【抽象代數(shù)】環(huán)論與域論

環(huán)論與域論

群是有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)镣衡，但我們?cè)跀?shù)學(xué)中生蚁，如高等代數(shù)中討論的很多對(duì)象比如：數(shù)、多項(xiàng)式巡球、函數(shù)以及矩陣和線性變換等言沐，都是有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)邓嘹，兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)不僅有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義，而且相比于一個(gè)代數(shù)運(yùn)算的系統(tǒng)會(huì)有一些有趣的性質(zhì)险胰。而在具有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的系統(tǒng)中環(huán)和域便是很好的代表汹押。

一、環(huán)

1.1 環(huán)和子環(huán)

具有兩個(gè)運(yùn)算的系統(tǒng)比較多起便，性質(zhì)也各有不同棚贾，我們必須先從中抽取出“最小”的系統(tǒng)才能有通用性。各種數(shù)系榆综、多項(xiàng)式妙痹、矩陣的加法和乘法是最具代表性的雙運(yùn)算系統(tǒng)，以它們?yōu)閰⒖伎梢缘玫奖容^有用的系統(tǒng)鼻疮。比如矩陣（線性空間）為雙運(yùn)算系統(tǒng)提供了許多豐富的可能性怯伊，相關(guān)的例子也很多。

考察上面提到的這些常見(jiàn)具體系統(tǒng)陋守，它們的加法群都是交換群，故假設(shè)新的抽象系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)算也為交換群利赋。并且稱其為加群水评，加群的單位元稱為零元素（記作0）。加群的所有表達(dá)式都可以寫(xiě)為加減法媚送，加法的“冪”可以用倍數(shù)表示中燥。同時(shí)我們可以得到以下這些常見(jiàn)的變形都是成立的，后面可以直接使用塘偎。
$a+0=a;\quad a-a=0;\quad -(-a)=a;\quad -(a+b)=-a-b;\quad -(a-b)=b-a\tag{1}$
$-(na)=(-n)a;\quad ma+na=(m+n)a;\quad m(na)=(mn)a;\quad n(a+b)=na+nb;\quad \tag{2}$

如果我們要定義我們的最小且一般的系統(tǒng)疗涉，結(jié)合上面提到這些具體的雙運(yùn)算系統(tǒng)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)相對(duì)于加法運(yùn)算群系統(tǒng)中的乘法群就比較弱了吟秩，但至少組合律是成立的咱扣，所以它是一個(gè)半群。并且常見(jiàn)的系統(tǒng)中乘法和加法滿足以下分配律涵防。至此我們就可以定義新的系統(tǒng)了闹伪，一個(gè)運(yùn)算為加法群，另一個(gè)運(yùn)算為半群壮池，且它們滿足分配率偏瓤，這樣的系統(tǒng)稱為環(huán)（ring），一般用字母 R 表示椰憋，乘法可交換的環(huán)叫交換環(huán)厅克。乘法如果有單位元鸡挠，按照慣例一般記作1刻伊。
$a(b+c)=ab+bc;\quad (a+b)c=ac+bc\tag{3}$

如果你仔細(xì)觀察分配率盒至，可以發(fā)現(xiàn)其中有同態(tài)映射的影子, 也正是因?yàn)樗鼭M足這樣的性質(zhì)才使得我們的代數(shù)系統(tǒng)可以有更多其他有用的性質(zhì)∪鼻矗現(xiàn)在來(lái)看看加法在結(jié)合了乘法后，都有哪些性質(zhì)褪储，我們以前熟悉的表達(dá)式變形還能不能成立卵渴。首先對(duì)于特殊的 0 元素，因?yàn)? $0a+0a=(0+0)a$ 鲤竹，容易有 $0a=0$ 浪读，零元素在乘法下將所有元素歸為 0。再來(lái)看 $(?a)b$ 辛藻，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(%E2%88%92a)b%2Bab%3D(%E2%88%92a%2Ba)b%3D0" alt="(?a)b+ab=(?a+a)b=0" mathimg="1">碘橘，故有 $(?a)b=?ab$ 。這些都是以前就熟悉的表達(dá)式吱肌，它們?cè)诃h(huán)里都是成立的痘拆。下面是一些更多成立的常見(jiàn)表達(dá)式。
$0a=a0=0;\quad (-a)b=a(-b)=-ab;\quad c(a-b)=ca-cb\tag{4}$
$\sum{a_i}\sum{b_j}=\sum\sum{a_ib_j};\quad (ma)(nb)=(mn)(ab)\tag{5}$

很自然地氮墨，可以定義子環(huán)纺蛆，它是進(jìn)一步研究環(huán)結(jié)構(gòu)的基本定義。子環(huán)除了是加群的子群外规揪，還需對(duì)乘法封閉桥氏，這些比較容易證明。和單運(yùn)算系統(tǒng)一樣猛铅，可以定義環(huán)同構(gòu)字支，如果兩個(gè)環(huán) $R_1,R_2$ 之間存在一一映射 $f$ ，且映射保持運(yùn)算（公式（6））奸忽，則稱 $R_1,R_2$ 同構(gòu) $（R1?R2）$ 堕伪。
$f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{6}$

由于現(xiàn)在擁有了兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，它們之間相互作用栗菜，往往會(huì)有更多有趣的性質(zhì)發(fā)生欠雌，但同時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在證明的同時(shí)也需要更多較為巧妙的構(gòu)造。下面我們來(lái)看代數(shù)學(xué)中的 Kaplansky 定理：對(duì)于有單位元非交換環(huán)來(lái)說(shuō)疙筹，如果環(huán) $R$ 中元素 $a$ 有不止一個(gè)右逆桨昙，那么 $a$ 有無(wú)數(shù)多個(gè)右逆。因?yàn)榭疾煊袉挝辉沫h(huán) $R$ 腌歉，如果元素 a 有至少兩個(gè)右逆元蛙酪，記逆元的集合為 ${a_k}$ ∏谈牵考察集合 ${a_ka ? 1 + a_1}$ 桂塞，容易證明它們都是元素 a 的右逆元且互不相等，從而這兩個(gè)集合存在一一映射馍驯。如果集合是有限的阁危，則存在 $a_xa-1+a_1=a_1$ 玛痊，化簡(jiǎn)后兩邊同時(shí)乘以 $a_y$ 得 $a_x=a_y$ ，從而所有右逆元相等狂打。這就導(dǎo)致了矛盾擂煞，所以右逆元必然有無(wú)窮多個(gè)，得證趴乡。而應(yīng)該注意的是有限環(huán)最多只能有一個(gè)右逆元对省。下面還有幾個(gè)小的思考題，供讀者消遣晾捏。

