超現(xiàn)實(shí)數(shù)，Surreal-Number机错。
區(qū)別于另一個(gè)很接近的數(shù)學(xué)概念：超實(shí)數(shù)Hyperreal-Number。
超現(xiàn)實(shí)數(shù)是到目前為止唯一一個(gè)在科幻小說(shuō)中誕生的嚴(yán)肅且全面的數(shù)學(xué)概念。
PS：那本書(shū)的嚴(yán)謹(jǐn)程度大概已經(jīng)遠(yuǎn)超一般的“數(shù)學(xué)科幻小說(shuō)”的范疇了乡摹，基本就是一本用對(duì)話(huà)的形式寫(xiě)的數(shù)學(xué)論文。采转。趟卸。當(dāng)然，我們不要在意這些細(xì)節(jié)氏义。
PS又PS：當(dāng)然這個(gè)概念也不是這本書(shū)完全地憑空想象出來(lái)的锄列，此前另一位數(shù)學(xué)家Conway已經(jīng)有了類(lèi)似的想法，不過(guò)還沒(méi)有系統(tǒng)整理惯悠，接著Knuth就給寫(xiě)成小說(shuō)了邻邮。。克婶。Conway很開(kāi)心地從此一直沿用了Knuth在小說(shuō)中所給的“Surreal Number”這個(gè)名詞筒严，從而誕生了我們現(xiàn)在所看到的超現(xiàn)實(shí)數(shù)丹泉。
上面不過(guò)是周邊介紹，還是來(lái)說(shuō)說(shuō)這貨吧鸭蛙。
超現(xiàn)實(shí)數(shù)的定義依賴(lài)于下面這三條：
- 每個(gè)超現(xiàn)實(shí)數(shù)都可以寫(xiě)作< A | B >摹恨，其中A和B是兩個(gè)超現(xiàn)實(shí)數(shù)集合，且B中不存在元素小于等于A中的某個(gè)元素娶视；
- 所謂一個(gè)超現(xiàn)實(shí)數(shù)a=< a_L | a_R >小于等于超現(xiàn)實(shí)數(shù)b=< b_L | b_R >晒哄，是指a_L中不存在元素使b小于等于它，且b_R中不存在元素小于等于a肪获；
- 如果超現(xiàn)實(shí)數(shù)a和b滿(mǎn)足a小于等于b且b小于等于a寝凌，則稱(chēng)a和b屬于同一個(gè)等價(jià)類(lèi)。
這是一個(gè)循環(huán)定義的有序集孝赫，且在配合上恰當(dāng)?shù)募臃ㄅc乘法運(yùn)算后较木，可以利用等價(jià)類(lèi)構(gòu)成最大的有序域，即沒(méi)有任何有序域能比超現(xiàn)實(shí)數(shù)域更大青柄。我們的實(shí)數(shù)域是其一個(gè)子域伐债，而且是非常非常小的一個(gè)子域。
在超現(xiàn)實(shí)數(shù)中致开，每個(gè)數(shù)具體是多少我們其實(shí)從定義來(lái)說(shuō)并不清楚泳赋。
事實(shí)上，通過(guò)上述定義喇喉，我們首先可以證明的應(yīng)該是a小于等于a（于是a大于等于a）——這一顯而易見(jiàn)的結(jié)論其實(shí)還是需要證明一下的祖今。
通過(guò)小于等于的證明，這個(gè)顯而易見(jiàn)的結(jié)論可以顯而易見(jiàn)地被證明（這似乎是一句廢話(huà)拣技。千诬。。）膏斤。
隨后徐绑，我們可以證明超現(xiàn)實(shí)數(shù)a=< a_L | a_R >不小于等于其左集a_L中的任何元素。
因?yàn)槿绻鸻小于等于a_L中的某個(gè)元素b莫辨，那么按照小于等于的定義傲茄，我們就可以推出a_L中沒(méi)有元素可以使b小于等于它，但b顯然小于等于自身沮榜，于是矛盾盘榨。
同理，a_R中的任何元素也必然不小于等于a蟆融。
也就是說(shuō)草巡，a是介于其a_L中最“大”的元素與a_R中最“小”的元素之間的元素。
用等價(jià)類(lèi)來(lái)說(shuō)型酥，a = < a_L | a_R > ～ < {a_L_max} | {a_R_min} >
但這樣的想法本身卻也是不對(duì)的山憨，比如下面這幾個(gè)：
a=<|>
b=<a|>
c=<|a>
上面這三個(gè)都是合法的超現(xiàn)實(shí)數(shù)查乒，但卻不能被視為上面所提到的那種“介于左集最大和右集最小”之間，因?yàn)槠渥蠹蛘哂壹强占?br>
這就是定義有趣的地方了——“沒(méi)有元素”郁竟，對(duì)空集來(lái)說(shuō)當(dāng)然是“沒(méi)有元素”了玛迄。
所以，超現(xiàn)實(shí)數(shù)可以寫(xiě)為以下幾種形式：
<|>
<{a_L_max}|>
<|{a_R_min}>
<{a_L_max}|{a_R_min}>
其中棚亩，第一個(gè)是最特殊的蓖议。
就和自然數(shù)可以通過(guò)序數(shù)的方式來(lái)構(gòu)造一樣：
0={}
1={0}={{}}
2={1}={{{}}}
以此類(lèi)推。
我們同樣可以利用特殊元素<|>構(gòu)造出超現(xiàn)實(shí)數(shù)中的“自然數(shù)”（以下采用左最大或者右最小來(lái)表示整個(gè)左集或者右集）：
0=<|>
1=<0|>
2=<1|>
3=<2|>
...
