1 前言

??本文是基于《編碼》狗唉、《穿越計(jì)算機(jī)的迷霧》兩部著作進(jìn)行讀后整理的記錄性博客耍群。對(duì)書(shū)中較為重要的內(nèi)容進(jìn)行歸納整理進(jìn)行二次創(chuàng)作香椎，略去了繁瑣的講述細(xì)節(jié)乐埠，力求簡(jiǎn)明扼要抗斤。

編碼：一種由若干符號(hào)和規(guī)則組成的系統(tǒng)，用來(lái)向計(jì)算機(jī)表述指令丈咐。

2 正文

2.1 如何實(shí)現(xiàn)減法

??加法和減法在某些方面相互補(bǔ)充瑞眼，但在機(jī)制方面這兩個(gè)運(yùn)算則是不同的。加法是始終從兩個(gè)加數(shù)的最右列向最左列進(jìn)行計(jì)算的棵逊。每一列的進(jìn)位加到下一列中伤疙。在減法中沒(méi)有進(jìn)位，而是有借位——一種與加法存在本質(zhì)區(qū)別的麻煩機(jī)制辆影。

??要解決這個(gè)問(wèn)題徒像，首先從最右列著手。我們看到蛙讥，6 是大于 3 的厨姚，因此從 5 上借 1，再用 13 減去 6键菱，得到結(jié)果為 7谬墙。由于我們已經(jīng)在 5 上借了 1，因此经备，現(xiàn)在實(shí)際上那一位是 4拭抬，而 4 是小于 7 的，因此繼續(xù)從 2 上借 1侵蒙，14 減 7 結(jié)果為 7造虎。而由于在 2 上借了 1，實(shí)際上這一位是 1纷闺，從中減去 1算凿，結(jié)果為 0。因此犁功，最后的結(jié)果應(yīng)為 77氓轰。

??如何才能通過(guò)一連串邏輯門(mén)來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)反邏輯呢？

??然而浸卦，我們并不打算這樣做署鸡。相反，我們打算用一個(gè)小技巧來(lái)讓減法不涉及借位。為了避免借位靴庆，首先要從 999 中減去減數(shù)时捌，而不是從原來(lái)的被減數(shù)中減去減數(shù)。從一串 9 中減去一個(gè)數(shù)叫做對(duì) 9 求補(bǔ)數(shù)炉抒。176 對(duì) 9 的補(bǔ)數(shù)是 823奢讨。

??計(jì)算出減數(shù)對(duì) 9 的補(bǔ)數(shù)后，將補(bǔ)數(shù)與原來(lái)的被減數(shù)相加：

??最后再將結(jié)果加 1焰薄，并減去 1000拿诸。

??到此，我們就得到了結(jié)果蛤奥。答案與先前的相同佳镜，而且沒(méi)有用到借位。

??我們按照前面的步驟梳理一下計(jì)算過(guò)程凡桥。原題目是這樣的：

??這個(gè)式子于下面的式子等價(jià)：

??我們用兩個(gè)減法和兩個(gè)加法來(lái)替代一個(gè)減法蟀伸，而在這個(gè)過(guò)程中避免了煩瑣的借位。

??如果減數(shù)大于被減數(shù)會(huì)怎么樣呢缅刽？例如以下問(wèn)題：

??如果希望求解這個(gè)問(wèn)題而不使用借位的話啊掏，就要采用與之前稍微不同的方法。首先要像前面一樣衰猛，用 999 減去減數(shù) 253迟蜜，計(jì)算出對(duì) 9 的補(bǔ)數(shù)：

??把該數(shù)對(duì) 9 的補(bǔ)數(shù)與被減數(shù)相加：

??在前面的例子中，下一步應(yīng)該加 1啡省，并減去 1000 來(lái)得到最終結(jié)果娜睛。但是在這里，這種方法并不適用卦睹。因?yàn)槟銜?huì)遇到 923 減去 1000 的情況畦戒，這又導(dǎo)致了借位。由于我們之前已經(jīng)加了 999结序，這里再減去 999：

??到這里障斋，我們會(huì)意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果是負(fù)數(shù)，因此需要將減數(shù)與被減數(shù)交換徐鹤，用 999 減去 922（也即改成 999 - 922垃环，結(jié)果加上負(fù)號(hào)）。這里沒(méi)有用到借位返敬，結(jié)果與我們期望的相同：

??同樣我們來(lái)回顧總結(jié)一下上述的計(jì)算過(guò)程遂庄。原題目是這樣的：

??這個(gè)式子于下面的式子等價(jià)：

??同樣的技巧可以用于二進(jìn)制數(shù)中，而且實(shí)際上這要比十進(jìn)制數(shù)簡(jiǎn)單救赐。

實(shí)際上這上面介紹的針對(duì)減法的用于避免借位的計(jì)算技巧主要是保持計(jì)算過(guò)程中永遠(yuǎn)是對(duì)位最大的數(shù)（999）減去小的數(shù)涧团，這樣的話在相減的過(guò)程中就避免了要向前面借位只磷，可以直接減掉经磅。而由于是十進(jìn)制下所以對(duì)位最大的數(shù)是 9泌绣，利用對(duì)位最大數(shù)去減去任何數(shù)都不涉及借位的操作。而對(duì)于二進(jìn)制下预厌，對(duì)位最大的數(shù)是 1阿迈，也即計(jì)算出該數(shù)在二進(jìn)制下對(duì) 1 的補(bǔ)數(shù)。111 在二進(jìn)制下的作用就相當(dāng)于十進(jìn)制下的 999轧叽。

