如有錯誤，請不吝指正曙砂。對于代碼行內(nèi)沒有對齊的問題头谜，電腦版或者手機(jī)app上查看應(yīng)該就不會出現(xiàn)了。

常見進(jìn)制的英文名

首先要清楚秀的對象是人是狗鸠澈，接著才能開始你的表演柱告。

• Binary：二進(jìn)制
• Quaternary：四進(jìn)制
• Octal：八進(jìn)制
• Decimal：十進(jìn)制
  （同時(shí)也是進(jìn)制的單詞，通常提到進(jìn)制默認(rèn)十進(jìn)制）
• Hexadecimal：十六進(jìn)制

多個進(jìn)制的情況下笑陈，我們需要有一種統(tǒng)一的規(guī)定辨識一個數(shù)是何種進(jìn)制末荐，否則將會引起解讀歧義。計(jì)算機(jī)界通常有兩種最普遍的規(guī)定：

• 狹義規(guī)定：

之所以稱其為狹義規(guī)定新锈，是因?yàn)檫@種規(guī)定只能辨識編程過程中最常用的四種進(jìn)制：2進(jìn)制、8進(jìn)制眶熬、10進(jìn)制和16進(jìn)制妹笆。

1. 2進(jìn)制：在所要表示的數(shù)之前加0b；如0b10表示一個2進(jìn)制數(shù)娜氏。
2. 8進(jìn)制：在所要表示的數(shù)之前加0拳缠；如012表示一個8進(jìn)制數(shù)。
3. 10進(jìn)制：遵從日常習(xí)慣贸弥；如12默認(rèn)為10進(jìn)制窟坐。
4. 16進(jìn)制：在所要表示的數(shù)之前加0x；如0x1A表示一個16進(jìn)制數(shù)。

• 廣義規(guī)定：

廣義規(guī)定使用N_(x)表示x進(jìn)制（其中_(x)應(yīng)該為N的下標(biāo)哲鸳，此處迫于無奈只能用下劃線表示）臣疑；如：10進(jìn)制中的12，我們表示為12_(10)徙菠⊙渡颍可以看到這種規(guī)定可以明確標(biāo)識任意進(jìn)制數(shù)

聲明：狹義、廣義非專業(yè)規(guī)定婿奔，只在本文為方便理解使用缺狠。

為了表述方便，我們在下文計(jì)算過程中使用廣義規(guī)定萍摊。

進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

在這之前挤茄，希望你能忘掉以前所學(xué)過的所有數(shù)學(xué)，如同倚天屠龍記中學(xué)太極劍法的張無忌一般冰木，無招勝有招∏钆現(xiàn)在你是一個連1 + 1都不會的少年！

記得我們最開始學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候片酝，是從加囚衔、乘法表開始的，下面讓我們重新溫習(xí)一遍這部分的知識……

• N_(10)

鑒于10進(jìn)制加雕沿、乘法表大家都已熟悉练湿，這里就不予給出。(OxO)

• N_(2)审轮、N_(3)肥哎、N_(5)

//N_(2)      //N_(3)         //N_(5)
//加法表     //加法表        //加法表
+  0  1      +  0  1  2      +  0  1  2  3  4
0  0  1      0  0  1  2      0  0  1  2  3  4
1  1  10     1  1  2  10     1  1  2  3  4  10
             2  2  10 11     2  2  3  4  10 11
                             3  3  4  10 11 12
                             4  4  10 11 12 13

//乘法表     //乘法表        //乘法表 
*  0  1      *  0  1  2      *  0  1  2  3  4
0  0  0      0  0  0  0      0  0  0  0  0  0
1  0  1      1  0  1  2      1  0  1  2  3  4
             2  0  2  11     2  0  2  4  11 13
                             3  0  3  11 14 22
                             4  0  4  13 22 31

推導(dǎo)這么弱智的東西到底有什么用呢？進(jìn)制轉(zhuǎn)換中用到這些了疾渣？我讀書少別騙我篡诽。很不巧，還真用到了榴捡！

EXAMPLE:

M_(2) -> N_(10)