? 每個(gè)元素都是冪等元 $a^2=a$ 的環(huán)叫布爾環(huán)蒿涎，求證 $a=?a$ 且 $ab=ba$ ；
? 環(huán) R 有單位元惦辛，求證加法交換律可由定義的其它部分證明劳秋；（提示：分配率的不交換性）
? 求證：唯一的左（右）單位元必定是單位元；（提示：構(gòu)造 $ae_l?a+e_l$ ）
? 如果 $1+ab$ 可逆胖齐，則 $1+ba$ 也可逆玻淑；（提示：構(gòu)造）
? 求證：交換環(huán)中所有滿足 $a^n=0$ 的元素組成子環(huán)。

1.2 零因子

零元素在環(huán)中有著特殊的地位呀伙，它如同黑洞一般講所有元素吸入补履，使得環(huán)的局部呈現(xiàn)坍塌。反之区匠，環(huán)的整體結(jié)構(gòu)還是得靠那些能逃脫 0 的“引力”的元素?fù)纹饋?lái)干像。為此定義 $ab=0$ 中的 $a,b≠0$ 分別為環(huán)的左帅腌、右零因子驰弄，不是零因子的元素叫正則元，正則元就是我們要找的“支撐元素”速客。無(wú)零因子是對(duì)乘法的一個(gè)約束戚篙，它本質(zhì)上是要求乘法封閉。有一類特殊的零因子滿足 $a^n=0$ 溺职，它們被稱為冪零元岔擂。

顯然有無(wú)左零因子和有無(wú)右零因子是等價(jià)的，這樣的環(huán)也稱為無(wú)零因子環(huán)浪耘，交換的無(wú)零因子環(huán)叫整環(huán)（domain）（有些教材還要求含單位元乱灵，我們這里不采用這種定義）。對(duì)無(wú)零因子環(huán)七冲，若有 $ab=ac$ 或 $ba=ca$ 痛倚，由分配率顯然有 $b=c$ ，即消去律成立澜躺。反之若左（右）消去律成立蝉稳，也容易得到環(huán)無(wú)零因子抒蚜，由此消去律和無(wú)零因子是兩個(gè)等價(jià)概念。

若對(duì)于無(wú)零因子環(huán)有左單位元 $e_l$ 耘戚，由于 $(ae_l?a)e_l=0$ 嗡髓，則有 $ae_l=a$ ，故環(huán)有單位元收津，用同樣的方法可證其左逆元也是右逆元饿这。這個(gè)例子表現(xiàn)了零因子的概念在建立等式上的豐富作用，善于構(gòu)造巧妙的表達(dá)式朋截，可以得到很多有用的結(jié)論蛹稍。但是有些場(chǎng)景下可能不存在單位元，對(duì) $ab=a$ 不能急于消去 $a$ 部服，而是要迂回使用消去律唆姐，比如若無(wú)零因子環(huán)有冪等元 $x^2=x$ ，不能直接消去得到 $x=e$ 廓八，而是先乘上任意元素 $ax^2=ax$ 奉芦，然后再消去 $x$ 證明 $x$ 就是單位元。下面有幾個(gè)思考題：
　　? 若 $S?R$ 剧蹂，但它們的單位元不同声功，求證 S 的單位元是 R 的零因子；
　　? 含有至少 3 個(gè)元素的布爾環(huán)不是整環(huán)宠叼；
　　? 若有限環(huán)中有 $ab=1$ 先巴，則 $ba=1$ 。（提示：可以參考Kaplanskey定理的證明）

1.3 特征

階是群的重要參數(shù)冒冬，現(xiàn)在來(lái)看看加法群中元素的階伸蚯，如果其中有最大值n，由于加法群是交換群简烤，用反證法可知所有元素的階都是 n 的因子剂邮。加法群的階在環(huán)中還有更多的性質(zhì)，我們將最大的階稱為環(huán)的特征横侦，記作 $Char\ R$ 挥萌，當(dāng)然特征也可以是無(wú)窮。如果乘法有單位元且階為 n枉侧，則有 $na=(n1)a=0$ 引瀑，故 1的階即是環(huán)的特征。特征為 p榨馁，且恒有 $a^p=a$ 的環(huán)叫 p-環(huán)憨栽，讀者可以嘗試證明 p-環(huán)都是循環(huán)環(huán)。注意我們下面談?wù)摰沫h(huán)的階都是加法群中的情況。

環(huán)中的乘法運(yùn)算有個(gè)很有用的性質(zhì)徒像，就是倍數(shù)可以任意移動(dòng)組合（公式（5））黍特，這個(gè)特征結(jié)合無(wú)零因子可以得到很好的性質(zhì)。先假設(shè)環(huán)中有一個(gè)階為 n 的元素 a锯蛀，那么根據(jù) $(na)b=a(nb)=0$ 灭衷，容易知道 b 的階為 n 的因子，并進(jìn)而得知環(huán)中所有元素的階都是 n旁涤。再假設(shè) n 不是素?cái)?shù)翔曲，它有分解 $n=xy$ ，則有 $(na)a=(xa)(ya)=0$ 劈愚，從而必有 $xa=0$ 或 $ya=0$ 瞳遍，這與 a 的階為 n 矛盾。綜合以上分析可知菌羽，無(wú)零因子環(huán)元素的階要么都是無(wú)窮掠械，要么都是某個(gè)素?cái)?shù) p，有限無(wú)零因子環(huán)的階當(dāng)然都是 p注祖。
　　? 若交換環(huán)的特征為p猾蒂，則有 $(\sum{a_k})^p=\sum{a_k^p}$ ；
　　? 求證：p-環(huán)沒(méi)有冪零元是晨。