??將上面提到的 254 - 176 轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行計(jì)算苗沧，那么問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

??同樣的，求補(bǔ)數(shù)：

??在求對(duì) 1 的補(bǔ)數(shù)時(shí)炭晒，只需將原來(lái)的二進(jìn)制數(shù)中的 1 變?yōu)?0待逞，將 0 變?yōu)?1 即可。因此對(duì) 1 求補(bǔ)數(shù)有時(shí)也會(huì)稱(chēng)為相反數(shù)（negation）或反碼（inverse）网严。在前面的內(nèi)容中我們介紹過(guò)反向器识樱，它的作用就是將 0 變?yōu)?1，將 1 變?yōu)?0震束。

??將減數(shù)對(duì) 1 的補(bǔ)數(shù)與被減數(shù)相加：

??將上式所得結(jié)果加 1怜庸，減去 100000000（即 256）：

??我們把這兩個(gè)數(shù)顛倒位置后再做一遍。在十進(jìn)制中垢村，減法題目對(duì)應(yīng)于 176 - 253割疾。而用二進(jìn)制表示為：

??計(jì)算過(guò)程如下，最后計(jì)算結(jié)果加上負(fù)號(hào)：

??了解了上述計(jì)算技巧后嘉栓，我們可以開(kāi)始嘗試實(shí)現(xiàn)一下減法的操作宏榕。下面構(gòu)建的減法器適用于計(jì)算結(jié)果為正數(shù)的減法操作。

??針對(duì)求補(bǔ)數(shù)的計(jì)算過(guò)程侵佃，二進(jìn)制數(shù)對(duì)1求補(bǔ)數(shù)相當(dāng)于對(duì)其每位取反麻昼，因此我們可以利用反向器來(lái)實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的操作。以 8 為二進(jìn)制減法為例趣钱，我們計(jì)算 8 位二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)數(shù)的時(shí)候可以簡(jiǎn)單地應(yīng)用 8 個(gè)反向器涌献。

??問(wèn)題是，該電路只會(huì)對(duì)輸入求反首有，而我們要的是一臺(tái)既能做加法又能做減法的機(jī)器燕垃，因此就要求該電路當(dāng)且僅當(dāng)進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)才實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)。電路可以改造為如下圖所示井联。

??標(biāo)記為 “取反” 的信號(hào)將被輸入到每一個(gè)異或門(mén)中卜壕。回想一下異或門(mén)的工作方式烙常，如下表所示轴捎。

??因此鹤盒，如果 “取反” 信號(hào)是 0，則 8 個(gè)異或門(mén)輸出與輸入相同侦副。例如侦锯，如果輸入是 01100001，那么輸出也為 01100001秦驯。如果 “取反” 信號(hào)為 1尺碰，則輸出信號(hào)反置。例如译隘，如果輸入為 01100001亲桥，輸出則為 10011110。

??將 8 個(gè)異或門(mén)合并起來(lái)畫(huà)成一個(gè)器件固耘，稱(chēng)為求補(bǔ)器（One’sComplement）题篷，如下所示。

??將一個(gè)求補(bǔ)器厅目，一個(gè) 8 位二進(jìn)制加法器和一個(gè)異或門(mén)做如下連接番枚。

??注意，這里三個(gè)信號(hào)都標(biāo)識(shí)為 “SUB”璧瞬，這就是加/減法轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)户辫。當(dāng)該信號(hào)為 0 的時(shí)候，其進(jìn)行的是加法運(yùn)算嗤锉，為 1 時(shí)進(jìn)行的則是減法運(yùn)算渔欢。在減法中，輸入 B（第二排開(kāi)關(guān)）在送入加法器之前瘟忱，需先通過(guò)求補(bǔ)電路進(jìn)行取反奥额。此外，在做減法時(shí)访诱，我們通過(guò)設(shè)定 CI（進(jìn)位輸入）為 1 來(lái)使得結(jié)果加 1垫挨。而在加法中，求補(bǔ)電路將不起作用触菜，且輸入 CI 為 0九榔。

??加法器的 SUB 信號(hào)和 CO（進(jìn)位輸出）輸出作為異或門(mén)的輸入來(lái)控制表示上溢/下溢的燈泡。如果 SUB 信號(hào)為 0（表示進(jìn)行加法運(yùn)算）涡相，則當(dāng)加法器 CO 輸出為 1 時(shí)燈亮哲泊，意思是加法計(jì)算結(jié)果大于 255。

??當(dāng)進(jìn)行減法運(yùn)算的時(shí)候催蝗，如果減數(shù)（輸入 B）小于被減數(shù)（輸入 A）切威，這時(shí)加法器的 CO 輸出為 1。這表示減法的最后一步要減去 100000000丙号。也就是說(shuō)減數(shù)要大于被減數(shù)先朦，結(jié)果為負(fù)缰冤。上面所示器件現(xiàn)在還不能表示負(fù)數(shù)。因此喳魏，上溢/下溢指示燈僅在加法器的 CO 輸出為 0 時(shí)才會(huì)亮起棉浸。

3 小結(jié)

??編碼：實(shí)現(xiàn)減法篇對(duì)二進(jìn)制加法器部分進(jìn)行了拓展，討論了如何利用全加器實(shí)現(xiàn)了二進(jìn)制的減法操作截酷。為了精簡(jiǎn)內(nèi)容刪減了部分較為詳細(xì)的書(shū)寫(xiě)涮拗，僅作為整理總結(jié)乾戏。