜度是O(2^N)欠肾。

3.2.2 解法2隅要、備忘錄算法

程序：在簡(jiǎn)單遞歸的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)HashMap備忘錄董济，用來(lái)存儲(chǔ)中間的結(jié)果，HashMap的Key是一個(gè)包含金礦數(shù)N和工人數(shù)W的對(duì)象要门，Value是最優(yōu)選擇獲得的黃金數(shù)虏肾。
復(fù)雜度：時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度相同，都等于被網(wǎng)絡(luò)中不同Key的數(shù)量欢搜。

3.2.3 解法3封豪、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

為了實(shí)現(xiàn)自底向上的迭代，對(duì)于參數(shù)有兩個(gè)的問(wèn)題炒瘟，我們可以先畫要一個(gè)表格來(lái)做分析吹埠。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們可以方便的畫出表格。注意缘琅，一定是要根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來(lái)求的粘都。

由于我們?cè)谇蠼饷總€(gè)格子的數(shù)值時(shí)，結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程刷袍，發(fā)現(xiàn)除了第一行以外翩隧，每一個(gè)格子都可以由前一行的格子中的一個(gè)或者兩個(gè)格子推導(dǎo)而來(lái)。
從整體上來(lái)說(shuō)呻纹，每一行的值都可以由前一行來(lái)求得堆生。

于是，我們?cè)趯懘a的時(shí)候雷酪，也可以像畫表格一樣淑仆，從左至右，從上到下一個(gè)一個(gè)的推出最終結(jié)果哥力。反映到程序上就是：

for i in range(金礦數(shù)):
    for j in range(工人數(shù)目):
         狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

另外蔗怠，由上可知，我們并不需要存儲(chǔ)整個(gè)表格省骂，只需要存儲(chǔ)前一行的結(jié)果即可推出新的一行蟀淮。

代碼這里就不寫了。

注意：

• 這里動(dòng)態(tài)規(guī)劃的時(shí)間復(fù)雜度是O(n*w)钞澳，空間復(fù)雜度是O(w)怠惶。在n=5，w=1000是轧粟，顯然要計(jì)算5000次策治，開辟1000單位的空間。
• 但是如果用簡(jiǎn)單遞歸算法的話兰吟，時(shí)間復(fù)雜度是O(2^N)通惫，需要計(jì)算32次 ，開辟5單位（遞歸深度）的空間混蔼。
• 這是由于動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的時(shí)間和空間都和w成正比履腋，而簡(jiǎn)單遞歸卻和w無(wú)關(guān)，所以當(dāng)工人數(shù)量很多的時(shí)候惭嚣，動(dòng)態(tài)規(guī)劃反而不如遞歸遵湖。

所以說(shuō)，每一種算法沒(méi)有絕對(duì)的好與壞晚吞，關(guān)鍵要看應(yīng)用場(chǎng)景延旧。

總結(jié)：

個(gè)人覺(jué)得， 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法最重要的有兩點(diǎn)

• 建模：一定要找對(duì)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)槽地，然后分析最優(yōu)子結(jié)構(gòu)與最終問(wèn)題的關(guān)系迁沫，從而得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程芦瘾。
• 問(wèn)題求解：先手動(dòng)的自底向上的，運(yùn)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程迭代一下集畅，一直到最終問(wèn)題近弟，從而確定程序的主體部分。

至于牡整，模型中的邊界問(wèn)題藐吮，特殊情況等，就是需要多敲代碼來(lái)慢慢考慮的了逃贝。