二肚菠、除環(huán)和域

2.1 除環(huán)和域

有些環(huán)在乘法上有更多的性質(zhì)，有必要專門(mén)討論它們罩缴。對(duì)于那些有單位元的環(huán)蚊逢，其中存在逆元的元素一般稱為單位（unit）。容易證明環(huán)中的全體單位在乘法下構(gòu)成群箫章，它被稱為單位群烙荷。對(duì)于有限環(huán)，總有 $a^m=a^n (m>n?1)$ 成立炉抒，如果 a 是非零因子奢讨，則有 $a^{m?n+1} = a$ 稚叹。繼而對(duì)任意 x 有 $a^{m?n}x=x$ 焰薄，即得到 $a^{m?n}$ 為單位元，而 $a^{m?n?1}$ 是 a 的逆元扒袖∪總結(jié)以上就得到，有限環(huán)的非零因子是單位季率。

除零因子外野瘦，每個(gè)元素都是單位的環(huán)稱為除環(huán)或體（skew field），交換除環(huán)也叫域（field）。容易證明除環(huán)沒(méi)有零因子鞭光，由此可知在去除零元素之后吏廉，乘法仍然是封閉的，它們能夠形成一個(gè)群惰许。數(shù)系是除環(huán)和域的典型代表席覆，整數(shù)環(huán)有單位{?1,1}，有理數(shù)汹买、實(shí)數(shù)佩伤、復(fù)數(shù)都是域的例子。由于域的乘法可交換晦毙，可以定義 $ab^{-1}=b^{-1}a$ 為分式 $\dfrac{a}生巡$ ，你可以證明一般方式的加法见妒、乘法孤荣、除法規(guī)則在域里也是成立的。

? 若環(huán)R中的任何非零元素a须揣，都有唯一的b∈R使得aba=a垃环，求證R為除環(huán)。（提示：先證無(wú)零因子）

你可能有一個(gè)疑問(wèn)返敬，存不存在除環(huán)呢遂庄？乘法有單位元和逆元，卻不可交換的環(huán)存在嗎劲赠？還記得我們前面介紹過(guò)的四元群?jiǎn)崽文浚伤鼈冏鳛椤俺瑥?fù)數(shù)”的單位形成四元數(shù) $\{a+bi+cj+dk\}$ ，可以證明它就是非交換的除環(huán)凛澎。這是歷史上首次發(fā)現(xiàn)的非交換除環(huán)霹肝，由哈密爾頓（Hamilton）首先發(fā)現(xiàn)，因此也叫哈密爾頓四元數(shù)除環(huán)塑煎。后面的課程中沫换，還會(huì)介紹到它作為數(shù)滿足的一般性質(zhì)，這在歷史上是一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)最铁。對(duì)于有限除環(huán)讯赏，魏德邦（Wedderbum）證明了它的必定是交換的，故必然是域冷尉。由前面的討論我們?nèi)菀子惺妫邢逕o(wú)零因子環(huán)必定是除環(huán)，再由魏德邦定理知它又必定是域雀哨。

之前群的定義中磕谅，我們討論了一次方程有解與群的等價(jià)性私爷。在除環(huán)里也有類似的結(jié)論，而且所需條件更弱膊夹。首先除環(huán)中一次方程（7）都有解衬浑，反之若環(huán)中滿足方程（7）其中之一有解，下面來(lái)看它是否是除環(huán)放刨。首先要證無(wú)零因子嚎卫，即對(duì)任意 $a,b≠0$ ，證明 $ab≠0$ 宏榕⊥刂睿可以構(gòu)造一個(gè)含有 $ab$ 而值為 b（或a）的表達(dá)式，利用一次方程的有解性可有 $bc=d$ 和 $ad=b$ 麻昼，從而 $abc=ad=b$ 奠支，則環(huán)無(wú)零因子。接下來(lái)找單位元抚芦，設(shè) $ax=a$ 的解為 $e_r$ 倍谜，利用消去律（見(jiàn)上面的討論）可知 $e_r$ 為右單位元。再由 $ax=e_r$ 知任何元素a有右逆元叉抡，從而乘法（除去零元）是一個(gè)群尔崔，該環(huán)為除環(huán)。綜合以上討論褥民，環(huán)為除環(huán)的充要條件是一次方程（7）之一恒有解 $（a≠0）$ 季春。
$ax=b,\quad ya=b\tag{7}$

2.2 商域

域的結(jié)構(gòu)是最常見(jiàn)的，它的結(jié)論比較豐富消返，我們希望能把一個(gè)環(huán)放在域中载弄，以便獲得更多的結(jié)論。顯然不是所有的環(huán)都可以擴(kuò)展為域撵颊，它至少要滿足無(wú)零因子和可交換宇攻。自然地我們想問(wèn)，是不是該先考慮無(wú)零因子的不可交換環(huán)擴(kuò)展為除環(huán)倡勇，可惜這個(gè)結(jié)論已經(jīng)有人舉出反例了逞刷，比較復(fù)雜，這里僅當(dāng)結(jié)論妻熊。那么無(wú)零因子可交換環(huán)（整環(huán)）是不是都能擴(kuò)展為域呢夸浅？這里就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。

要想成為域固耘，需要補(bǔ)充單位元和逆元题篷，但硬要把它們定義出來(lái)還是很困難的词身√浚回顧一下我們?cè)趯?shí)數(shù)系統(tǒng)介紹的擴(kuò)展方法，可以用數(shù)對(duì)來(lái)定義擴(kuò)展的數(shù)系，再將原數(shù)系嵌入到新數(shù)系中损敷。添加單位元和逆元本質(zhì)上需要做除法葫笼，和整數(shù)擴(kuò)展為有理數(shù)的過(guò)程完全一樣，定義元素對(duì)的集合 ${(a,b)}(a,b∈R,a≠0)$ 拗馒。當(dāng) $ad=bc$ 時(shí)路星，定義相等 $(a,b)=(c,d)$ ，直觀上講其實(shí)就是定義了分?jǐn)?shù) $\dfrac诱桂{a}=\dfracweq2s2a{c}$ 洋丐。

