專題:等價標準型

基礎概念

r(A)=r則存在可逆矩陣P,Q使得A=P \left( \begin{array}{ll}{E_{r}} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right) Q

典型例題

例3.5設A是秩為rn階矩陣卤妒,證明存在秩為n-rn階矩陣B使得AB=BA=0
例3.8設A \in F^{n \times n}, r(A)=r, A^{2}=A證明:存在可逆矩陣P使得P^{-1} A P=\left( \begin{array}{cc}{E_{r}} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right)
例3.9(1)設n階方陣A的秩為r(A)=r, A^{2}=a A(a \neq 0),證明:存在可逆矩陣P使得P^{-1}AP= \left( \begin{array}{cc}{a E_{r}} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right)
(2)設n階方陣A=\left( \begin{array}{cccc}{1} & {1} & {\cdots} & {1} \\ {1} & {1} & {\cdots} & {1} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {1} & {1} & {\cdots} & {1}\end{array}\right), B=\left( \begin{array}{cccc}{n} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {0}\end{array}\right)證明:存在可逆矩陣P使得P^{-1}AP=B
例3.10設A \in F^{n \times n}, r(A)=r求證A^2=A的充要條件是存在秩為rn\times r矩陣S和秩等于rr\times n矩陣T该编,使得A=ST,TS=I_r其中I_rr階單位矩陣
例3.13設An\times m矩陣寒跳,Bm\times n矩陣爷辙。證明:
\lambda^{n}\left|\lambda E_{m}-B A\right|=\lambda^{m}\left|\lambda E_{n}-A B\right|(三種方法)

參考文獻

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