上一篇文章中荣刑，線性回歸關(guān)鍵問題之一：求解系數(shù)的方法梯度下降措嵌。梯度下降在數(shù)據(jù)挖掘很多算法中都有應(yīng)用， 屬于比較基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方法谤辜， 本文對(duì)此算法進(jìn)行基本的介紹蓄坏。

梯度下降在機(jī)器學(xué)習(xí)中的意義：
機(jī)器學(xué)習(xí)算法會(huì)利用某個(gè)統(tǒng)計(jì)量來刻畫目標(biāo)函數(shù)的擬合情況。雖然不同的算法擁有不同的目標(biāo)函數(shù)表示方法和不同的系數(shù)值丑念，但是它們擁有一個(gè)共同的目標(biāo)——即通過最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)來獲取最佳參數(shù)值涡戳。而梯度下降法就是優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)而求得最佳參數(shù)值的方法。

梯度下降數(shù)學(xué)原理

理解梯度概念之前脯倚， 先預(yù)習(xí)下幾個(gè)基本概念和物理意義：

導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義渔彰，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內(nèi)時(shí)推正，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)恍涂；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)舔稀，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記為f'(x0)乳丰，也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0掌测，即：

導(dǎo)數(shù)公式

導(dǎo)數(shù)的物理意義：表示函數(shù)值在這一點(diǎn)的變化率内贮。

偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)定義（以二元函數(shù)X方向偏導(dǎo)數(shù)為例）:
設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(diǎn)(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點(diǎn).把y固定在y0而讓x在x0有增量△x汞斧，相應(yīng)地偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對(duì)x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)夜郁。如果△z與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)(partial derivative)粘勒。記作f'x(x0,y0)竞端。

在X方向的偏導(dǎo)數(shù)

如上圖所示：偏導(dǎo)數(shù)表示固定面上一點(diǎn)M0（x0, y0, z0）對(duì)x軸的切線斜率;
偏導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)沿坐標(biāo)軸正方向的變化率。

方向?qū)?shù)

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)值沿坐標(biāo)軸方向的變化率庙睡，而方向?qū)?shù)則是反應(yīng)的函數(shù)值沿各個(gè)方向的變化率事富。方向?qū)?shù)的定義:

方向?qū)?shù)定義

方向?qū)?shù)的求解公式：

方向?qū)?shù)的求解公式

說明：其中a1, a2, ..., an指的是向量L與各個(gè)坐標(biāo)軸的夾角。

在了解以上幾個(gè)概念之后乘陪， 正式進(jìn)入本文的正題：梯度统台。

梯度

數(shù)學(xué)對(duì)梯度的定義如下：

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通過上面的公式， 很顯然梯度與方向?qū)?shù)存在某種聯(lián)系啡邑。通過向量的推導(dǎo)贱勃，很容易得到如下公式：

方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系

其中：L0是方向?qū)?shù)中向量L的單位向量

L0向量的定義

要這個(gè)向量的點(diǎn)積達(dá)到最大， 即方向?qū)?shù)達(dá)到最大， gradf和L0必須同方向贵扰，也就是說當(dāng)L0是梯度gradf的方向時(shí)仇穗， 方向?qū)?shù)到達(dá)最大。因此梯度的物理意義：是函數(shù)各個(gè)方向上變化率最大的那個(gè)方向戚绕，函數(shù)沿著梯度的方向纹坐，變化率達(dá)到最大。

梯度下降優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的原理

在理解梯度下降的物理意義之后列肢， 自然就能理解梯度下降在回歸算法（其他機(jī)器學(xué)習(xí)算法也會(huì)用到）的作用：優(yōu)化損失函數(shù)恰画，讓損失函數(shù)一直沿著最大的降低方向變化，最終找到最小損失函數(shù)（也可能是局部最写陕怼）拴还。具體如圖所示：