相等關(guān)系下的等價(jià)類正是我們期望的系統(tǒng)，首先證明新系統(tǒng)的如下加法和乘法定義是良性的挥等，即等價(jià)類中代表元的選取不影響結(jié)果友绝。然后證明，新系統(tǒng)在這個(gè)運(yùn)算定義下形成一個(gè)域肝劲，最后通過(guò)映射 $a\to \dfrac{ad}wisa2ek$ 將環(huán)嵌入到這個(gè)域中迁客。這就證明了無(wú)零交換環(huán)總可以擴(kuò)展為域，這個(gè)域也叫環(huán)的分式域或商域辞槐。
$\dfrac掷漱{a}+\dfracqy0usmu{c}=\dfrac{bc+ad}{ac},\quad \dfrac{a}\cdot\dfrac040iucs{c}=\dfrac{bd}{ac}\tag{8}$

三榄檬、特殊環(huán)

3.1 循環(huán)環(huán)

循環(huán)群是最簡(jiǎn)單的群卜范，那這里先分析一下加法群是循環(huán)群的環(huán)，它稱為循環(huán)環(huán)鹿榜，設(shè)加法群的生成元為 a先朦。回顧一下循環(huán)群犬缨，若它的階為無(wú)窮喳魏，它與整數(shù)群同構(gòu)且同時(shí) $?a$ 也是生成元，若階為有限 $n$ 怀薛，它與 $n$ 的剩余類群同構(gòu)刺彩，且任何與 $n$ 互素的剩余類都是生成元。顯然整數(shù)集合 $Z$ 和任何剩余類集合 $Z_n$ 在加法和乘法定義下構(gòu)成環(huán)枝恋，分別稱為整數(shù)環(huán)和模 $n$ 剩余類環(huán)创倔，下面就來(lái)分析一下循環(huán)環(huán)和它們之間的關(guān)系。

先來(lái)看循環(huán)環(huán)焚碌，它的所有元素是 $\{?,?2a,?a,0,a,2a,?\}$ 或 $0,a,2a,?,(n?1)a$ 畦攘。它們?cè)诩臃ㄈ合拢恳粋€(gè)不同的階僅有一個(gè)同構(gòu)的循環(huán)群十电，但這一點(diǎn)在環(huán)里卻是不成立的≈海現(xiàn)在來(lái)考慮循環(huán)環(huán)中的乘法叹螟，首先對(duì)任意兩個(gè)元素有 $(ma)(na)=(na)(ma)=(mn)a^2$ ，故循環(huán)環(huán)必定是交換環(huán)台盯。其次由乘法的封閉性罢绽，一定有 $a^2=ka$ ，而反過(guò)來(lái)若在一個(gè)循環(huán)群上定義乘法 $(ma)(na)=(mnk)a$ 静盅，它也一定構(gòu)成環(huán)良价。由此可知， $k$ 的任何取值都等價(jià)于一個(gè)環(huán)結(jié)構(gòu)蒿叠，當(dāng)然你要清楚明垢，不同的 $k$ 對(duì)應(yīng)的環(huán)是有可能同構(gòu)的。

對(duì)于無(wú)窮階環(huán)市咽，加法生成元只有 $±a$ 袖外，當(dāng) $|k|$ 取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的環(huán)一定互不同構(gòu)魂务，而容易證明 $k$ 和 $?k$ 對(duì)應(yīng)的環(huán)是同構(gòu)的曼验。對(duì)于 $n$ 階環(huán)， $k$ 只能取 $n$ 個(gè)值粘姜，而這些值對(duì)應(yīng)的環(huán)還有可能是同構(gòu)的鬓照。使用初等數(shù)論的一些簡(jiǎn)單推導(dǎo)，容易證明可以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)纳稍陆簦沟? $k$ 為 $n$ 的因子豺裆。從而 $n$ 的每個(gè)因子代表了一類同構(gòu)的環(huán)，同不同因子對(duì)應(yīng)的環(huán)是不同構(gòu)的号显。

這樣循環(huán)環(huán)的所有同構(gòu)環(huán)就清楚了臭猜，每一個(gè)非負(fù)整數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)無(wú)窮環(huán)，每一個(gè)因子對(duì)應(yīng)一個(gè) $n$ 階環(huán)押蚤。最后來(lái)看看整數(shù)環(huán)和剩余類環(huán)蔑歌，顯然它們的生成元滿足 $k=1$ ，而它們的子環(huán)滿足 $k>1$ 揽碘。 $Z$ 的所有子環(huán)與正整數(shù)一一對(duì)應(yīng)次屠， $Z_n$ 的所有子環(huán)與 n 的正因子一一對(duì)應(yīng)，而它們包含了除 $k=0$ 之外的所有循環(huán)環(huán)雳刺。換句話說(shuō)除 $k=0$ 之外劫灶，每個(gè)循環(huán)環(huán)與一個(gè) $Z$ 或 $Z_n$ 的子環(huán)同構(gòu)。

現(xiàn)在做一些常規(guī)討論掖桦，Z 只有可逆元 $±1$ 本昏，所有元素為非零因子， $Z_n$ 中與 $n$ 互素的都是可逆元枪汪，而其它都是零因子涌穆。特別地怔昨， $Z_p$ 的每個(gè)元素可逆，故它是一個(gè)域蒲犬，而且還是一個(gè) p-環(huán)朱监。由于 $Z$ 和 $Z_n$ 都有單位元岸啡，單位元的階就是它們特征原叮，所以Z的特征為無(wú)窮，而 $\text{Char}\: Z_n=n$ 巡蘸。

3.2 多項(xiàng)式環(huán)

將環(huán)向多維空間擴(kuò)展奋隶，是得到更多復(fù)雜環(huán)的常用方法，擴(kuò)展的形式也是多種多樣的悦荒。矩陣環(huán)可以得到非常豐富的環(huán)結(jié)構(gòu)唯欣，簡(jiǎn)單一點(diǎn)的還有在線性空間的簡(jiǎn)單拓展，比如無(wú)理數(shù)環(huán) $\{x+y\sqrt{2}\mid x,y\in\Bbb{Q}\}$ 和復(fù)數(shù)環(huán) $\{x+yi\mid x,y\in\Bbb{R}\}$ 搬味，特別地 ${x+yi∣x,y∈Z}$ 叫做高斯整環(huán)境氢。