我們先來看一個最經(jīng)典的例子杈女，2進(jìn)制轉(zhuǎn)換10進(jìn)制。

//看到0吊圾、1字符串中間的空格莫慌达椰，類比電話號碼中的空格
0110 0001_(2) = N_(10)
//step1:從右往左給bit位編碼，編碼從0開始项乒；當(dāng)你熟練之后可以直接跳過
//該步驟……怕被人打啰劲，下方給出熟練之后應(yīng)該怎么做
0|1|1|0|0|0|0|1
7|6|5|4|3|2|1|0
//step2:對應(yīng)位的數(shù)值乘以進(jìn)制數(shù)的編碼次方
N = 1 * 2^0 + 1 * 2^5 + 1 * 2^6
  = 1 + 32 + 64
  = 97
//即
0110 0001_(2) = 97_(10)

高手一般是這樣干的

0110 0001_(2) = N_(10)
//step1:從右往左直接寫2的對應(yīng)冪方
  0| 1| 1| 0| 0|0|0|1
128|64|32|16| 8|4|2|1
//step2:把1對應(yīng)的冪方統(tǒng)統(tǒng)加起來
N = 1 + 32 + 64 = 97
//即
0110 0001_(2) = 97_(10)

與之相對的一個鏡像問題是：

M_(10) -> N_(2)

97_(10) = N_(2);
//step1:97除以2，余1檀何，得48蝇裤；循環(huán)此操作廷支，直到商為0；足夠熟悉者可以
//跳過此步栓辜，直接目測得出結(jié)果……為了不挨打恋拍，下面也會給出
  | 97
2 |____
  | 48  ...  1
2 |____
  | 24  ...  0
2 |____
  | 12  ...  0
2 |____
  | 6   ...  0  
2 |____
  | 3   ...  0
2 |____
  | 1   ...  1
2 |____
    0   ...  1
//step2:從下往上將余數(shù)自左向右寫出來，就是所得2進(jìn)制結(jié)果啃憎，如果有需
//要芝囤，可在結(jié)果前加上補(bǔ)位0
N = 0110 0001
//即
97_(10) = 0110 0001_(2);

當(dāng)然高手是這樣干的：

97_(10) = N_(2);
//step1:若規(guī)定了bit位數(shù)，全部用0補(bǔ)足辛萍。沒有規(guī)定就大概估量一下
//對于用0補(bǔ)足這個問題上悯姊，二進(jìn)制常常用于計(jì)算機(jī)計(jì)算，而最小的存儲單
//位是字節(jié)byte贩毕，1byte = 8 bit悯许，所以我們需要進(jìn)行補(bǔ)0占位的操作
  0| 0| 0| 0| 0|0|0|0
128|64|32|16| 8|4|2|1
//step2:64是所有比97小的冪方中最大的，那么把64對應(yīng)的bit位標(biāo)為1辉阶，并
//且97 - 64 = 33
  0| 1| 0| 0| 0|0|0|0
128|64|32|16| 8|4|2|1
//step3:32是所有比33小的冪方中最大的先壕，那么把32對應(yīng)的bit位標(biāo)為1，并
//且33 - 32 = 1谆甜。重復(fù)上述動作垃僚，直到97變?yōu)?
  0| 1| 1| 0| 0|0|0|1
128|64|32|16| 8|4|2|1
//即
97_(10) = 0110 0001_(2);

這也是大眾熟知的轉(zhuǎn)換方式，方便快捷且足以解決大多數(shù)問題规辱。但需要注意谆棺，2進(jìn)制和10進(jìn)制相當(dāng)特殊，并不具有代表性罕袋。

再來看看下面這個問題：

M_(3)->N(5)

似乎有點(diǎn)麻煩了改淑。正常的做法是將3進(jìn)制用上述辦法轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制，再用上述辦法將所得10進(jìn)制轉(zhuǎn)換成5進(jìn)制浴讯，進(jìn)而間接得到結(jié)果朵夏。這樣完全oxxk！