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實(shí)現(xiàn)回歸算法損失函數(shù)的思路：每次算出損失函數(shù)的梯度（就是對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算），計(jì)算出每個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)后欧聘， 在每個(gè)參數(shù)上減去相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)片林，得到一個(gè)新的參數(shù)值， 損失函數(shù)就得到函數(shù)值降低最快的效果怀骤。迭代過程持續(xù)到參數(shù)收斂费封，參數(shù)是否收斂的判斷依據(jù)是：
1、θ值變化不再明顯（差值小于某給定值）蒋伦；
2弓摘、用損失函數(shù)值變化不明顯，訓(xùn)練值加上迭代的參數(shù)值觀察損失函數(shù)的變化情況痕届，直到變化不再明顯韧献；
3、存在收斂過慢或者死循環(huán)的情況研叫，可以強(qiáng)制限制迭代次數(shù)锤窑。

下面用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)下回歸算法損失函數(shù)求解參數(shù)的相關(guān)公式。損失函數(shù)如下：

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PS：1/2是為后續(xù)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)方便嚷炉，并不影響求解損失函數(shù)的最小值渊啰。

對(duì)一個(gè)樣本點(diǎn)j，參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)：

參數(shù)偏倒數(shù)的推導(dǎo)過程

對(duì)有M個(gè)樣本點(diǎn)申屹，第J個(gè)參數(shù)就基于上面偏導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行更新绘证，其迭代的過程如下所示：

參數(shù)的迭代公式

公式中alpha 是步長。

梯度下降的局限性

通過參數(shù)最終的迭代公式以及梯度下降的實(shí)現(xiàn)思路可知哗讥，梯度下降公式存在如下幾個(gè)問題：

1. 計(jì)算量很大嚷那，因?yàn)槊看胃聇heta值時(shí)都要將整個(gè)訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，該算法在訓(xùn)練集合非常大的情況下將會(huì)非常低效忌栅。
2. 計(jì)算的初始值對(duì)結(jié)果影響大车酣。如果該函數(shù)不是凸函數(shù)（凸函數(shù)得到的最終值是全局最小值)曲稼， 函數(shù)得到的是局部最小值， 初始值不一樣湖员， 最小值也會(huì)不一樣贫悄。如果函數(shù)沒有最小值，就會(huì)陷入無限循環(huán)中娘摔。

梯度下降的實(shí)現(xiàn)

用代碼實(shí)現(xiàn) 簡單的梯度下降程序窄坦。
利用y = 2 * x1 + (x2^2) / 2生成x_train, y_train數(shù)據(jù)， 具體的實(shí)現(xiàn)如下圖：

# y = 2 * x1 + (x2^2) / 2 
alpha=0.001
max_count = 1000000

x_train = [(1.0,3.0), (2.0, 4.0), (3.0, 5.0), (5.0,9.0), (8.0, 10.0)]
y_train = [6.6, 12.2, 18.8, 50.5, 66.3]

error_end = 0.5

#h(x)
def h(x, theta0, theta1):
    #global theta0, theta1
    #print theta0, theta1, x[0], x[1]
    hx = theta0 * x[0] + theta1 * (x[1]**2)
    return hx

def gradf():
    theta0 = 0.5 
    theta1 = 0.1
    data_len = len(y_train)
    cn = 0
    is_finish = False
    while True:
        for i in range(data_len):            
            det_theta = alpha * (h(x_train[i], theta0, theta1) -  y_train[i])
            theta0 = theta0 - (det_theta) * x_train[i][0]
            theta1 = theta1 - (det_theta) * x_train[i][1]

        error = 0.0
        for i in range(data_len):
            error = error + ((y_train[i] - h(x_train[i], theta0, theta1))**2)/2
        cn = cn + 1
        if error < error_end or cn > max_count:
            print error
            break;

    print "theta:%f, %f" %(theta0, theta1)

if __name__=="__main__":
   gradf()

程序運(yùn)行后得到的參數(shù)：

theta:1.682974, 0.528715

對(duì)比函數(shù)y = 2 * x1 + (x2^2) / 2的參數(shù)： 2凳寺， 0.5鸭津。有所差異， 但還是比較接近肠缨。

以上是最簡單的批量梯度下降方法逆趋， 梯度下降還涉及alpha步長， 非凸函數(shù)的初始化參數(shù)選取問題等等晒奕， 后續(xù)文章再探討闻书。