拓?fù)淇臻g是一種子集合族敲茄，其中的子集具有以下的一些性質(zhì)(滿足的公理)
- 空集和自身在其中
- 有限個(gè)子集的交封閉
- 可數(shù)個(gè)子集的并封閉
這些子集稱之為開集
起初我們見到這種定義甚為疑惑
它的定義來(lái)自于（姑且這么理解）度量空間。最常見的度量空間就是在實(shí)數(shù)集上定義歐幾里得距離的集合
一般把武裝了一些性質(zhì)運(yùn)算的集合稱為空間。歐式1維 定義距離
二維空間
可以繼續(xù)推廣到 n 維
總之 可以記為度量 d 的空間，它是度量空間陕见。
在度量空間下党饮，可以引出所謂的開集，閉集街州，鄰域的概念
形象而不精確的表述
開集是一種任意點(diǎn)都在內(nèi)部的集合，像 實(shí)數(shù)軸上 (a, b) 段玻孟，包含了所有 大于 a 卻小于b的實(shí)數(shù)唆缴，但是卻不含邊界a, b 而閉集卻包含。在多維空間中黍翎，這是一個(gè)以某個(gè)圓心面徽，半徑為 r 的“球體"球體上。
拓?fù)渌胱非蟮氖窃趺幢硎觥班徑粋€(gè)點(diǎn)”匣掸，在度量空間上趟紊，這一點(diǎn)很好解決，無(wú)非是距離趨近于 0 碰酝，但是實(shí)際問題中霎匈，我們并不是都能輕松地得到定義合理的度量，有時(shí)候?qū)ο笾g的鄰近關(guān)系是邏輯的送爸，沒那么明顯的度量铛嘱。
比如網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，以及連通性袭厂，可達(dá)性墨吓，在一個(gè)圖狀的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，對(duì)象之間包含彼此的地址是一種聯(lián)系纹磺，考慮他們的空間距離毫無(wú)意義帖烘。計(jì)算機(jī)內(nèi)存管理中，為了刪除不用內(nèi)存橄杨，必須搞清楚它在整個(gè)引用關(guān)系的狀況秘症，這需要在這個(gè)圖狀的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中游走，找到那些符合刪除特征的節(jié)點(diǎn)讥珍。
另一方面历极，將度量的特性抽象，或除去衷佃，可能會(huì)帶來(lái)對(duì)這種數(shù)學(xué)對(duì)象更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)趟卸。
很著名的一個(gè)概念如同胚，我們不用度量的觀點(diǎn)看它，那么像一個(gè)球和和一個(gè)實(shí)心正方體锄列，以及一個(gè)游泳圈是不是一個(gè)一樣的對(duì)象图云？
開篇提到的定義基于兩種力量得到。
一邻邮、關(guān)于動(dòng)機(jī)的竣况。我們需要一個(gè)更抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象，不依賴與歐式空間的度量
二筒严、我們觀察到歐式空間下的開集特性
具有
- 兩個(gè)開集之交集仍為開集
- 若干個(gè)開集之并仍為并集
這個(gè)事實(shí)只需要把開集的精確定義稍加陳述丹泉，然后再加上一點(diǎn)集合論中的歸屬關(guān)系就可以證明。
試舉一例
比如說鸭蛙，在度量空間中的開集可以定義為摹恨，所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)的集合，又娶视，是集合
的內(nèi)點(diǎn)是指晒哄，對(duì) 任意的
,存在
使得 領(lǐng)域
包含在
那么選取一個(gè) 在若干個(gè)開集的并集 中的成員，根據(jù)集合論的交并關(guān)系肪获，它肯定是在其中一個(gè)開集上寝凌，于是它
基于度量空間上開集的這幾個(gè)特性劫映，把它作為一種公理特性，放在一個(gè)子集族上來(lái)敘述刹前，構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。
然后開集被公理花了
只要是子集族內(nèi)的一個(gè)成員就是開集
根據(jù)拓?fù)淇臻g的定義雌桑，很容易構(gòu)造出一個(gè)有限的集合的拓?fù)淇臻g
假設(shè)
X = {1,2,3}
那么 X的子集族構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g
其中每個(gè)子集都是 的開集