線性擴(kuò)展中最一般的當(dāng)屬多項(xiàng)式，多項(xiàng)式一直是代數(shù)中的重要概念碰纬，它是一個(gè)基本的代數(shù)對(duì)象萍聊，現(xiàn)在從環(huán)的角度來(lái)分析一下多項(xiàng)式系統(tǒng)。先從最常見(jiàn)的一元多項(xiàng)式說(shuō)起悦析，它是具有以下形式的表達(dá)式寿桨，其中 $a_k$ 是環(huán) $R$ 的元素， $a_kx^k$ 稱為 $k$ 次項(xiàng)强戴， $a_k$ 稱為 $k$ 次項(xiàng)系數(shù)亭螟，系數(shù)非零的最高次數(shù)稱為多項(xiàng)式的次數(shù)。
$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\tag{9}$
　　
　　大家最初是在域的環(huán)境下認(rèn)識(shí)多項(xiàng)式的骑歹，這里的限制要求重新定義對(duì)多項(xiàng)式的一般認(rèn)識(shí)预烙。首先多項(xiàng)式中的加號(hào)和 $a_kx^k$ 中的“乘號(hào)”目前僅是一個(gè)記號(hào)，兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充要條件是每一項(xiàng)的系數(shù)相等道媚，而不是最終的值相等∧椋現(xiàn)在需要重新定義運(yùn)算，兩個(gè)次數(shù)相同的項(xiàng) $a_kx^k,b_kx^k$ 之和為 $(a_k+b_k)x^k$ 衰琐，而兩項(xiàng) $a_ix^i,b_jx^j$ 之積為 $a_ib_jx^{i+j}$ 也糊，兩個(gè)多項(xiàng)式相乘時(shí)按分配率展開(kāi)。以上定義對(duì)域上的環(huán)是不需要定義的羡宙，但在環(huán)下必須有這樣的精確說(shuō)明狸剃。

容易證明在環(huán) R 上的多項(xiàng)式集合在以上加法和乘法定義下構(gòu)成環(huán)，一般記作 $R[x]$ 狗热。顯然 $R$ 是 $R[x]$ 的子環(huán)钞馁，故對(duì) $R[x]$ 成立的一般對(duì) $R$ 也一定成立虑省，但反過(guò)來(lái)的結(jié)論一般要證明。有一些比較顯然的結(jié)論僧凰，比如如果 $R$ 有單位元?jiǎng)t $R[x]$ 也有單位元探颈，如果 $R$ 可交換則 $R[x]$ 也可交換，如果R為整環(huán)則R[x]也是整環(huán)⊙荡耄現(xiàn)在來(lái)看看 $R[x]$ 的零因子有什么性質(zhì)伪节，假設(shè) $f(x)g(x)=0$ ，設(shè)g(x)的首項(xiàng)系數(shù)為 $g_n$ 绩鸣，則 $f(x)g_n$ 的次數(shù)比 $f(x)$ 小怀大。如果再假設(shè)環(huán)可交換，則有 $(g_nf(x))g(x)=0$ 呀闻，用歸納法可知存在 $c∈R$ 化借，使得 $cg(x)=0$ 〖穸啵總結(jié)以上討論有蓖康，交換環(huán) $R[x]$ 的元素 $g(x)$ 是零因子的充要條件是，存在 $cg(x)=0$ 垒手。

整數(shù)環(huán)的分解性（算術(shù)基本定理）是初等數(shù)論的重要內(nèi)容蒜焊，在一般環(huán)中仍然可以進(jìn)行這樣的討論，后面會(huì)給出專題淫奔。除了多項(xiàng)式環(huán)山涡，還有一個(gè)重要的高斯整數(shù)，也是重要的環(huán)唆迁。多項(xiàng)式要擴(kuò)展成域鸭丛，必定引入有理分式域。

四唐责、同態(tài)與理想

同態(tài)定理和正規(guī)子群在分析群的結(jié)構(gòu)中起到了重要的作用鳞溉，我們可以對(duì)環(huán)進(jìn)行同樣的討論。若環(huán) $R_1$ 到另一個(gè)系統(tǒng) $R_2$ 有映射 $f:R_1\mapsto R_2$ 鼠哥，滿足公式（1）熟菲，這樣的映射稱為同態(tài)映射。若映射為滿的，則稱 $R_1,R_2$ 同態(tài)，記作 $R_1\sim R_2$ 鸳谜。容易證明 $R_2$ 也是環(huán)既绩，且 $R_1$ 的零元古今、負(fù)數(shù)、單位元、逆元类腮、可交換等性質(zhì)都會(huì)映射到 $R_2$ 中做入，但零因子卻不一定保持冒晰。
$f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{1}$

? 求證： $Z_m\sim Z_n$ 的充要條件是 $n∣m$ 。

在群中已經(jīng)知道竟块，任何同態(tài)映射都對(duì)應(yīng)于一個(gè)正規(guī)子群（同態(tài)核）壶运，同樣環(huán)同態(tài)的研究可以等價(jià)到對(duì)同態(tài)核的研究。和群一樣浪秘，環(huán)同態(tài)的同態(tài)核就是R2中零元素的原像蒋情。容易證明同態(tài)核是一個(gè)子環(huán)，正如正規(guī)子群的特殊性一樣秫逝，它也不是普通的子環(huán)恕出⊙叮考慮零元素的歸零性违帆，同態(tài)核一定滿足以下條件。一般地金蜀，環(huán)R中的加法子群N如果滿足以下右邊一式刷后，它稱為環(huán)的左（右）理想，兩式都滿足的叫理想渊抄，記作 $N\trianglelefteq R$ 尝胆，容易證明理想（包括左右理想）都是子環(huán)。
$n\in N,\: r\in R\quad\Rightarrow\quad rn\in N,\: nr\in N\tag{2}$

由定義知理想首先是加法群的子群护桦，故它在加法下是正規(guī)子群含衔。容易證明，加法群里到正規(guī)子群陪集的同態(tài)映射在環(huán)里也是同態(tài)映射（乘法封閉）二庵，故環(huán)的每個(gè)同態(tài)映射也與環(huán)的理想一一對(duì)應(yīng)贪染，理想擔(dān)當(dāng)起了正規(guī)子群的作用。和正規(guī)子群一樣催享，理想不具有傳遞性杭隙，即理想的理想不一定是理想。容易證明因妙，理想的交集還是理想痰憎，循環(huán)環(huán)的任何子環(huán)都是它的理想。對(duì)一般環(huán) $R$ 攀涵，顯然 $Ra$ 和 $aR$ 分別是它的左右理想铣耘。