但問題來了榆纽，3進(jìn)制和5進(jìn)制之間的事仰猖，為什么要10進(jìn)制跟著瞎參和？同樣奈籽，好奇的寶寶可能也會問饥侵，2進(jìn)制轉(zhuǎn)換10進(jìn)制主要用到的是乘法，為什么反過來會用除法唠摹？講道理，進(jìn)制是平等的奉瘤，它們之間的轉(zhuǎn)換應(yīng)該也是統(tǒng)一的勾拉！

其實(shí)我們最常用的這種乘除轉(zhuǎn)換法中省略了很多步驟煮甥，而且有很多省略由于“太過簡單”以至于我們覺察不到，完整的算法步驟應(yīng)該是如下所示：

0110 0001_(2) = N_(10)
//step1:從右往左給bit位用10進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼藕赞，編碼從0開始成肘；
0|1|1|0| |0|0|0|1
7|6|5|4| |3|2|1|0
//step2:對應(yīng)位的數(shù)值乘以進(jìn)制數(shù)的編碼次方。其中對應(yīng)位的數(shù)值斧蜕、進(jìn)制數(shù)
//和編碼全部為10進(jìn)制
N = 1_(10) * 2_(10)^0_(10) + 1_(10) * 2_(10)^5_(10) + 1_(10) * 2_(10)^6_(10)
  = 1_(10) + 32_(10) + 64_(10)
  = 97_(10)
//即
0110 0001_(2) = 97_(10)

同時(shí)我們可以將10進(jìn)制轉(zhuǎn)2進(jìn)制這樣改寫：

97_(10) = N_(2);
//step1:從右往左給bit位用2進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼双霍，編碼從0開始；
9|7
1|0
//step2:對應(yīng)位的數(shù)值乘以進(jìn)制數(shù)的編碼次方批销。其中對應(yīng)位的數(shù)值洒闸、進(jìn)制數(shù)
//和編碼全部為2進(jìn)制
N = 0111_(2) * 1010_(2)^0_(2) + 1001_(2) * 1010_(2)^1_(2)
  = 0111_(2) + 0101 1010_(2)
  = 0110 0001_(2)
//即
97_(10) = 0110 0001_(2);

這里便是用2進(jìn)制加、乘法表的時(shí)候了均芽。結(jié)合上表：

//我們需要計(jì)算1001_(2) * 1010_(2)
      1001
*     1010
_________________
      0000
     1001
    0000
   1001
_________________
   1011010
//加上補(bǔ)位0丘逸，即
0101 1010_(2)

于是，我們驚訝的發(fā)現(xiàn)掀宋，2進(jìn)制轉(zhuǎn)換10進(jìn)制可以用乘法深纲，10進(jìn)制轉(zhuǎn)換2進(jìn)制同樣用的是乘法！它們是同一個算法劲妙，盡管似乎變復(fù)雜了(這里必須吐槽一下簡書對于數(shù)學(xué)公式的“弱”支持湃鹊，我不得不用代碼行進(jìn)行表述，這讓過程看起來相當(dāng)復(fù)雜)镣奋。我們可以用這個算法解決任何進(jìn)制轉(zhuǎn)換的問題币呵，理解它的關(guān)鍵就是對所有進(jìn)制一視同仁。

就上述來看唆途，這個算法并沒有比常規(guī)算法來的有多方便富雅。既然如此，它還有什么存在的意義肛搬？

我們接著之前3進(jìn)制轉(zhuǎn)5進(jìn)制的問題：

M_(3)->N(5)

1021_(3) = N_(5)
//step1:從右往左給每個位用5進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼没佑，編碼從0開始；
1|0|2|1
3|2|1|0
//step2:對應(yīng)位的數(shù)值乘以進(jìn)制數(shù)的編碼次方温赔。其中對應(yīng)位的數(shù)值蛤奢、進(jìn)制數(shù)
//和編碼全部為5進(jìn)制
N = 1_(5) * 3_(5)^0_(5) + 2_(5) * 3_(5)^1_(5) + 1_(5) * 3_(5)^3_(5) 
  = 1_(5) + 11_(5) + 102_(5)
  = 114_(5)
//即
1021_(3) = 114_(5)