-1=<|0>
-2=<|-1>
-3=<|-2>
...
很容易驗(yàn)證這樣的做法的有效性蔑舞，比如：
0小于等于1，因?yàn)?的左集（空集）中沒(méi)有元素大于等于1嘹屯，這是顯而易見(jiàn)的攻询；而1的右集（也是空集）中也不存在元素小于等于0。
是不是頓時(shí)感到“空集”和“沒(méi)有元素”這一對(duì)活寶真的很逆天州弟？
事實(shí)上钧栖，由于很容易證明1不會(huì)小于等于0，于是1和0也不構(gòu)成等價(jià)類(lèi)婆翔，即使0不等于1拯杠，于是我們事實(shí)上證明了0小于1。
同理可以證明0小于2啃奴、3潭陪、4......
1小于等于2也是很容易證明的：1的左集只有元素0，而0顯然不大于等于2（利用上面證明0小于1的技巧）最蕾；另一方面依溯，2的右集是空集，于是瘟则，你懂的黎炉。
事實(shí)上，利用數(shù)學(xué)歸納法醋拧，我們可以證明如上構(gòu)造的所有1,2,3,4...和自然數(shù)一樣構(gòu)成一個(gè)有序數(shù)列慷嗜，而-1,-2,-3,-4...也是如此。
因此丹壕，我們就在超現(xiàn)實(shí)數(shù)中構(gòu)造了和自然數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)庆械。
游戲到這里還沒(méi)有結(jié)束。
讓我們假定菌赖，存在一個(gè)特殊的超現(xiàn)實(shí)數(shù)w干奢，其比如上定義的所有大于<|>的數(shù)都要大，即：
n=<n-1|>盏袄，n小于等于w在limit(n->無(wú)窮）忿峻。
這樣的數(shù)的存在會(huì)導(dǎo)致什么呢薄啥？
比如我們考慮<w|>，然后就發(fā)現(xiàn)這貨比w大逛尚，可以記為w+1垄惧。
接著，就可以構(gòu)造w+2=<w+1|>绰寞。
于是到逊，如果說(shuō)w是自然數(shù)的正無(wú)窮，那么在超現(xiàn)實(shí)數(shù)中滤钱，我們可以安心地構(gòu)造正無(wú)窮+1觉壶、正無(wú)窮+2這樣離經(jīng)叛道的數(shù)。
我們甚至可以和構(gòu)造limit(n->無(wú)窮; n=<n-1|>)一樣件缸，構(gòu)造limit(n->無(wú)窮; w+n=<w+n-1|>)铜靶。
在我們引入超現(xiàn)實(shí)數(shù)的加法和乘法后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這貨等于2w他炊。
然后争剿，還有w2甚至ww乃至www....^w這樣大得無(wú)法想象的數(shù)。
而痊末，這在實(shí)數(shù)域中是不能定義的東西蚕苇。
所以我們才會(huì)說(shuō)，超現(xiàn)實(shí)數(shù)是比實(shí)數(shù)大得多得多的存在凿叠。
嗯涩笤，今天就先簡(jiǎn)單介紹到這里吧。