理想是一種特殊的子環(huán)，每個(gè)環(huán) $R$ 都有 ${0}$ 和 $R$ 兩個(gè)平凡理想以故，其它理想叫真理想蜗细，沒(méi)有真理想的環(huán)叫單環(huán)。從理想的定義知据德，對(duì)任何 $n∈N$ 有 $nR?N$ 鳄乏，相比較群來(lái)看跷车，這個(gè)結(jié)構(gòu)是“坍塌”的，由此聯(lián)想到單環(huán)和“好”的環(huán)之間一定有什么關(guān)系橱野。好的環(huán)當(dāng)然是指乘法形成群的除環(huán)和域朽缴，若它們有非零理想N，由 $aa^{-1}=1$ 知 $1∈N$ 水援，從而 $N=R$ 密强，也就是說(shuō)除環(huán)和域必定是單環(huán)。

對(duì)于任何環(huán) $R$ 蜗元，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=Ra" alt="Ra" mathimg="1">是它的左理想或渤，如果 R 沒(méi)有非平凡的左理想，則 $Ra$ 為 R 或 {0}奕扣。如果存在 $Ra={0}$ 薪鹦，容易證明a的生成環(huán)為理想，從而該生成環(huán)就是 R惯豆，它是一個(gè)零乘環(huán)池磁。反之如果 $Ra=R$ 總成立，即一次方程 $ya=b$ 總有解楷兽，故 R 是一個(gè)除環(huán)地熄。綜合以上討論，如果環(huán)沒(méi)有非平凡的左理想（或右理想）芯杀，它要么為零乘環(huán)端考，要么為除環(huán)。
　　? 若 $H\trianglelefteq N\trianglelefteq R$ 且 $N$ 有單位元揭厚，求證 $H\trianglelefteq R$ 却特；
　　? 求證：僅有有限個(gè)理想的整環(huán)是域。（提示：考察所有左理想 $Ra$ ）
　　
　　從前面的討論已經(jīng)知道棋弥，環(huán)R的理想N的所有陪集形成一個(gè)環(huán)核偿，它與以理想為核的同態(tài)映射的像同構(gòu)，被稱為商環(huán)顽染，記作 $R/N$ 漾岳。與群論中一樣，這個(gè)結(jié)論稱為環(huán)的同態(tài)定理粉寞，它是解析環(huán)結(jié)構(gòu)的基本工具尼荆。環(huán)的同態(tài)定理同樣可以得到它的三個(gè)同構(gòu)定理，它們與群的同構(gòu)定理非常類似唧垦，就不多做說(shuō)明了捅儒。
　　（1）第一同構(gòu)定理： $R/\text{Ker}\:f\cong f(R)$ ；
　∏苫埂（2）第二同構(gòu)定理： $N\trianglelefteq R,\:H\leqslant R\quad\Rightarrow\quad (H+N)/N\cong H/(H\cap N)$ 鞭莽；
　　（3）第三同構(gòu)定理： $H,N\trianglelefteq R,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad R/H\cong (R/N)/(H/N)$ 麸祷。

? 討論高斯整環(huán)在主理想 $?m+ni?$ 下的商群澎怒，證明其有 $m^2+n^2$ 個(gè)元素，并列出代表元阶牍。（提示：先從虛數(shù)分大類喷面，再討論整數(shù)類）

五、特殊理想

5.1 主理想

對(duì)于環(huán)的任何子集走孽，我們可以用它來(lái)生成最小的環(huán)和理想惧辈。容易證明，元素 a 生成的加法子群是個(gè)循環(huán)環(huán)磕瓷，所以它就是 a 的生成子環(huán)盒齿。由元素 a 生成的理想叫一個(gè)主理想（Principal Ideal），記作 $?a?$ 生宛，下面來(lái)看看主理想的結(jié)構(gòu)县昂。首先主理想中一定包含 a 生成的加法群 ${na}$ 肮柜，要求它是理想就必須包含 $Ra,aR$ 陷舅，在加法的封閉性下它們具有統(tǒng)一格式 $ax+by+na$ 。接下來(lái)根據(jù)乘法的封閉性知审洞，其中還必須包括 $RaR$ 莱睁，它的統(tǒng)一格式被擴(kuò)展為 $ax+by+na$ 。現(xiàn)在你可以證明芒澜，這種形式的所有元素構(gòu)成一個(gè)理想仰剿，故它就是 $a$ 生成的主理想痴晦。
$\langle a\rangle=\{ax+by+na+\sum_{k=1}^{m}{x_kay_k}\}\tag{3}$

總結(jié)就得到主理想的每個(gè)元素具有式（3）的形式南吮，其中 $m,n$ 整數(shù)（構(gòu)造步數(shù)是有限的）。在特殊情況下誊酌，會(huì)有更簡(jiǎn)單的表達(dá)式部凑，讀者可以自行推導(dǎo)。比如如果乘法可交換碧浊，則形式變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=ax%2Bna" alt="ax+na" mathimg="1">涂邀。當(dāng)有單位元時(shí)，表達(dá)式可統(tǒng)一為 $\sum\limits_{k=1}^{m}{x_kay_k}$ 箱锐。既可交換又有單位元比勉，則簡(jiǎn)化為 $ax$ 。特別地，循環(huán)環(huán)的每個(gè)理想都是主理想浩聋。

現(xiàn)在再來(lái)看由多個(gè)元素生成的環(huán)观蜗，它的結(jié)構(gòu)形式是復(fù)雜的，但對(duì)理想?yún)s又比較好的結(jié)果衣洁。首先用歸納法容易證明嫂便，如果 $R_k$ 為理想，則 $\sum{R_k}$ 也為理想闸与。這樣對(duì)于任何子集 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 毙替， $\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle$ 是一個(gè)理想，而且顯然它由 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 生成的最小理想践樱，從而有下式成立厂画。
$\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle=\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\tag{4}$