很快就會有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐笥褜Υ颂岢鲑|(zhì)疑，怎么知道你這家伙算的對不對陶贼，且讓我把它們分別轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制檢驗(yàn)一番啤贩。有這樣想法的朋友應(yīng)該不在少數(shù)，有質(zhì)疑心和探索精神是好事拜秧，但是等等痹屹，小三和小五幽怨道：“為什么官人老是放不下十進(jìn)制，她到底哪里好了嘛枉氮！”

我反復(fù)強(qiáng)調(diào)進(jìn)制之間的平等關(guān)系志衍，不應(yīng)該僅僅因?yàn)閷τ谖覀儗τ?0進(jìn)制的熟悉暖庄，就將它置于一個判官般特殊的地位。想想在進(jìn)行3547 + 2869 = 6416時(shí)楼肪，如果對結(jié)果持有懷疑培廓，除了重復(fù)計(jì)算之外我們還會怎么做？可以通過計(jì)算2869 + 3547是否等于6416或者6416 - 3547是否等于2869來進(jìn)行驗(yàn)證春叫。但無論哪一種方法肩钠，我們都是在10進(jìn)制的領(lǐng)域內(nèi)跳舞，無需借助另一種進(jìn)制來幫助我們檢驗(yàn)暂殖。

同樣的道理价匠，對于此處1021_(3)是否等于114_(5)程储，只需要檢驗(yàn)?zāi)芊駨?14_(5)得到1021_(3)屋休，并不需要10進(jìn)制瞎搗亂。

M_(5)->N(3)

114_(5) = N_(3)
//step1:從右往左給每個位用3進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼屎鳍，編碼從0開始莉给；
1|1|4
2|1|0
//step2:對應(yīng)位的數(shù)值乘以進(jìn)制數(shù)的編碼次方毙石。其中對應(yīng)位的數(shù)值、進(jìn)制數(shù)
//和編碼全部為3進(jìn)制
N = 11_(3) * 12_(3)^0_(3) + 1_(3) * 12_(3)^1_(3) + 1_(3) * 12_(3)^2_(3) 
  = 11_(3) + 12_(3) + 221_(3)
  = 1021_(3)
//即
114_(5) =1021 _(3)

如此便可以證明我們的計(jì)算結(jié)果是對的颓遏，當(dāng)然不排除“錯錯得對”的情況徐矩，但那畢竟是少數(shù)。另外叁幢，作為一個算法滤灯，如果不去推導(dǎo)出它的一般式，我們總是有足夠的理由認(rèn)為它只是在上述“特例”中才適用曼玩，但鑒于本文以應(yīng)用為主鳞骤，這種方法正確性的證明和一般公式就不予給出了（推導(dǎo)出來估計(jì)也沒幾個人愿意去看），有興趣的童鞋可以自己加以研究黍判。

到這里豫尽，我們關(guān)于進(jìn)制轉(zhuǎn)換的介紹就可以告一段落了。其實(shí)這個方法并非什么新鮮事顷帖，幾乎是個搞計(jì)算機(jī)的都知道美旧。寫本文的目的也并非一味地夸大這個方法的優(yōu)點(diǎn)，適合自己的才是最好的贬墩。

我只是想從一個統(tǒng)一的算法開始說起榴嗅，為大家展示展示進(jìn)制之間的平等關(guān)系。

進(jìn)制之間不存在計(jì)算難易之分陶舞，因?yàn)樗?jì)算的數(shù)據(jù)量都是那么多嗽测。你之所以會覺得10進(jìn)制簡單，只是因?yàn)槟銓λ銐虻氖煜ぶ追酰銖男W(xué)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)接觸的全部都是10進(jìn)制唠粥，大腦早已經(jīng)習(xí)慣了10進(jìn)制思維优炬，看到1 + 4你下意識的是5_(10)而不是10_(5)，自然會覺得10進(jìn)制比5進(jìn)制好算了不少厅贪。

進(jìn)制之間也沒有高低階之分。這種偏見尤其體現(xiàn)在雅宾，進(jìn)行3進(jìn)制轉(zhuǎn)換5進(jìn)制的時(shí)候养涮，人們總是習(xí)慣性的先轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制，檢查計(jì)算對錯時(shí)亦如此眉抬。10進(jìn)制就如同一個中介+標(biāo)尺一般的存在贯吓。

