上一篇文章介紹了什么是測(cè)度空間(measure space)卢厂，這篇文章將在其基礎(chǔ)上介紹概率空間以及相關(guān)的性質(zhì)和推導(dǎo)蟋定。
一、概率測(cè)度(probability measure)
概率測(cè)度是一種特殊的測(cè)度，它將-域中的事件映射到[0,1]的區(qū)間上，二不是整個(gè)正實(shí)數(shù)集僵井。
定義1.1 給定一個(gè)可測(cè)空間，稱函數(shù)
為該空間的概率測(cè)度驳棱，若
滿足：
? ? (1)批什；
????(2)；
????(3)對(duì)于互不相交的任意事件社搅，有
概率測(cè)度還有另外一種定義方式驻债，用到了Kolmogorov方式，具體形式為：
定義 1.2 稱函數(shù)為可測(cè)空間
上的概率測(cè)度形葬，若
滿足：
????(1)合呐；
????(2)對(duì)于，有
笙以；
????(3)對(duì)于任意不相交的事件淌实，有
；
????(4)若且
猖腕，那么有
其中拆祈，(1)-(3)被稱為有限可加概率(finitely additive probability)定理，(4)被稱為連續(xù)性定理(axiom of continuity)谈息，也被稱為Kolmogorov定理。
為了直觀的理解上述定義凛剥，這里可以將看作
中事件發(fā)生的頻率侠仇。假設(shè)我們共進(jìn)行
次實(shí)驗(yàn)，對(duì)于
犁珠，記事件
發(fā)生的次數(shù)為
逻炊，那么
可以用
來表示，那么對(duì)于上述的有限可加概率來說犁享，
????(1)由于每次實(shí)驗(yàn)總會(huì)有某一結(jié)果出現(xiàn)余素，即，故
炊昆；
? ? (2)對(duì)于桨吊，有
威根，故
；
? ? (3)對(duì)于不相交事件视乐，
或
發(fā)生的次數(shù)等于
和
分別發(fā)生的次數(shù)洛搀，即
，故
對(duì)于連續(xù)性定理來說佑淀，我們?cè)趯?shí)際生活中雖然很少會(huì)遇到涉及無限的問題留美，但是為了保證概率測(cè)度的測(cè)度屬性，連續(xù)性的條件是必要的伸刃。對(duì)于連續(xù)性而言谎砾，交運(yùn)算也是成立的，即：
若捧颅，且
景图，那么有
證明：? ? 考慮補(bǔ)集，那么
? ? ? ? ? ? ? ?由定義隘道，有????????????????????
? ?????????????????????????????????
? ?????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
上面共給出了概率測(cè)度的兩種定義症歇，下面將證明這兩種定義是等價(jià)的。
證明：? ? 定義1.1定義1.2
? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)于不相交的谭梗，令
忘晤，
? ? ? ? ? ? ? ?則互不相交，且
激捏；又由
? ? ? ? ? ? ? ?可得
? ? ? ? ? ? ? ?若存在序列设塔，且
? ? ? ? ? ? ? ?令
? ? ? ? ? ? ? ?則互不相交，且
? ? ? ? ? ? ? ?根據(jù)定義远舅，有
? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)于
? ? ? ? ? ? ? ?即單增且收斂于
闰蛔，即
? ? ? ? ? ? ? ?定義1.2定義1.1
? ? ? ? ? ? ? ?若存在互不相交的序列，且
? ? ? ? ? ? ? ?記图柏，則
序六，且
? ? ? ? ? ? ? ?故
? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)于有限的來說，有
? ? ? ? ? ? ? ?所以有? ? ? ?
二蚤吹、概率空間(probability space)
定義2.1 稱三元組為概率空間例诀，如果
是一個(gè)測(cè)度空間，且
為定義在該空間上的概率測(cè)度裁着。