5.2 素理想和極大理想

我們已經(jīng)提到過(guò)，一般的環(huán)其實(shí)很不 “完美”拷邢，有時(shí)候我們更希望研究的是整環(huán)袱院、單環(huán)、除環(huán)或域瞭稼。借助于同態(tài)定理忽洛，可以嘗試取適當(dāng)?shù)睦硐耄瑢⑸汰h(huán)變得“完美”一點(diǎn)环肘。首先來(lái)考慮商環(huán) $R/N$ 是整環(huán)的情景欲虚，整環(huán)首先無(wú)零因子，如果有 $(a+N)(b+N)=N$ 悔雹，則其中必有一個(gè)為 N复哆。展開(kāi)后就得到，如果有 $ab∈N$ 腌零，則必定有 $a∈N$ 或 $b∈N$ 梯找。當(dāng)然整環(huán)還要求可交換，在一個(gè)交換環(huán)中益涧，滿足以下條件的理想叫素理想锈锤。容易證明，交換環(huán)的商群 $R/N$ 是整環(huán)的充要條件是 N 為素理想闲询。
$ab\in N\quad\Rightarrow \quad a\in N\:\vee\: b\in N\tag{5}$

根據(jù)第三同構(gòu)定理久免，要使 $R/N$ 為單環(huán)，必須不能有比 N 更“大”的理想嘹裂。準(zhǔn)確的定義是：如果 $N≠R$ 妄壶，且除 $N,R$ 外沒(méi)有包含 N 的理想，則 N 稱為 R 的極大理想寄狼。比較顯然丁寄，N 為極大理想的充要條件是為 $R/N$ 為單環(huán)氨淌。綜合前面單環(huán)的結(jié)論可知，如果 R 有單位元伊磺，則 $R/N$ 為除環(huán)的充要條件是 $N$ 為極大理想盛正，加上可交換的條件，結(jié)論就對(duì)域也成立了屑埋。
　　? 求證：Z 的全部素理想為 {0} 和 ?p?豪筝；
　　? 求證：Z 的極大理想只有 ?p?。

六摘能、直和分解

6.1 直和

在群論中我們看到续崖，直積分解是解構(gòu)群的最好的方法，這個(gè)思想同樣可以應(yīng)用到環(huán)中团搞。對(duì)環(huán) $R_1,R_2,\cdots,R_n$ 严望，容易證明集合 $R=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid a_k\in R_k\}$ 在以下運(yùn)算下也形成環(huán)，R 一般稱為 $R_1,R_2,\cdots,R_n$ 的外直和逻恐。R 的理想 $R'_k=\{(0,\cdots,0,a_k,0\cdots,0)\mid a_k\in R_k\}$ 與 $R_k$ 同構(gòu)像吻，且 $R=R'_1+R'_2+\cdots+R'_n$ ，而且每個(gè)元素的和分解是唯一的复隆。
$(a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\tag{6}$
$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\cdot(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)\tag{7}$

鑒于以上討論拨匆，當(dāng)環(huán) R 有理想 $R_1,R_2,\cdots,R_n$ 滿足：（1） $R=R_1+R_2+\cdots+R_n$ ；（2）R中的任何元素a可以唯一表示為 $a=a_1+a_2+\cdots+a_n,(a_k\in R_k)$ 挽拂。則稱 $R$ 為 $R_1,R_2,\cdots,R_n$ 的內(nèi)直和惭每，簡(jiǎn)稱直和，記作 $R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_n$ 轻局。

定義中第二個(gè)條件有更容易使用的等價(jià)形式洪鸭，一個(gè)是零元素的表示法唯一，另一個(gè)是每個(gè)直和項(xiàng)的獨(dú)立性（公式（8））仑扑。第二個(gè)等價(jià)條件說(shuō)明了直和項(xiàng)的無(wú)關(guān)性，即 $R_i\cap R_j=\{0\}$ 置鼻，如果有 $a_ib_j\in R_i+R_j$ 镇饮，則 $a_ib_j\in R_i+R_j$ ，所以 $a_ib_j=0$ 箕母。進(jìn)一步如果 $a,b$ 有直和分解 $a=a_1+\cdots+a_n,b=b_1+\cdots+b_n$ 储藐，可以有公式（9）成立，即任何元素的運(yùn)算都能映射到各個(gè)直和項(xiàng)中嘶是。直和分解是一種無(wú)關(guān)性分解钙勃，它將大的環(huán)分解為無(wú)關(guān)的小環(huán)來(lái)研究。
$R_k\cap (R_1+\cdots+R_{k-1}+R_{k+1}+\cdots+R_n)=\{0\}\tag{8}$
$ab=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\tag{9}$

6.2 理想與直和

直和分解使得我們可以在更小的理想中分別討論環(huán)的性質(zhì)聂喇，現(xiàn)在來(lái)看看一般理想與直和分解的關(guān)系辖源。首先考慮直和項(xiàng)的理想 $N\trianglelefteq R_k$ 蔚携，則對(duì)任意 $n∈N$ ，有 $nR=n(N_1+\cdots+N_n)=nN_k\in N$ 克饶，同理有 $Rn\in N$ 酝蜒。從而有 $N\trianglelefteq R$ ，即直和項(xiàng)的理想也是直和的理想矾湃。由這個(gè)結(jié)論很容易有亡脑，直和項(xiàng)的理想Nk?Rk的直和也是R的理想（公式（10））。
$N_1\oplus N_2\oplus\cdots\oplus N_n\trianglelefteq R\tag{10}$

反之對(duì)任何一個(gè)理想 $N?R$ 邀跃， $N_k=N\cap R_k$ 也是理想霉咨，那么 N 是否是 $N_k$ 的直和呢？本質(zhì)上只要證明任何 $n∈N$ 拍屑，它的直和分解滿足 $n_k\in N$ 躯护。要使得這個(gè)性質(zhì)成立，需要借助單位元 $1_k$ 丽涩， $n_k=1_kn\in N$ 棺滞，故可以假設(shè) R 存在單位元，使得反命題成立矢渊，因?yàn)閱挝辉闹焙头纸獗愕玫? $R_k$ 的單位元继准。