當(dāng)我們用一種根深蒂固的思維去看待另一種思維中存在的問題的時(shí)候，就會產(chǎn)生矛盾蜀变，而我們又不容易跳出這種思維定式悄谐，甚至很多時(shí)候我們意識不到自己處于思維定式當(dāng)中，于是矛盾得到進(jìn)一步的固化库北，以至于我們不得不想出各種奇奇怪怪的方法來解決矛盾爬舰，如同夏蟲語冰焉。譬如寒瓦，地心說理論中天體的運(yùn)動規(guī)律情屹、以太超距作用乃至于減法（我認(rèn)為減法只是人們最初理解不了負(fù)數(shù)的產(chǎn)物，5+3應(yīng)該寫作+5+3杂腰，只是兩個正數(shù)放在了一起垃你，-5-3也只是兩個負(fù)數(shù)放在一起，而“放在一起”這個動作我們可以統(tǒng)一用一個函數(shù)sum表示喂很，這樣它們應(yīng)該寫作sum(+5, +3)和sum(-5, -3)）惜颇。

于是，男人不能理解女人少辣，大人不能理解小孩凌摄，常人不能理解色盲，東方人不能理解西方人毒坛，人類不能理解動物望伦，地球生物不能理解外星生物，甚至生物不能理解非生物煎殷。

世間本無象屯伞，人心生萬象，受其便也受其困豪直。

最后感謝看到這里的童鞋劣摇，送大家一顆小彩蛋

冪關(guān)系進(jìn)制之間的快速轉(zhuǎn)換

聲明：冪關(guān)系進(jìn)制非專有名詞，只在本文中為了理解方便使用

若X進(jìn)制和Y進(jìn)制之間滿足弓乙，Y = X^n末融，則稱它們?yōu)?strong>冪關(guān)系進(jìn)制钧惧。

有沒有童鞋在上課的時(shí)候納悶過老師們?yōu)槭裁茨芩查g寫出0xAF = 0b10101111，反正筆者在剛開始學(xué)習(xí)的時(shí)候風(fēng)中凌亂過不知道多少回勾习，而且每次老師都一臉淡定的如同算了一個1+1……

其實(shí)而冪關(guān)系進(jìn)制之間是存在著快速轉(zhuǎn)換方法的浓瞪。

典型的，如2進(jìn)制巧婶、4進(jìn)制乾颁、16進(jìn)制……互為冪關(guān)系進(jìn)制。以下舉例說明：

//2進(jìn)制->4進(jìn)制
1010 1111_(2) = N_(4)
//step1:將2進(jìn)制兩兩分組艺栈，分成4對
10|10|11|11
//step2:寫出每對對應(yīng)的4進(jìn)制
10|10|11|11
 2| 2| 3| 3
//即
1010 1111_(2) = 2233_(4)

//4進(jìn)制->16進(jìn)制
2233_(4) = N_(4)
//step1:將2進(jìn)制兩兩分組英岭，分成2對
22|33
//step2:寫出每對對應(yīng)的16進(jìn)制
22|33
 A| F
//即
2233_(4) = AF_(16)

//2進(jìn)制->16進(jìn)制
1010 1111_(2) = N_(16)
//step1:將2進(jìn)制4個一組，分成2對
1010|1111
//step2:寫出每對對應(yīng)的16進(jìn)制
1010|1111
   A|F
//即
1010 1111_(2) = AF_(16)

反過來也是同樣的道理湿右。

怎么樣诅妹，是不是很簡單了呀！希望看了我這篇文章的童鞋們再也不要像筆者之前一樣蠢萌了毅人，吭狡，，費(fèi)盡心思先將16進(jìn)制轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制丈莺，再轉(zhuǎn)換成2進(jìn)制赵刑，，场刑，真的傷不起般此！

再想想如果是3進(jìn)制和9進(jìn)制之間的問題呢？2進(jìn)制和8進(jìn)制呢牵现？相信你一定可以自己找到它們的解法铐懊。