Note

這是對MIT Foundation of 3D Computer Graphics第17章的翻譯，本章講解了常量重建和雙線性重建兩種重建算法的基礎(chǔ)知識钳枕。本書內(nèi)容仍在不斷的學(xué)習(xí)中赏壹，因此本文內(nèi)容會不斷的改進(jìn)蝌借。若有任何建議，請不吝賜教ninetymiles@icloud.com自晰。

注：文章中相關(guān)內(nèi)容歸原作者所有酬荞，翻譯內(nèi)容僅供學(xué)習(xí)參考瞧哟。
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已經(jīng)完成的章節(jié)

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• 第六章
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• 第二十一章
• 第二十二章
• 第二十三章
• 附錄B-仿射函數(shù)基礎(chǔ)

重建（Reconstruction）

現(xiàn)在讓我們關(guān)注對立問題：假定一個具體圖像，我們怎樣生成一個連續(xù)圖像虐急？正如我們將會看到的，這個問題對于圖像尺寸調(diào)整以及紋理映射是中心問題被辑。例如盼理，在碎片著色器中俄删，我們可能希望借助落入（兩個）紋理像素之間的紋理坐標(biāo)從紋理中獲取色彩畴椰。在這種情形中，我們需要決定使用什么紋理色彩抓艳。這個處理被稱為重建壶硅。

17.1 常量重建（Constant）

讓我們再次假設(shè)我們的像素對應(yīng)整數(shù)值化的()地址销斟，同時我們希望在某種小數(shù)值化的地址處決定一個色彩蚂踊。可能最容易的圖形重建方式為常量重建（或稱作最近鄰居）方法棱诱。在這種方法中涝动，一個實數(shù)值化的圖像坐標(biāo)被假定擁有最近的具體像素的色彩醋粟。這種方法可以借助下面的偽碼描述

color constantReconstruction(float x, float y, color image[][]){ 
    int i = (int) (x + .5); //四舍五入到整型值
    int j = (int) (y + .5);  
    
    return image[i][j] 
}

這種“(int)”類型轉(zhuǎn)換近似一個數(shù)字p為不大于p的最近的整數(shù)重归。

我們把這種方法當(dāng)作是定義了在連續(xù)()域上的連續(xù)圖像鼻吮。我們稱此為“常量重建（constant reconstruction）”椎木，因為最終的連續(xù)圖像由常量色彩的小正方形塊組成香椎。例如脖母，圖像在正方形區(qū)域：和中擁有常量值谆级。每個像素?fù)碛?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=1%5Ctimes1" alt="1\times1" mathimg="1">的影響范圍。參考圖示的左側(cè)脚仔。

Figure17.1.png

17.2 雙線性重建（Bilinear）

常量重建產(chǎn)生塊狀外觀的圖像沦疾。我們可以借助雙線性插值生成更平滑外觀的重建第队。雙線性插值通過在水平和垂直方向都進(jìn)行線性插值來獲得。它可以通過下面的代碼被描述：

color bilinearReconstruction(float x, float y, color image[][]){

int intx = (int) x; 
int inty = (int) y; 
float fracx = x - intx; 
float fracy = y - inty;

colorx1 = (1-fracx) * image[intx] [inty] + (fracx) * image[intx+1][inty]; 
colorx2 = (1-fracx) * image[intx] [inty+1] + (fracx) * image[intx+1][ inty+1];

colorxy = (1-fracy) * colorx1 + (fracy) * colorx2;

return(colorxy)
}

在這種代碼中忆畅，我們首先在坐標(biāo)上應(yīng)用線性插值邻眷，跟著在坐標(biāo)上應(yīng)用前面所獲結(jié)果的線性插值。

在整數(shù)坐標(biāo)上，我們有岖常；重建的連續(xù)圖像認(rèn)同具體圖像竭鞍。在整數(shù)坐標(biāo)之間，色彩值被連續(xù)混合冯乘。每個具體圖像中的像素以一種可變的程度影響著連續(xù)圖像中正方形區(qū)域中的每個點(diǎn)裆馒。圖示比較了常量和雙線性重建丐怯。

讓我們更仔細(xì)一點(diǎn)觀察坐標(biāo)所確定的正方形读跷，其中和為某種固定值梗搅。在這個正方形上无切，我們可以表達(dá)重建為

此處和為上面的fracx和fracy哆键。重新排列各項我們得到

完成上面步驟洼哎，我們看到重建函數(shù)在變量上擁有常量項噩峦，線性項，和雙線性項凭涂，因此在上也是相同的情況。這就是雙線性名稱的來源澎胡。同時這也清晰無誤地表明了這種重建對于水平和垂直方向是對稱的，因而偽碼中水平優(yōu)先的順序表達(dá)不是影響對錯的關(guān)鍵因素。

17.3 基礎(chǔ)函數(shù)（Basis Functions）

要獲得重建方法通用形式的更多理解垦搬，我們可以返回到方程（17.1）然后重新排列各項獲得

在這種形式中糟趾，我們看到對于一個固定位置，連續(xù)重建的色彩在的具體像素值中是線性的非驮。因為這在所有的上都是確定的，對于函數(shù)的某種合適選擇，我們看到事實上重建一定是這種形式

這些函數(shù)被稱作基函數(shù)（basis functions）允华；它們描述了像素多大程度上影響處的連續(xù)圖像。

在這種雙線性重建中褐隆，這些函數(shù)被稱作帳篷函數(shù)（tent functions）蜜宪，它們被定義如下：讓作為單變量帽子函數(shù)（hat functions）被定義為

參考圖示。（在1D中，帽子基（hat basis）可以被用于接收在整數(shù)值范圍上的一個值的集合摊聋，同時線性插值它們以獲得一個連續(xù)的單變量函數(shù)。）那么，讓被定義為雙變量函數(shù)

Figure17.2.png

這被稱作一個帳篷函數(shù)（參考圖示）“也幔可以驗證把這些帳篷函數(shù)插入方程（17.2）中會給出我們雙線性重建算法的結(jié)果蔓同。

Figure17.3.png

常量重建也可以用這種形式被建模矿微，但是在這種情形中，基函數(shù)為盒式函數(shù)快骗，其除了圍繞坐標(biāo)的正方形區(qū)域中擁有常量值為1之外荆萤，其余處處都為0.

更通用的情形中绪抛，我們可以選擇各種尺寸和形狀的基函數(shù)俩垃。在高質(zhì)量圖像編輯工具中蜈垮，比如，重建可以借助參考書目[50]中的某種雙-立方基函數(shù)（bi-cubic basis functions）被實現(xiàn)调塌。在這種意義上羔砾，像素不真正為一個小正方形政溃。它只是一個具體值愤诱，其被用于聯(lián)合基函數(shù)集合以獲得一個連續(xù)函數(shù)淫半。

17.3.1 邊緣保留（Edge Preservation）

線性方法脆粥，尤其那些借助方程（17.2）重建一張圖像的線性方法变隔，僅只是在具體像素之間進(jìn)行簡單填充蟹倾。當(dāng)我們靠近觀察重建的連續(xù)圖像，發(fā)現(xiàn)邊緣會顯得模糊掉了肌厨。存在有更高級的非線性技術(shù)豁陆，這些技術(shù)甚至在重建時也嘗試維護(hù)鋒利（立即過渡）的邊緣，但是超越了我們的學(xué)習(xí)范圍表鳍。關(guān)于這個主題的更多資料譬圣，參考及其中的參考文獻(xiàn)雄坪。