現(xiàn)在的問(wèn)題自然是，什么樣的環(huán)有直和分解矮男？如何進(jìn)行直和分解移必？假設(shè) R 的特征為 n，且有互質(zhì)分解 $n=n_1n_2$ 毡鉴，我們希望 R 可以分解為特征值分別為 $n_1,n_2$ 的直和項(xiàng)崔泵。由于 $n_1,n_2$ 互質(zhì)，則存在 $sn_1+tn_2=1$ 猪瞬，考察集合 $R_1=\{sn_1a\mid a\in R\}$ 和 $R_2=\{tn_2a\mid a\in R\}$ 憎瘸。首先容易證明它們都是理想，再由于 $a=sn_1a+tn_2a$ 陈瘦，故有 $R=R_1+R_2$ 幌甘。假設(shè) $a\in R_1\cap R_2$ ，則容易有 $n_1a=n_2a=0$ 痊项，進(jìn)而得到 $a=0$ 锅风，所以 $R_1∩R_2={0}$ ，從而 $R=R_1\oplus R_2$ 鞍泉。

最后來(lái)計(jì)算 $R_1,R_2$ 的特征 $m_1,m_2$ 皱埠，根據(jù) $R_1,R_2$ 的定義先有 $m_1\leqslant n_1,m_2\leqslant n_2$ ，再由 n 是 R 特征有 $m_1m_2\geqslant n$ 咖驮，從而 $m_1=n_1,m_2=n_2$ 边器。至此結(jié)論得證训枢，如果對(duì) n 進(jìn)行素?cái)?shù)分解 $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_m}$ ，就可以將環(huán)分解為冪次特征的直和項(xiàng)（公式（11））饰抒。
$R=R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_m,\quad\text{Char}\,R_k=p_k^{\alpha_k}\tag{11}$

6.3 直和的應(yīng)用

先來(lái)粗略討論一下環(huán)的存在性肮砾，顯然任何階的交換環(huán)都是存在的，比如 $Z_n,Z$ 袋坑。哈密爾頓環(huán)給出了無(wú)窮階非交換環(huán)的例子仗处，我們現(xiàn)在想知道有限階的非交換環(huán)存在嗎？在群論中我們知道枣宫，任何有限交換群都可以按不變因子進(jìn)行直和分解婆誓。對(duì)于環(huán) R 的加法也有 $(R,+)=\langle b_1\rangle\oplus\cdots\oplus\langle b_m\rangle$ ，其中 $|b_k|\mid |b_{k+1}|$ 也颤。如果 $n=|R|$ 不含高于一次的因子洋幻，則 $R=?b1?$ 為循環(huán)環(huán)，從而是可交換的翅娶。這樣就知道文留，一個(gè)非交換環(huán)必定是含有有平方因子 $n=n_1^2n_2$ 。

反之對(duì)這樣的 n竭沫，其實(shí)也是可以構(gòu)造出一個(gè)非交換環(huán)的燥翅，我們只需構(gòu)造出一個(gè)非交換的 $n_1^2$ 階環(huán)，它與任何 $n_2$ 階環(huán)的直和便是 n 階非交換環(huán)蜕提。對(duì)于一個(gè) $n_1$ 階環(huán) R森书，考察二元組 $(x,y)$ 集合，定義加法和乘法如下谎势，容易證明該集合在定義的加法和乘法下構(gòu)成非交換環(huán)凛膏。至此就得到了有限階非交換環(huán)存在的充要條件是，環(huán)的階含有平方因子脏榆。
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),\quad (x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_2+y_2)(x_1,y_1)\tag{12}$

最后我們用環(huán)的語(yǔ)言來(lái)描述“中國(guó)剩余定理”猖毫，回顧定理的內(nèi)容：若 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 互質(zhì)，則方程組 $x\equiv a_k\pmod{m_k},(k=1,2,\cdots,n)$ 在模 $m_1m_2\cdots m_n$ 下有且僅有一個(gè)解姐霍。站在環(huán)的角度鄙麦， $m_k$ 的同余類是一個(gè)主理想環(huán)，因此考察環(huán) R 的理想 $I_1,I_2,\cdots,I_n$ 镊折。 $m_i,m_j$ 互素可以說(shuō)成是 $I_i\oplus I_j=R$ ，而要證的結(jié)論則是公式（13）介衔。
$R/\cap I_k\cong R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\tag{13}$

首先容易驗(yàn)證 $R\to R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n$ 是同態(tài)映射恨胚，如果能證明它是滿射，由同態(tài)基本定理可以得到結(jié)論炎咖。證明方法和初等數(shù)論中本質(zhì)是一樣的赃泡，我們需要為每一維構(gòu)造 $r_k=(\cdots,0,a_k,0\cdots)$ 寒波。這個(gè)條件等價(jià)于 $r_k\in a_k+I_k$ 且 $r_k\in (\prod{I_i})/I_k$ ，或者說(shuō) $R=I_k+(\prod{I_i})/I_k$ 升熊。如果環(huán)有單位元俄烁，該等式可以從 $R=Ii+ij$ 輕易推得，故結(jié)論得證级野。

最后編輯于：2020.07.23 19:04:36

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惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開(kāi)白布邪锌。她就那樣靜靜地躺著勉躺，像睡著了一般。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪觅丰。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上饵溅，一...
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城市分裂傳說(shuō)
那天，我揣著相機(jī)與錄音妇萄，去河邊找鬼蜕企。笑死咬荷，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的轻掩。我是一名探鬼主播幸乒，決...
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雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼唇牧！你這毒婦竟也來(lái)了罕扎？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
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萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤奋构，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎壳影，沒(méi)想到半個(gè)月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體弥臼，經(jīng)...
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?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡宴咧，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了径缅。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片掺栅。...
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活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖纳猪，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出氧卧，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤氏堤，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布沙绝，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響鼠锈，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏闪檬。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
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男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一购笆、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望粗悯。院中可真熱鬧，春花似錦同欠、人聲如沸样傍。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案铺遂，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)衫哥。三九已至，卻和暖如春襟锐，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間炕檩，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工捌斧，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留笛质，地道東北人。一個(gè)月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓捞蚂，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像妇押，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子姓迅，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,927評(píng)論 2贊 355